COURS DE MÉGANÏQUÊ

Kbre, par Faction des forces Q, Q'; appliquons etisuite/ suivant M' N', des forces Q" égales et opposées, ettelles^ que le poînl M' soit eu équilibre 5 et continuons ainsi jus- ' qu'au dernier point. Les conditions d'équilibre ne sont pas • changées par Fintroduction des forces qui se détruisent deux à deux, et tous les points sont en équilibre, excepté le dernier. La condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre du système est donc celle de l'équilibre de ce pmnt unique.

Pour employer des notations commodes, concevons sur le prolongement de la force P un point détermine O, et représentons par p la distance OM. Faisons. la même ebose pour toutes les autres forces. Quand le point M se déplacera ' infiniment peu, sa distance au point fixe 0 variera, d'une quantité qui pourra être considérée conique égale à.la projeètion de sa vitesse virtuelle sur la direction de P. L'accroissement 8p de la distance de M au point 0 sera positif si la vitesse virtuelle fai.t un angle aigu avec la direction de la force P; et négatif si cet angle est obtus : de sorte que dp^ àp\ ^p", ..., dq^ etc., sont les vitesses virtuelles des points d'application des forces P, P', P''^, . . . , Q., etc. , estimées dans les directions de ces forces. Les conditions nécessaires et suffisantes d'équilibre, sur cba-r cune des courbes et sur chacune des droites. rigides, seront exprimées par les équations suivantes, en observant que les moments virtuels des forces qui agissent en sens contraires sur chaque droite inflexible sont égaux et de signes contraires :

V§p-hqSr/ = o,

V'^p' — q'Sg''hQ"§q" = o,

, ■■ ' PREMIÈRE AWNÉET, STATIQUE. 8g

et il ne faut' pas oublier que les vitesses virtuelles âpj âp!^ etc. , scmtles mêmes que si l'on avait conservé le premier mode de liaison, puisque dans le nouveau les mouvements possibles sont restés identiquement les mêmes.

Le nombre de ces équations surpasse d'une unité celui des quantités Q^ Q^t Q'S etc. La première détermine Q5 substituant sa valeur dans la seconde, on aura Q', et en continuant ainsi, la dernière ne renfermera plus aucune des forces aiv&iliaires, et sera la condition nécessaire et suffisante pour Téquilibre du système. On l'obtient en ajoutant toutes les équations précédentes; les moments virtuels de chacune des forces auxiliaires Q, Q', etc., entrant chacun • dans àèvLx équations consécutives avec des signes contraires, se détruiront, et il restera

Donc, dans le cas que noué considérons, il est nécessaire et suffisant , pour Itéquilibre du système, que la somme des ^(Nnents virtuels des forces données soit nulle pour chacun des deux déplacements opposés, qui sont seuls possibles et qui donnent des moments égaux et de signes contraires.

95. Il ne reste plus qu'à démontrer que , quel que soit le npfnbre d'équations qui lient les coordonnées des points du "système, et, par conséquent, quel que soit le nombre des déplacements compatiljles avec ces liaisons, il est nécessaire jd j|uffisant«, poiir que des forces se fassent équilibre sur ce syslème , -que la somme de leurs moments'virtuels soit nulle pour t5us ces déplacetnents infiniment petits.

En effet, considérons un quelconque de ces déplacements et établhsons de nouvelles liaisons qui n'en permettent pas d'autres , "si ce n'est le déplacement contraire correspondant à dea variations égales et de lignes contraires des coordonnées*, l'équilibre aura encore lieu s'il existait déjà, et, par conséquent, d'après ce qui. précède , la somme

go COURS DE MÉCANIQUE.

des moments virtuels correspondants à ce déplacement est nulle.

Réciproquement , si cette somme est nulle pour tout déplacement possible, il y aura équilibre. En eâet, si les forces pouvaient mettre le système en mouvement , tous les points se mouvraient sur certaines courbes que l'on pourrait supposer fixes sans altérer en rien ce mouvement; et l'on pourrait, de plus, supposer de» liaisons qui permettraient sur ces courbes le mouvement qui a lieu, mais de telle sorte que le mouvement d'un seul point entraînerait celui de tous les autres. On rentrerait encore dan^ le premier cas quant aux liaisons, et la somme des moments vjrtuels serait nulle sans qu'il y eût équilibre , ce qui est contraire à ce qui a été démontré précédemment.

