Lorsque la matière qui compose le corps est homo

io6 COURS DE méca:vique.

gène, les volumes égaux ont des poids égaux. Sî la matière de deux corps homogènes est différente , le poids est généralement différent pour des volumes égaux. On appelle /^o/rf^ spécifique d'une substance homogène le poids de Puni té de volume, ou, ce qui est la même chose, le rapport du poids d'un volume quelconque de cette substance à ce volume même. Dans les Tables que Ton a formées, on rapporte ces poids spécifiques à celui de l'eau distillée, prise à la température où sa densité est la plus grande , et qui est d'environ 4 degrés au-dessus de zéro^ quant aux autres corps, on les suppose pris à la température zéro. Les moyens employés pour sa formation se rapportent à la physique, et nous ne nous en occuperons pas.

Le poids qu'on a choisi pour terme de comparaison est celui de i centimètre cube d'eau distillée , prise au maximum de densité, et considéré à l'Observatoire de Paris; on le nomme gramme* Les nombres renfermés dans la Table des poids spécifiques expriment donc le nombre de grammes que pèse i centimètre cube de ces substances, prises à la température zéro.

109. Si le corps n'est pas homogène, le poids ne sera plus proportionnel au volume. Pour se faire une idée nette de ce que Ton doit entendre par poids spécifique d'une substance eu un point donné , on en considérera une portion infiniment petite, dont ce point fera partie, et l'on prendra le rapport de son poids à son volume; on aura ainsi son poids spécifique moyen ; lorsque ce volume tend vers zéro, le rapport tend vers une limite que l'on appelle le poids spécifique de la substance en ce point. Si la nature de celte substance change d'une manière continue, le poids spécifique sera une fonction continue des coordonnées des différents points; et si cette fonction est donnée, ainsi que la figure du corps, on peut encore se proposer d'en déterminer le centre de gravilé. On voit, d'après celte défini-

lion , qu'un volume infiniment petit du corps aura un poids qui ne différera que d'une quantité infiniment petite, par rapport à lui-même , du produit de ce volume par le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points. Cette quantité pouvant être négligée sans erreur dans les résultats des questions qui ne dépendent que des limites des sommes ou des rapports , il s'ensuit que le poids spécifique tel que nous Tavons défini joue absolument le même rôle dans le cas des corps non homogènes que le poids spécifique défini d'al)orddans les corps homogènes^ seulement, il ne faut l'appliquer qu'à des volumes infiniment petits dans tous les sens.

HO. Quoique les surfaces et les lignes ne puissent avoir de poids, puisqu'elles ne sont que des limites d'étendue et ne renferment aucune partie matérielle, on les considère néanmoins comme ayant un centre de gravité. On suppose alors qu'elles sont soumises à l'action de forces parallèles, qui, dans le cas de l'homogénéité , donnent des résultantes égales pour des parties équivalentes*, et l'on donne l'intensité de cette force pour Tunité de surface ou de longueur. En partant de cette hypothèse, et considérant toujours les surfaces et les lignes comme on le fait dans la géométrie, il n'y a rien que de clair dans la recherche du centre de ces forces parallèles, qu'on nomme, par analogie, centre de granité. Si les résultantes n'étaient pas égales pour des aires équî- "valentes, on concevrait, pour un point quelconque, une portion infiniment petite renfermant ce point , et on prendrait le rapport de la résultante de cette portion à son aire, lia limite de ce rapport sera déterminée, et nous lui donnerons^ par analogie, le nom àa poids spécifique de la surface en ce point^ ce poids spécifique sera une fonction connue des coordonnées des points de la surface , et le centre des forces parallèles, que l'on désignera encore sous le nom de centre de gravité, sera entièrement déterminé.

Les mêmes considérations s'appliquent au cas d'une ligne dans laquelle des arcs égaux ne donneraient pas des résultantes égales.

m. Les corps sont réellement composés de parties trèspetites, séparées les unes des autres 5 mais il n'y a aucun inconvénient à les supposer formés d'une matière continue 5 car cela ne produira d'autre effet que de changer de quantités insensibles les points d'application des forces, et il n'en peut résulter aucune erreur appréciable dans les résultats.

