Si maintenant on ajoute les carrés des premiers
membres des équations (i), on obtient, en désignant par pp' l'angle des deux rayons p et p',
2/?' p' -f- 2 2 pp' pp' cos pp' = o.
Mais p^ -^ p'^ — 2 pp' cos pp' = 7'^, 7' étant la distance des centres de gravité des corps p^p''^ donc
Tous les termes qui renferment p' ont pour expression )t7p' (/> -h p' -H /?"-}-.. .), et Ton en trouverait de semblables pour p'^^ p"*, etc.. 5 de sorte qu'en }K>sant /:7 -f- />' -f- />" H- . . . = P, on aura
P2/7p*=z= 'Lpp'r\
Si tous les poids sont égaux et en nombre m, on a 'Lr^ = ml,p\
Cette dernière proposition est un cas particulier de la suivante, où l'on suppose que Torigine des coordonnées
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l I ()
est un point quelconque! de rcspacc. Le théorème des moments donne alors, en représentant par R la droite menée de l'origine au centre de gravfté du système , par a^ b^ des angles qu'elle fait avec les axes, par p, p'vj les distances de l'origine aux centres de gravité des poids./>, p',. . ., et par a, ]3, y, a', |S', y',..., les angles que ces droites forment avec les axes,
PR cos a =z Ipp cos a , PRcos b = Ijjp cos C , PR cos c = Zpp cos 7 ;
d'où, en ajoutant les carrés des membres de ces équations et observant que les seconds membres sont les mêmes que dans le cas précédent ,
P'R^=i Plpp' — Ipp'r-.
De celte équation on conclut que si la distance R du centre de gravité d'un système à un point fixe quelconque restant constante y ce système invaiiahle de forme se dé-' place d^une manière quelconque, la sorrmie des produits des poids par les carrés des distances de leurs centres de grau^té à ce point fixe sera constante.
En effet, R étant constant ainsi que les distances désignées par r, il en résulte que S/^p* est constant.
On voit encore que 2/7 p* <îst le plus petit possible quand R = o, et, par conséquent, le centre de gravité d'un système jouit de cette propriété, que la somme des produits des poids par les cannés des distances de leurs centres de gravité respectifs à ce point est un minimum.
Théorème de Guldin,
'12i. Le volume V, engendré par la surface plane comprise entre deux coiirbos dont l(\s ordonnées sont }o^ ^^. ci
I20 GOUBS DE M^.CANIQUE.
deux parallèles à Taxe des y correspondantes aux abscisses Xo 9 X , a pour expression
Mais l'ordonnée ji du centre de gravité de la surface en question, dont nous désignerons Taire par A, est donnée par l'équation
donc
et, par conséquent, le volume engendré par une aire plane, tournant autour d'un axe situé dans son plan, est égal au produit de cette aire par la circonférence décrite par son centre de gravité.
125. La surface A, engendrée par la révolution d^un arc de courbe plane tournant autour d'un axe situé dans son plan , a pour expression
A = 27r I jrds.
Mais l'ordonnée y, du centre de gravité de l'arc s est donnée par l'équation
donc
et, par conséquent, Faire engendrée par un arc de courbe plane , tournant autour d'un axe situé dans son plan , est égale à cet arc multiplié par la circonférence décrite par son centre de gravité. Ces deux propositions constituent ce que Ton appelle le théorème de Guldin,
PBEMIKBB ANNKE. — STATIQUE. 121
Les aires ou les volumes décrits dans une partie quelcon* que de la révolution étant proportionnels à Pangle dont la figure a tourné , îl s'ensuit que , pour en avoir la mesure , il faudra prendre l'arc décrit par le centre de gravité au lieu delà circonférence entière.
126. Si une surface plane tourne successivement autour de plusieurs axes , le volume engendré s'obtiendra en multipliant son aire par la somme des arcs parcourus par son centre de gravité. Cette proposition , étant indépendante de la distance des axes , a lieu encore quand ils se succèdent à des distances infiniment petites , pourvu qu'ils soient toujours dans le plan de la surface mobile ; et , dans ce cas , deux axes consécutifs peuvent être parallèles ou se rencontrer.
Par exemple, si l'on suppose une courbe plane, et que la surface génératrice se meuve de manière que son plan soit toujours normal à cette courbe et soit toujours percé par elle au même point, et que tous les points n'aient que des mouvements parallèles au plan de la courbe directrice , on peut regarder un pareil mouvement conmie produit par le développement du plan de l'aire génératrice qui serait enroulé sur le cylindre qui aurait pour base la développée de la directrice: il estlaliniite du mouvement qui aurait lieu autour d'axes perpendiculaires au plan de la directrice et qui tendraient indéfiniment vers les arêtes du cylindre en question.
