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et qu'on pose

€6 qui donne o et ^ pour limites de ix ^ si , ensuite , on mul-

ABf

liplie les trois composantes X', Y', Z' par /> on aura,

A. i5 VI

d'après le théorème de Maclaurin , les composantes de l'attraction de rèllipsoïde donné ; et l'on retrouvera ainsi les formules (5).

179. Théorème d'Iuory, — Ce théorème a aussi pour objet de ramener Tatlraction d'un ellipsoïde homogène sur

un point extérieur, à celle d'un autre ellipsoïde sur un point de son intérieur. Il n'offre aucun avantage sur celui de Maelaurin; mais, comme nous Pavons dît, son auteur Ta fait connaître à une époque où l'autre n'était pas encore bien rigoureusement , ou du moins, bien simplement démontré ^ et il a été considéré par les géomètres comme une découverte importante.

Soient a , 6 , y les coordonnées d'un point extérieur à un ellipsoïde dont les demi-axes sont A , B , C -, la composante X de son attraction sur ce point sera

(x — a) dxdy dz

les intégrales s'étendant au volume entier. Intégrant par rapport à x, et désignant par rj, i\ les distances du point attiré aux points extrêmes du filet de l'ellipsoïde dans lequel on a fait Fintégration, on trouvera

Concevons maintenant un ellipsoïde homofocal avec le preniier, passant par le point donné, et cherchons son attraction sur le point correspondant à ce dernier sur la surface du premier ellipsoïde. Pour cela nous prendrons le rectangle dy' dz\ dont les points seront les correspondants de ceux de dydz^ et n^us intégrerons dans l'étendue du filet du second ellipsoïde, qui se projette suivant dy' dz' sur le plan YZ. Nous trouverons , pour la composante de l'attraction de ce dernier corps sur le point correspondant au point donné ,

IjCs rayons /', et r* sont les mêmes que pour le premier cllip-

PREMICRB ANNÉE. — STATIQUE. 20I

solde,, puisque leurs extrémités sont respectivement correspondantes de celles des autres.

Or, dydz' \dydz :: B'C : BC \ et cette proportion ayant lieu pour les portions des intégrales relatives à deux filets correspondants quelconques^, aura lieu pour les intégrales elles-mêmes \ d'où résulte

x:X'::bç:B'C',

et de même

Y:Y':: ACiA'C, z:Z':: ab:a'b'.

On peut donc énoncer le théorème suivant , qui est celui de M. Ivory :

LêCS attractions que deux ellipsoïdes homofocaux exercent parallèlement à chaque axe^ sur deux points correspondants placés sur leurs surfaces respectiv^es ^ sont entre elles comme les produits des deux axes perpendiculaires à chaque composante.

Poisson a renaarqué que ce théorème était indépendant de la loi d'attraction. Car si la fonction de la distance qui exprime l'attraction est désignée par F (r) , on aura

intégrant par rapport à x l'expression (x — a)F(r)— ? ou F (r) c?r, et désignant le résultat par 9 (r) , on aura

^ =f?ffdX ^^ [? ('•> ) — ? ( '••i)]- Pour le second ellipsoïde, on trouvera de même

X'=^/p//rf/rf/[T(r.)-?(r.)];

d'où l'on conclurait encore '*