Donc enfin , • •

Quelles que soient les équations qui lient les coordonnées des points qui composent un système y auquel sont appliquées des forces quelconques , il est nécessaire et suffisant pour Véquilibrô que la somme des moments virtuels de ces forces soit nulle pour tous les déplacements infiniment petits^ compatibles ai^ec les liaisons du système,

98. Dans ce qui précède, nous avons supposé que les courbes ne produisaient que des forces normales. Si elles pouvaient détruire des forces dirigées suivant la tangente, aji moyen d'un obstacle au mouvement du point dans un sens seulement, l'équilibre pourrait avoir lieu sans que lasommexles. moments virtuels fût nulle; mais alors elle serait nécessairement négative. En effet, l'obstacle tient lieu d'une force dirigée du côté où le point peut se déplacer. En l'introduisant et supprimant l'obstacle , la somme des moments virtuels sera nulle. Or, si l'on ne considère que le déplacement virtuel compatible avec Thypothèse de l'obstacle , le mo-^ ment virtuel de la force introduite sera positif; donc la somme des autres sera négati^ve. Elle serait nulle si l'équi-

PREMIÈRE ANNEE. STATIQUE. gi

libre avait lieu indépendamment de l'obstacle , parce que la force qui le remplacerait serait nulle.

97. Il suit du principe précédent que le moment virtuel de • la résultante de forces quelconques est égal à la somme des moments virtuels de ses composantes ; car il y aurait équilibre entre ces dernières si Ton y ajoutait une force égale et opposée à leur résultante. La somme totale des moments virtuels serait donc nulle , et , par conséquent, la sonmie de ceux qui se rapportent aux composantes serait égale et de signe contraire au moment de la force qui leur fait équilibre, et qui est égale et opposée à la résults^nte. Cette somme est donc égale au moment de la résultante, . puisque deux forces égales et contraires, appliquées à un même point , ont des moments virtuels égaux et de signes ^ contraires.

981 Si l'on remplace chaque force par ses composantes parallèles à trois axes rectangulaires , son moment virtuel sera la somme de ceux de ses composantes. Soient X, Y, Z les composantes d'une force appliquée au point M dont les coordonnées sont x^ y^ Z] et âx^ dy^ âz les variations de ces coordonnées dans un déplacement infiniment petit du système. Les moments virtuels des forces X , Y, Z seront , comme nous l'avons dé;nontré, ILâx, YJy, Zcîz, et le moment de leur résultante sera

L'équation générale de l'équilibre d'un système quelconque de points sera donc

(i) 2(X(Ja:-f. Y5/4-Za^«) = o,

la somme 2 s'étendant à toutes les forces du système, et les Variations des coordonnées de leurs points d application ♦ pouvant avoir toutes les valeurs compatibles avec les équations qui lient ces coordonnées.

^* 99. Il est facile de voir comment Téquation (i) peut

donner les -conditions de l'éqjiilîbrc d'un système quelconque.

Soient , . '

L = o, L'=a,' L"=:o, etc., ^ *

n équations données entre les coordonnées des m points qui composent le système; les variations de ces coordonnées satisferont aux équations

dl. ^ dh ^ dh . dl. ^ ,

d'L\ dL\ dV . d^\,

(.)••( dr'^^'d^'^'^-d;'''^d^^^^"'=''^

dtf' ^ dV ' d\J' ^ dV ^ ^ dx df dz dx

Si l'on tire de ces n équationsla valeur de n variations *et qu'on les reporte dans l'équation *(i), elle en renfermera encore- 3/71 — w, qui seront entièrement indéterminées. Et comme cette équation doit avoir lieu pour tous les déplacements qui satisfont aux conditions du système , elle sera satisfaite, quelque valeur que l'on donne à ces indéterminées ; ce qui exige que les coeflScients de chacune d'elles .soient nuls séparément. On aura ainsi 3/w — n équations, nécessaires et su$santes pour l'équilibre. En les joignant aux 71 équations données, on aura un nombre d'équations égal au nombre des coordonnées des points.'du système.