.112. Lorsque l'on connaît les poids et les centres de gravité de corps en nombre fini , le théorème des moments donne immédiatement la position du centre de gravité du système. Si Ton désigne par P un quelconque des poids, par a:, y^ z les coordonnées de son centre de gravité, et par Xi, j^i, Zx celles du centre de gravité du système, on aura

Çx 2Pjr 2Pz

Ces formules subsistent, quel que soit le nombre de corps, et quelque petits qu'ils soient cliacun. S'ils diminuent indéfiniment, et que leur système tende vers une certaine limite, les limites des valeurs de Xi, j^j, z^ seront les coordonnées du centre de gravité de cette limite 5 et leurs valeurs ne seront pas altérées, si Ton néglige, dans tous les termes de ces sommes, des quantités infiniment petites par rapport à ces termes mêmes.

Détermination des centres de gravité,

113. Lorsqu'un corps de nature quelconque est infini^ ment petit dans tous les sens, son centre de gravité est à une dislance infiniment petite d'un quelconque des points

de ce corps ; <far, si Ton compose successivement toulcs les farces , en partant d'un point quelconque du corps , les points d'application des résultantes successives étant toujours compris entre les deux points d'application des forces que l'on compose, resteront constamment à une distance infiniment petite de tous les points du corps. Cette simple observation permet de ramener au calcul la détermination des centres de gravité des corps, sans aucune recterche préalable. Il suffira , pour cela , de les décomposer en éléments infiniment petits dans tous les sens , parce qu'alors on pourra prendre pour centre de gravité de ces éléments un point quelconque de leur surface ou de leur intérieur, ou même en dehors, et à une distance infiniment petite-, car on n'altérera qu'infiniment peu les coordonnées du centre de gravité de chacun de ces éléments , et , par conséquent, son moment ne sera en erreur que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même. Donc la limite de la somme des moments ne sera pas altérée, et l'on peut établir cette proposition générale :

Le produit du poids d\in corps par la distance de son centre de grai^ité à un plan quelconque y est égala la limite de la somme des produits des poids de chacun de ses éléments infiniment petits en tous sens, par les distances d'un quelconque des points de ces éléments respectifs^ ou d'autres points infiniment voisins, à ce même plan.

Si le corps est homogène , le poids d'une quelconque de ses parties est égal à son volume multiplié par le poids spécifique de la substance *, mais , s'il ne l'est pas , le poids d'un élément sera égal à son volume multiplié par un poids spécifique moyen , qui ne différera que d'une quantité infiniment petite du poids spécifique de la substance en un quelconque des points de cet élément. Ainsi, dans ce cas, on multipliera le volume infiniment petit de l'élément par le poids spécifique relatif à l'un quelconque de ses points

IlO COURS DE MÉCA74IQCE.

OU (les points infiniment voisins-, et, en subsitiluant ce produit, au poids réel de l'élément, il n''en résultera aucune erreur dans la limite de la somme des poids et de leurs moments.

Il est facile de voir comment toutes ces considérations s'appliquent aux surfaces et aux lignes. Nous allons les examiner successivement.

Centres de gravité des lignes.

114?. Les équations d'une ligne dans l'espace déterminent deux coordonnées en fonction de la troisième, par exemple j^ et z en fonction de x. L'expression de l'élément

de la ligne est rfj: w i -f- — 4- — = ^, et son poids pds^

p étant une fonction connue de or, qui exprime le poids spécifique de la ligne au point que l'on considère. En appelant P le poids dont les extrémités correspondent aux abscisses jTo, X , on aura

f pds ^ Pxi=z j pxdsy

f pyds^ l?z^= I pzds'y

d'où l'on tirera P, a:i, j^i, Zy,

P Si la ligne est homogène, p est constant, - est la Ion

gueur s de l'arc, et l'on a simplement

r^ , / dr' dz' r^ ,

/iX /»X

A/, = I yds^ .V3, = 1 zds.

Jx,. t/jr.

Si la ligne est plane, on la supposera dans le plan XY, el il suffira de faire z = o dans les premières ou les secondes formules, suivant que cette ligne a un poids spécifique variable ou constant. Dans ce dernier cas , elles deviennent

s= j dxK/ 1+ — j sxi= j xds, 5j, = 1 yds.

Centres de gravité des surfaces,

US. Si l'on conçoit une surface courbe décomposée en éléments infiniment petits dans tous les sens, par deux séries de plans, les uns perpendiculaires à Taxe des jr, les autres à l'axe des j^, nous avons vu que Ton pouvait prendre, au lieu de l'élément même de la surface , l'expression