CL* \ W

dont Tintégrale est

^-^ ^ dm' u H

ot} \ u

Si le point est extérieur, cette intégrale prise entre les limites a — r et a -f- r a pour valeur

^fzpfi^drdm'

on voit qu'elle est la même que si toute la matière était réunie au centre.

Pour avoir l'attraction exercée par un solide composé de couclies spbériques homogènes, mais dont la nature peut varier avec r d'une manière arbitraire , il faudrait faire la somme des actions de toutes ces coucbes, et comme elles sont toutes les mêmes que si l'on réunissait ces diverses cou-^ ches au centre , on obtient la proposition suivante :

Un solide composé de couches sphériques homogènes ^ de nature différente, et dont tous les points attirent un point extérieur en raison inverse du carré des distances, exerce sur ce point la même action que si toute la matière qui le compose était réunie en son centre.

]58 COURS DK MÉCANIQUE.

Dans le cas d'une sphère homogène , de rayon R, l'ex-

pression de celte action sera -^ —

Si le point A était intérieur à la couche infiniment mince que nous avons considérée, les limites de u seraient r — a et r-f- a , et la somme se réduirait à zéro. D*où résulte cette autre proposition :

Dans la même loi cT attraction , l'action du même solide est nulle sur tout point situé en dedans de la surface intérieure. Et pour un point situé dans V intérieur de sa niasse y r action se réduit à celle du solide compris entre la surface intérieure et celle de la surface sphérique concentrique qui passe par ce point.

Il résulte de là que l'action d'une sphère entière sur un point de son intérieur est bornée à Taction de la sphère concentrique dont Itf surface passe par ce point.

Dans le cas où toutes les couches sont de même nature , si R désigne le rayon de la sphère et r la distance du point que Ton considère au centre, Faction de la sphère sera

elle ne dépend plus de R, et est proportionnelle à la distance au centre.

157. Rien n'est plus facile maintenant que de calculer Faction mutuelle de deux sphères extérieures Funeà Fautre. D'abord, Faction de l'élément dm' sur la première sphère étant égale et contraire à cellç de cette sphère sur dm'^ puisque toutes les actions élémentaires qui les composent l'une et l'autre sont égales et contraires par hypothèse, il s'ensuit que la résultante des actions de la première sphère sur tous les éléments dm' qui composent la seconde , sera égale et contraire à la résultante de toutes les actions des éléments de la seconde sur la première \ c'est-à-dire que les

PREMIERE ANNEE. — STATIQUE. 1 5o

actions des deux sphères l*une sur l'autre sont égales et contraires.

Or, d'après ce qui précède , l'action de dw! sur la première sphère est la même que si toute la matière qui la compose était réunie en son centre. La question revient donc à calculer l'action de la seconde sphère sur ce point \ mais il est prouvé qu'elle est la même que si toute la matière de la seconde était réunie en son centre; d^où l'on conclut que

Deux sphères composées de couches homogènes quel^ conques , dont tous les points s'attirent proportionnellement aux masses et en raison inv^erse du carré de la diS" tance y exercent l'une sur l'autre la même action que si la matière dont chacune d'elles est composée était réunie en son centre.

La même proposition a évidemment lieu pour deux sphères creuses composées de même de couches homogènes.

158. On peut démontrer très-simplement que les actions exercées par tous les points d'une couche sphérique homogène et infiniment peu épaisse, sur un point de l'intérieur, se détruisent.

En effet, soient O (Jig* 89) le centre de la surface înlérieure de la couche, OB son rayon , et A le point intérieur que l'on considère. Menons par OA un plan quelconque, et soient M et N deux points infiniment voisins pris sur la circonférence suivant laquelle il coupe la sphère ; tirons les droites MAM', NAN', MN, M'N': les triangles AMN, AM'N' seront semblables. Si, maintenant, on fait tourner le plan autour deOB, les cordes ou les arcs MN, M'N' engendreront des surfaces qui, multipliées par l'épaisseur infiniment petite de la couche, seront des éléments de son volume ; or les actions de ces deux éléments sont égales et contraires, car elles sont proportionnelles aux surfaces* engendrées par MN et M'N', et en raison inverse des carrés des distances 5 il suffit donc de prouver que ces surfaces sont

l6o COURS DE MÉCANIQUE.

en raison directe de AM, AM', ce qu'on reconnaît facilement en observant qu'elles sont proportionnelles aux produits des arcs générateurs par leurs distances à l'axe , et que

ces produits sont dans le rapport de AM : AM', à cause de la similitude des triangles.

159. Autre loi d'attraction. — Si l'on suppose l'action de deux points proportionnelle à leur distance, on peut facilement calculer l'attraction d'un corps de figure quelconque sur un point placé arbitrairement.

Prenons , pour cela , trois axes rectangulaires se coupant au centre de gravité du corps attirant, et faisons passer l'axe des X par le point attiré. Soient x^y^ z les coordonnées d'une molécule quelconque dm du corps , a la distance de la molécule attirée dm' à l'origine ; les trois composantes de l'attraction de dm seront

f[x — a ) dm dm' ^ fy dm dm\ fz dm dm' .

