APPLICATION DE LA COMPOSITION DES FORCES

A l'attraction mutuelle des corps.

156. L'ensemble des phénomènes célestes nous conduira plus tard à admettre que les molécules des corps s'attirent proportionnellement à leurs masses, et en raison inverse du carré de leur dislance. Il est donc convenable, pour préparer à l'étude des diverses questions relatives au système du monde, de calculer quelques effets de l'attraction des corps 5 et nous considérerons plus particulièrement ceux dont la forme se rapproche le plus de celle que nous présentent les corps célestes.

PRB»IKRE ANNÉE. — STATIQUE. 1 55

Nous allons nous proposer d'abord de calculer l'action mutuelle de deux sphères composées de couches concentriques homogènes , mais dont la nature peut dépendre de leur distance au centre. Nous supposons que tous les points de l'une attirent chacun des points de Tautre, de manière que l'action et la réaction soient égales-, en sorte que, si Ton joignait deux points par une droite inflexible, l'action mutuelle de ces points ne produirait aucun mouvement. Cette action peut changer suivant une loi quelconque , avec la distance des deux points ; nous supposerons ici qu'elle varie en raison inverse du carré de la distance.

Si nous concevons que toute la matière qui compose l'unité de masse, tant de l'une que de l'autre substance, soit réunie en un même point, sans rien perdre de son action, et que ces deux points soient placés à l'unité de distance l'un de l'autre , ils produiront Tun sur l'autre une force attractive égale, que nous désignerons par y, et qui est un^ des données nécessaires de la question. En la joignant avec l'hypothèse , que tous les points s'attirent mutuellement en raison directe des masses et en raison inverse du carré de la distance, la question est complètement déterminée.

Si l'on considère d'abord l'action mutuelle de deux éléments infiniment petits dm^ fitn\ on peut considérer les distances de leurs différents points comme égales à Tune quelconque d^entre elles, que nous désignerons par u. Toutes les parties égales exerçant, par hypothèse, une même action sur un même point , à la même distance , la matière comprise dans la masse dm exercera sur dm^ une action qui sera dans le rapport de dm*, i avec celle qu'exercerait sur dm^ la matière renfermée dans l'unité de masse, et concentrée au point où se trouve dm. Cette dernière action sera dans le rapport de dm^ : i avec celle qui aurait lieu si, au lieu de dm\ on substituait l'unité de masse concentrée au même point. Mais celte nouvelle action est à celle que

l56 COURS DE MÉCAIflQUE.

nous avons représentée par y, dans le rapport de i : u'. Donc, l'action des deux éléments dm^ dm' sera exprimée par

J'dm dm'

en négligeant la quantité infiniment petite d'un ordre supérieur, qui provient de la difiërence des valeurs de ii, et qui ne changera pas les limites des sommes des éléments dans lesquels cette expression entrerait comme facteur.

Cela posé , considérons une coucbe sphérique d'une densité égale à p, d'une épaisseur infiniment petite , dont le centre est en O , et qui est comprise entre les surfaces sphérîques dont les rayons sont r eir-h dr-^ son action sur un élément dm' situé en A à une distance a de son centre sera dirigée suivant la droite AO, autour de laquelle tout est semblable , et il suffira de faire la somme des composantes de toutes les forces suivant cette direction, pour avoir la résultante cherchée.

Soit M un point quelconque de la cîrconférepce dont le rayon est r\ faisant

d'où résulte

lû =r a' 4- r' — 2 ra cosG.

Les deux rayons OM, ON {fig, 38) étant prolongés jusqu'à la circonférence dont le rayon est r -4- rfr, la surface infiniment petite rdôdr tournant autour de l'axe AO engendrera un volume nnr^ sin 6 dOdr^ dont la composante de Taction sur dm' suivant l'axe AO sera

irû/r^drdm' sînOdB, a u^ ^

On aura donc F attraction de la couche sphérique sur dtn\

PREMIERE ANNÉE. — STATIQUE. l57

en faisant la somme des expressions semblables quand 6 variera depuis» o jusqu'à tt , et , par suite , u depuis a — r jusqu'à a -h r, si le point est extérieur 5 et depuis r — a jusqu'à r-t- a , s'il est intérieur.

Exprimons d'abord la difierentîelle en fonction de u seulement. On lire de Téquation entre a: et 9 ,

uduz=z arsin 0^0.

L'expression ci-dessus devient donc