Si, pour plus de généralité, on considère une courbe à double courbure décrite par un point constant du plan de la surface génératrice, auquel elle soit encore constamment normale, et que l'on "prenne pour axes successifs les perpendiculaires aux plans osculateurs menées par les centres de courbure de la directrice, on pourra encore appliquer la même proposition -, car, quoique ces axes successifs ne se coupent réellement pas , on peut, en ne considérant que les limites, négliger l'erreur qui en rcsullerait, parce que
leur distance est une quniitito infiniment petite d'un ordre supérieur au premier.
On peut se représenter ce mouvement en supposant que le plan de la surface génératrice soit enroulé sur la surface polaire de la directrice , qui est le lieu des axes autour desquels s'exécutent les mouvements successifs. Si Ton déroule ensuite ce plan sans glissement, il sera constamment normal à la directrice , et sera toujours rencontré par elle au même point. Par celte suite de rotations infiniment petites , la surface donnée engendrera un volume égal au produit de son aire par la couii)e décrite par son centre de gravité. Pour que ce théorème ne subisse aucune modification , il faut supposer que la surface génératrice ne vienne jamais couper les axes de rotation successifs.
Volume du cylindre tronqué.
127. Le volume d'un cylindre tronqué dont la base est sur le plan XY et les arêtes perpendiculaires à ce plan est exprimé par V :=.ffzdxdy^ z étant l'ordonnée du plan, et les limites des intégrales étant déterminées par le contour de la base qui peut être composé de lignes droites ou courbes. Mais si l'on appelle o l'angle des plans des deux bases, les
éléments de l'aire de la base supérieure sont —\ celle
^ COStJ)
aire totale sera -> en désignant par A la base inférieure,
cos.<5p ^ '•
et l'ordonnée du centre de gravité de la base supérieure
sera donnée par l'équation
A r rzdxdy r r . .
Zi = I I ? ou Az, = I I zdxdy.
t'os cp • J J COS 0) J J
Donc V = A^i. Le volume est donc égal à sa base multi-
pliée par la perpendiculaire abaisst'e du centre de gravité de la base supérieure sur le plan de la base inférieure.
.Remarquons maintenant que les centres de gravité des deux bases sont sur une môme parallèle aux arêtes. Car, si Ton prend les moments des éléments correspondants rlxdy ci
^ par rapport à un môme plan quelconque parallèle aux
arêtes, ils seront dans le rapport de cos<p : 15 donc ils seront nuls en même temps ^ et par conséquent tout plan, parallèle aux arêtes, qui passe par le centre de gravité d'une des bases passe par le centre de gravité de l'autre. Ces deux centres sont donc sur une même parallèle aux arêtes. Ainsi, les centres de gravité de toutes les sections planes que l'on peut faire dans un cylindre indéGni sont sur une même droite parallèle aux arêtes 5 et, par conséquent, toutes les sections du cylindre , menées par un même point de cette droite, ont ce point même pour centre commun de gravité.
Si l'on suppose maintenant un cylindre tronqué dont les arêtes soient obliques sur les deux bases, on peut le regarder comme la différence de deux autres qui auraient pour base la section orthogonale; la différence des perpendiculaires abaissées des centres de gravité des deux bases sur le plan de cette section sera la droite qui joindra ces deux points. D'où résulte ce théorème :
Le "volume d'un cylindre tronqué quelconque est égal au prodiat de la section orthogonale par la droite qui joint U^s centres de granité de ses deux bases.
On peut encore énoncer cette proposition d'une autre manière , en observant que le rapport de la section orthogonale à l'une des bases est le cosinus de l'angle de leurs plans ou le sinus de l'angle des arêtes avec cette base, et que , par conséquent , il est égal au rapport de la perpendiculaire à cette base, abaissée du rentre de graviléde Taulre»
124 COURS DE MKCANIQUE.
à la droite qui joint les deux centres. On aura ainsi cet autre énoncé :
Le volume d'un cylindre tronqué est égal au produit d'une des bases par la perpendiculaire abaissée du centre de gra\fitc de Vautre sur le plan de la première.
Application des formules précédentes.
128. jirc de cercle, — Soient R (fig* Sa) le rayon AB de l'arc MN, B le milieu de cet arc 5 posons
MN = c , MBN = /.
La symétrie de l'arc par rapport à Taxe des x montre que son centre de gravité est sur cet axe ; on a donc j^i = o 5 et jfi sera donné par l'équation suivante :
Ixx = fxds = "Rfds ces :^= R' sin -• + C = R c
Ainsi on a la proportion
/:c :: R : jc,.
129. jircde cjcloïde. — L'équation dirtcrentiellc de la cycloïde rapportée à son sommet est
— = \/ ^ , dx V 2 rt — y
et donne
ds = V2«. — •
On aura donc, en faisant commencer l'arc au sommet,
» / ~ 2 i/ 2 rt " •
SX, = v^2« I -==z2\/-7.a {.Vf' — fy ' clx) j
= 2\f2^ [xy -\- ^ (2a — jry \ -\- Cl
(ît comme sxi doit être nul , pour ^^ = o , on aura
(l*OÙ
r 2.(ia — rY 8^'
