XA XA
, , ,^ 3M/6 / \A XAA' \
SM/v/ XA XAA' \
On fera A' = A si le point est la surface même de l'ellipsoïde. Si X = o, Fellipsoïde se réduit à une sphère , et les formules (7) coïncident avec celles que l'on connaissait pour ce cas.
175. Ellipsoïde de réi^olution allongé. — L'ellipsoïde sera encore de révolution si A == B , mais il sera allongé vers les pôles*, on aura alors X = o, et les formules (5) deviendront
3M/a /*A' u-'du ^ 3 M/6 r^' u'du
-hV'tf,)'
3 M/y ^A.' u'du
Or, on a
" u'du u^i-\-V'u') I , ,,, / TT-Tv
el rintégrale qui entre dans Z s'en déduira en la multipliant par V et diflérentiant le produit par rapport à V\ on trouvera ainsi
3 M/a [VA ^ / V^ , /VA . / . V^\A"|
L'ellipsoïde se réduira encore à une sphère en supposant C = A ou X' = o; les formules (8) se réduiront à -J, et, traitées par les procédés ordinaires , elles reproduiront encore celles qui conviennent à ce cas particulier.
Nous allons maintenant faire connaître les méthodes au moyen desquelles on résolvait le même problème, avant que celle de M. Chasles fût connue.
yiutres méthodes pour calculer i attraction des
ellipsoïdes,
176. Le calcul direct de l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur un point est beaucoup plus facile quand ce point est dans son intérieur ou à sa surface que quand il lui est extérieur. C'est le cas que Ton a traité d'abord; on a ramené ce calcul à des quadratures simples , et les géomètres ont dirigé leurs efforts vers la réduction du second ca»
ig2 COURS DE MÉCANIQUK.
au premier. Ils ont découvert deux théorèmes qui remplissent cet objet : Tun, qui porte le nom de M aclaurin , quoiqu'il n'ait été démontré par ce géomètre que dans un cas particulier 5 l'autre , qui est dû à Ivory. Nous allons exposer ces différentes théories qui résolvent aussi complètement que possible ce problème , si important dans la théorie du système du monde. Poisson , après beaucoup d'efforts, est parvenu à faire directement le calcul de Fintégration pour le point extérieur ] mais nous ne ferons pas connaître ses recherches sur ce point, parce que les calculs sont trop compliqués ) et qu'ils ne nous paraissent pas très-importants pour la question en elle-même.
Soit l'équation de l'ellipsoïde
Soient a , 6 , y les coordonnées du point intérieur attiré fx, auquel nous supposerons une masse égale à l'unité \ p la densité de la matière homogène qui compose l'ellipsoïde; Ç, y?, Ç les angles que fait avee les axes la direction d'un rayon vecteur quelconque mené par le point /m^ dtù un angle solide infiniment petit dans la direction de ce rayon, et son sommet en (i.
Partageons la portion de l'ellipsoïde comprise dans cet angle solide , par des sphères ayant leurs centres en fi et des rayons r croissants par différences infiniment petites dr\ l'expression d'un quelconque de ces éléments de volume sera r'rfcoJr; et l'attraction étant supposée en raison inverse du carré de la distance , son action sur le point fx aura pour expression
fp r/w dr.
Faisant la somme des actions de tous les éléments qui composent Tanglc solide depuis le sommet |ui jusqu'à sa rcncoa-
PAEMXÈEE ANNÉE. — STATIQUE. Iû3
tre avec la surface de rellîpsoïde, on obtiendra, en désignant le rayon fiM par r^
Les trois composantes de l'action de cette portion du solide seront
/"prcosÇr/w, yjpr cos>je/w, /pr cosÇrfw.
Soit maintenant r* la valeur négative du rayon (iM' de la surfacedeTellipsoïde, correspondante aux mêmes angles g, ï3, ^. En prolongeant en sens contraire le premier angle solide, on aurait à faire un calcul analogue au précédent; seulement les angles relatifs à sa direction seraient les suppléments de I, >î, ^, etla valeur absolue du rayon vecteur serait — r' 5 de sorte que les composantes de la force produite par la portion de Tellipsoïde comprise dans ce second angle solide auront pour expressions
ypr' ces Çrfw, f^r'co^ndtày /"pr' ces Çrfw.