Elles pourront servir à déterminer les positiotis* d'un certain nombre de points d'application , ainsi que" les gran-; deurs et les directions d'un certain nombre de.s forces , de manière à.ce que l'équilibre ait lieu.

Si les variables dont dépend la position du système ^ li'étaient pas les coordonnées des points qui le déterminent,' ia forme de l'équation (i) changerait. On trouverait toujours les conditions d'équilibre, en réduisant le plus possible le nombre des variations , au moyen des équations de

PREMIER]^ ANNÉE. STATIQUE. * q3

condition, et égalant à zéro les coefficients de celles qui resteraient dans l'équation , et seraient complètement indé-. terminées.

iOO. L'élimination de n variations entre les équations (i) et (2) peut s'effectjier de difierentes manières : on pourrait tirer leurs valeurs des n équations (2) et les substituer dans (i), puis égaler à zéro les coefficients des Zni — n restantes. Mais il vaut mieux multiplier les équations (2) par des facteurs indéterminés X, X', X", etc., puis ajouter à l'équation (i). On égalera ensuite à zéro les coefficients des n variations qu'on voudra éliminer 5 ce qui déterminera X, X', X", etc, et enfin on égalera à zéro les coefficients des autres variations. On voit donc qu'après avoir ajouté toutes les équations, on devra annuler séparément les coefficients des 3 m variations -, n de ces équations détermineront X , X', X'', etc», et en substituant leurs valeurs dans les autres, on aura les conditions d'équilibre du système.

101. L'avantage de cette méthode n'est pas d'abréger le calcul, mais de faire connaître les efforts produits par les liaisons , et les forces qui pourraient remplacer les équations qui expriment ces liaisons.

En effet, les 3 m équations auxquelles on parvient, sont

. dx dx

Y^.^ + V^ dy djr

d\J' dx

^^^d^^^ dx^

dz dV

dh" dz

dx' ^

^, .dh ^,dV. ^„dh"

g4 COURS DE MÉGANIQUE.

Or ces équations seraient les mêmes , si les équations L :^o, L'= o , etc., n'existaient pas , c^est-à-dire si tous les points étaient libres, et qu'on appliquât au point M une force ayant pour composantes

€tx dy dz dx

au point M' une force ayant pour composantes

.rfL .flfL .fl^L ^,dV ^^'' ^^fy'' ^^' ^:57'"*'

et ainsi de suite pour les autres points.

Quant à la direction de ces forces, en ne considérant d'abord que celles dont les expressions renferment les dérivées de la fonction L , on voit que celle qui est appliquée en M est normale à la surface dont l'équation serait L = o, en ne regardant que x, y, z comme variables. Celle qui est appliquée en M' est normale à la surface dont Téquation serait L = o , mais dans laquelle x\ y', z' seraient seules variables , et ainsi de suite pour les autres points.

Ce que nous venons de dire de l'équation L = o peut se dire de toutes les autres^ et dès qu'on aura déterminé, cominie nous l'avons dit, les valeurs de X, X', X'', etc., on connaîtra, les grandeurs et les directions des forces dont l'ensemble des liaisons tient la place.

102. Mais on peut aller plus loin, et assigner les forces qui pourraient remplacer individuellement chacune des équations qui expriment les liaisons.

Supposons , pour cela , que l'on supprime la condition L = o, en conservant toutes les autres; nous allons voir que l'équilibre aura encore lieu sur le nouveau système si

Ton applique au point M les trois composantes X — 9 X— >

•i ^^ • li.iti 1 -i ^^^ -i ^^ '\ ^^ ^

A— 5 au point M' les composantes X— 5 X— >? A— ^5 e«

ainsi de suite pour tous les autres points; et que tous l

PREMliEE ANNÉE. — STATIQUE. gS

termes des. équations (3) , provenant dés équations L' = o, \J' = o, etc., resteront les mêmes dans les équations d'équilibre du nouveau système. En effet, dans ce système, les forces appliquées aux différents points, au lieu d^ètre, comme dans le premier, X, Y, Z, X^, etc., sont

e/L rfL dh dL

djc dy dz dx

et les équations exprimant les liaisons sont réduites à

En traitant cette question comme la précédente , on aura, pour déterminer l'équilibre , les équations suivantes :

^ d\\ ^ dV , dV