COURS DF. MECANIQUE

droites dont les deux autres côtés font partie auront des équations de la forme

y = mx , y =. m' x.

Soient a la base et h la hauteur, Taire du triangle sera , ah

éffale à — 9 et Ton aura ensuite ^ 2

Xx = [m' — m) J x^ dx =. [m' — m)-^^

ah , , , V /. . f w'* — m^) — jKi = 7 (//i"— //l'O J •«^'^'•=«^ = à ^■^•

Faisant x = h et désignant par p l'ordonnée ^ • h du

milieu de la base , il vient '

2/* 2/J JTi p

o 6 Xi h

La dernière équation montre que le centre de gravité se trouve sur la droite qui joint le sommet au milieu de la base 5 et la première indique qu'il est situé aux deux tiers de cette ligne à partir du sommet, ou au tiers h partir de la base.

132. ^ire du cercle. — Soit j* = R* — x* l'équation du cercle, et cherchons le centre de gravité de Taire comprise entre deux parallèles à Taxe des j^, correspondantes aux abscisses Xo , x. Nous aurons , en désignant les aires par la lettre A ,

Ax, ■= f 2x)/K' — x'flx z:r — 1 (R^- .v'V |- 1(R2 xj)' ;

supposant x = R , il vient

A = R'arc cosir^i — j:. V'r»— x'-

de plus , jto = o, on aura

iTT

îi , au lieu d'un segment , on considère un secteur, la îstion se ramène de suîte à trouver le centre de gravité n arc de cercle. En effet, le secteur peut ùtre considéré une la limite d'une infinité de triangles égaux ayant leur unet commun au centre. Les centres de gravité de ces élérils sont équîdistants et situés sur un arc de cercle coms entre les mêmes rayons que le premier, et décrit du

me centre avec un rayon égal à —^ • Le centre de gravité secteur sera donc le même que celui de cet arc.

.33. j4ire de la parabole, — Soit j^* = 2/7X, on aura , considérant Taire comprise entre l'axe des :r , l'ordonnée 'arc partant du sommet ,

as/2/? \ , r , /— r T^ ^y^P T

= - j?S Axt= fjrjcljo = \^2pjx^ da;=2-^ — x >

Ay, = \fyUlxz=pfxflx=—',

34. Aire de la cjcloïde. — L'équation de la cycloïdc portée à son sommet est

.£ z= \'2.ay — y -|-- fi arc cos •>

128 COURS DE Mic.\1IIQUIt.

d*où

dx Art

En cousidéraiit l'aire comprise eutre Tare, Tordonuéc et la tangente au sommet , qui est Taxe des x , on aura

A ==/rfr s/^ny — ^» = ^-^ — £-4-arccos i-

On aura ensuite

A jc, =r / xdf sJiajr—'X'

= f dy[2ay — /*) -^ a f arc ces dy ^lay — /'•

La première intégrale est égale à ay* — -^^ Qtiant à la seconde, nous aurons , en in tarant par parties ,

f arc cos '^ cfy ^i ay — j*

= are CCS

= arc COS

"LJ^fdys/^nr-y'-j (^^=^a'/^^V2«/-/'j

— I -"^^ ^-^ -h — arc ces / -=

— -^^^ ^-^^ — "^ -^ arc COS ^ 4- — arc cos -^ *

2 rt 2 \ a

T uj II I a — y\^ — 7- -i- — — -7- ( arc cos ^ J 4-

{y— a)s/2ay—y^ a —y ' — ^ arc cos —

- arc cos ] — y- + — H- C.

VBEMIIUIE AXNÉE. — STATIQUE. I ?.q

Substituant celte expression dans la valeur de ÂXi, nous aurons

Ax. = ^ + I «^' ^ + îi£:Z^lv(Ï^ZZ arc cos ^î^il

+ -r- 1 arc cos —

La constante arbitraire est nulle, en considérant comme égal à zéro Tare dont le cosinus est i .

La valeur de j^i sera donnée par la formule suivante :

A j* , = i fydr sj^iay-^y^ ==z\f{jr^ a^a)djr ^lay-^y'

= -^{^^y-y'Y-^— \ 4-^arccos-— ^.

^1 ^^Ji sont donc déterminés.

On aurait à effectuer des intégrations du même genre ," si Ton considérait un segment placé différemment par rapport à la cycloïde.

135. Surfaces de rév^olution, — Soit d'abord la surface sphérique engendrée par le cercle dont l'équation est

on aura entre les limites Xo et jc ,

A = 2,1: fyds= 2,7r'R.fdxz= 2,nK{x — x„), Aj:, = Hit f xyds =z 2nfxKdx=z 7rR(x' — :cj);

d'où