Si l'on fait la somme de ces valeurs élémentaires ^ en prenant pour dm, successivement tous les éléments du corps , et que l'on pbserve que , d'après les propriétés du centre de gravité, on a

• l.xdm z=i Oy lfdm=o, izdm = o,

on trouvera que les composantes de l'attraction totale, parallèles aux axes des z et des y, sont nulles-, et que la troisième, qui est la résidtante, a pour valeur — /Mocdm!^ M désignant la masse totale du corps , ou du système quelconque de points attirants. D'où l'on conclut que, dans la loi supposée, V attraction d'un système quelconque de points sur un point situé d'une manière quelconque, est la même que si toute la masse attirante était réunie en son centre de grai^ité.

Si maintenent on considère l'action mutuelle de deux

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l6l

corps quelconques , un raisonnement analogue à celui qui a été fait précédemment pour deux sphères démontrera qu'elle est la même que si la masse de chacun des corps était réunie en son centre de gravité.

Calcul de rattraction d'un corps quelconque sur un

point matériel.

i 60. Nous allons maintenant envisager la question d^une manière plus générale et supposer Tattraction de deux éléments proportionnelle à leur masse , et à une fonction quelconque de leur distance r. Considérons un corps de figure quelconque dont la densité, variable d'un point à un autre, soit représentée par p, et cherchons les trois composantes de son action sur un point matériel dont la masse est fx, et dont les coordonnées sont a, 6, y. L'élément de volume dxdydz du corps aura pour masse pdxdydz^ et son action sur fx sera exprimée par (ip dxdjdz F {r)^ si l'on désigne par F (r) l'action mutuelle de deux unités de masse à une distance r l'une de l'autre. Les composantes X, Y, Z de l'attraction du corps entier parallèlement aux axes de coordonnées seront

Y = p JJJp (^JZl)^Y{r)dxdydz,

Z ^y^JJJp (^L—L^F{r)dxdjrdz,

et Ton aura

^{x — ay 4- (r — ^Y 4- (« — 7)' = '••

11 suffirait de les changer de signe pour passer au cas de la répulsion.

Ces intégrales , qui s'étendent à la masse entière du corps, peuvent se réduire, à une seule. En effet, en différentiant partiellement r par rapport à a, S, y, on obtient

dr (x — a) dr (y — 6) dr (z — 7)

doL r d^ r dy r

Soit maintenant f (r) la fonction dont la dérivée, par rapport à r, est F (r) 5 posons

fffPfir)dxdxdz = V,

et différentions les deux membres de cette équation par rapport à a, 6, y] il suffira de différentier sous le signe/, si (f (r) ne passe pas par l'infini , et l'on trouvera ainsi les formides suivantes :

dU ^ dV dV

Tout dépend donc de la seule intégrale U.

n est bon de remarquer que si, dans le cas, par exemple, d'un solide indéfini, l'intégrale U prenait une valeur infinie , mais que les dérivées partielles désignées par

-T-> -Ts » -T- fussent finies, les valeurs précédentes de

da rto dy *-

X, Y, Z n'en seraient pas moins exactes. En effet, prenons d'abord une portion finie du solide-, les composantes de son attraction auront pour valeurs les produits de — [i par les dérivées partielles de la fonction finie U. Supposons maintenant que l'on étende infiniment la partie considérée du solide , les composantes de l'action seront toujours

dV dU dV

-^Ta' -^^^ -^Ty'

que U croisse ou non sans limite. Donc, si ces trois expressions ont des limites , ce sont les composantes de l'at-

PREMIÈRE ANNEE. — STATIQUE. l63

traction du solide indéfini. £t, si elles croissent indéfiniment, on en conclura que Tattraction croit sans liniite à mesure que Ton considère une plus grande partie du corps; c'est ce que Ton exprime en disant que l'attraction du solide est infinie.

Ainsi , il suffira toujours de connaître les dérivées qui entrent dans l'expression des composantes X, Y, Z sans s'inquiéter si la fonction U elle-même est finie ou infinie. On raisonnerait d'une manière analogue si U était infini, sans que le solide le fût.

161 . Dans le cas où l'attraction e&t en raison inverse du carré de la distance ,

et faisant, dans ce cas,

ffft±±±^y^

on aura

dW d\ d\

'^•^ doL ^^ dt ^^ dy

Si le point attiré fait partie du corps, la fonction y(r) passe par l'infini; mais ces formules subsistent toujours. En efiet , elles n'oiSrent aucune difficulté , si on les applique à tout le corps, moins une sphère infiniment petite qui renferme le point attiré. Or V a une limite , quand cette sphère tend vers zéro; car l'élément de volume exprimé en coordonnées polaires ayant pour origine le point attiré a pour expression HrfrsinSrfOrf^f/; or, si Ton divise par r et qu'on intègre dans Vétendue de la sphère de rayon infiniment petit, on aura une quantité infiniment petite du second ordre. Il suit de là que la fonction Y étendue au corps entier est finie , et, par suite, ses dérivées par rapport

|64 CODAS DE MSCAHIQDB.

aux indéterminées a , 69/9 le sont aussi. On voit de même que X 9 T , Z ont aussi des limites \ d'ailleurs , quand les deux membres d'une équation ont des limites, ces limites sont égales : donc les formules qui donnent X , Y , Z sont encore exactes quand on considère le corps entier dont le point fait partie.

162. L'attraction sur le point a , 6 , 7 , estimée suivant la direction du vecteur r mené de l'origine à ce point , a pour expression

^a ^6 ^7 /rfU a rfU€ dU y\