dx dy dz ^ , r • i

nue , ainsi que les cosinus j- ' ;r^ ' ^ des angles que fait la

tangente avec les axes. Les composantes de la tension considérée dans le sens où s augmente sont donc , aux deux extrémités de l'arc ds^

dx dy dz

ds ds ds

et

Supposons les arcs s comptés à partir de l'extrémité A (fig» 28), et soit MN l'arc infiniment petit ds. Les directions des deux forces tangentes aux points M et N se rencontrent isi la courbe est plante, et elles peuvent être considérées comme se rencontrant même dans le cas d'une courbe à double courbure, parce que leui' plus courte, distance est infiniment petite par rapport à ds. Elles ont donc une résultante 5 et par conséquent les forces qui agissant en tous les points de MN doivent avoir une résultante égale et opposée à la première, et, par suite, comprise dans le plan osculateur de la courbe. Les conditions cherchées de l'équilibre son t donc celles de forces appliquées à un même point\ et elles doivent exprimer que les sommes des composantes parallèles à chaque axe sont séparément nulles. Si donc on

observe que les composantes T — ? T — > T y doivent être changées de signe , on aura les équations suivantes :

^ J -hX<f.ç = o,

(i) / '^*ij%') -^Yr/5 = o,

^. (T^l -f-Zr/5 = o.

Si Ton multiplie la première par — ? la seconde par — ? la

dz troisième par ~ ? et qu'on les ajoute, en observant que

Ton a

(^)v(i)v(Éy=..

et, par suite^

dx dx dy dy dz dz

ds ' ds ds ' ds ds ds

on obtiendra

dT-\'Xdz-\'Ydx -hZdz =o,

équation qui pourra remplacer une quelconque des équations (i).

Dans le cas le plus ordinaire ^X.dx -{-Y dy -{-Zdz est la différentielle d'une fonction <f[Xj y, z), ei l'on aura alors

et si l'on connaît la tension T' au point dont les coordonnées sont x\ y' ^ z\ on aura

T - r = <p (x', 7', z') - (p (a:, /, z), de sorte que Ton connaîtra la tension en tout autre point,

en fonction de ses coordonnées-, et dans tous les cas, la différence des tensions inconnues qui ont lieu en deux points du fil ne dépendra que des coordonnées de ces points. La valeur de T étant substituée dans deux des équations (i) , on aura les équations de la courbe formée par le fll.

86. Fil sollicité par des forces normales » — Si la force dont les composantes sont X , Y, Z était normale en tous les points de la courbe, on aurait

Xdx -h Ydy + Zdz = o ;

ç ( .r 5 j^, z) serait constant , et ^ par suite , T ^ dans ce cas, le (il est donc également tendu en tous ses points. C'est ce qui aura lieu par exemple lorsqu'il sera tendu sur une surface qui ne produira aucun frottement.

La tension T ^tant constante, les équations (i) deviennent

dx dr dz

Td. — z=z^Xds, T€/.-f-= — Yrfj, T^. - = — Zr/5, ds ds as

d'où

ou , en désignant par P la force , et par R le rayon de courbure,

T' = P^R% d'où P = ^-

Ainsi , quelle que soit la force normale , le fil prendra une figure telle, que cette force soit en raison inverse du rayon de courbure.

D^où il suit que si la force est constante et que la courbé soit plane , elle formera un arc de cercle.

Si la force normale est la résistance d'une surface , comme elle doit toujours être comprise dans le plan osculateur de la courbe, ce dernier est normal à cette surface , et la courbe