En les ajoutant aux premières , on aura
/p [r -+- r') cos Idw , /?('• + '•') cos»rfw , /pir-hr^) ces Ç^o) ,
et si l'on fait la somme d'expressions de ce genre en prenant pour dta tous les éléments d'une demi-sphère quelconque ayant son centre en (i et pour rayon Tunité, on obtiendra les composantes X, Y, Z de l'aclion de rdlipsoïdo entier sur le point 11, Pour avoir les valeurs de r et /', il faut rapporter l'ellipsoïde à des coordonnées polaires, au moyen des formules
a* = a -f- r cos Ç , 7= 6 -f^rcos >î, z =: y -\- r cos K\
ce qui donne pour équation de rellîpsoïde
pr^ -H 9.qr= /.
ig^ COURS DE MKCANIQUE.
En posant
COS^ Ç COS' Yl cos* Ç
a COS s 6 COS Yi 7 COS Ç
on reconnaît de suîte que les deux valeurs de r données par Téquation ci-dessus, pour une valeur des angles Ç, yj, ^, sont de signes contraires, puisque;? et /sont essentiellement positifs^ et l'on aura
P Si maintenant Ton observe que, pour deux directions contraires 5 - est le même , au signe près , et que , par consé-
, T . a COS g û^COSïJ 7C0SÇ 1 .
quent , les plroduits ? ? sont les mêmes ei»
grandeur et en signe pour ces deux directions, on reconnaîtra qu'au lieu de prendre pour les directions (iM de l'angle solide celles qui sont d'un même côté d'un plan passant par fi^ on peut les prendre tout autour Je ce point, pourvu qu'on divise par 2 le résultat. Nous aurons donc, en considérant que les sommes S se rapportent à toutes les directions autour du point (jl ,
7CosÇ
d(ti.
Parmi les sommes partielles dont se composeront les va.— leurs de X, Y, Z, quand on aura substitué à y sa valeur, se
PRKHIÈHE ANNÉK. STATIQIIK. iq5
trouveront les trois suivantes :
2 CCS S cos m db> ^ cos Ç ces Çe/a> ^ cos n ces Çr/u — p — ' Z — j, — ' Z — 7 — '
qui sont évidemment nulles comme composées d'éléments, deux à deux égaux et de signes contraires : car, en conservant les mêmes valeurs quelconques à deux des trois angles, choisis convenablement , le troisième peut avoir deux valeurs supplémentaires; et, quant au dénominateur, il restera le même dans les deux cas. On aura donc, d'après cette remarque ,
ypa^eos'Ç</w /p6w^cos'»^w
~ c^ jZà p '
Pour eflectuer ces calculs, il faudrait exprimer l'un des trois angles Ç, yj, Ç au moyen des deux autres; mais il vaudra mieux introduire les deux angles que l'on emploie le plus ordinairement dans les coordonnées polaires , et qui sont l'angle formé par le rayon vecteur avec l'un des axes , par exemple l'axe de x, et celui que fait avec l'axe des^ la projection du rayon vecteur sur le plan des y ei z. Désignant le premier par 0 et le second par ^p, on aura
cos g = cos 9 , cos Jî = sin 0 cos ip, cos Ç = sin 9 sin >{^.
Nous calculerons d'abord la valeur de X ; celles de Y et Z s'en déduiront par de simples changements de lettres! Dans ee nouveau système de variables , on aura
et
^ /pa /* /• cos^ 0 sin 0 dO d'^
~ ~ '0 sin' 0 cos' ^ sin' 0 sin'^i '
* ' »xtégrale par rapport à ^ est prise entre les limites o et a îi,
196 COURS DE HfÉGANIQlTK.
et celle par rapport à 9 , entre o et tt. Quant à la première, il suffira de-la prendre entre o et - » puis de quadrupler le
résultât^ pour la seconde, on la prendra aussi entre o et ~
et l'on doublera le résultat.
Commençons par effectuer l'intégration par rapport à (|/, et posons pour cela tang ^ = m , d'où
sin' -^ = , ces' ^ == î d-^ =
On aura ainsi
du
Q-hb' cos' e) H- b\a' sin' Q-^c^ cos'ô)w^ na^ bc
2 \/(a* sin* 0 -h ô' cos' ô) («' sin» ô 4- <?' cos^ 0)
Il restera donc à effectuer l'intégration par rapport à ô, ce qui n'est pas possible sous forme finie si les trois axes de rellipsoïde sont inégaux. Pour déduire la valeur de Y de celle de X , on observera que si l'on avait introduit l'angle du rayon vecteur avec Taxe des y au lieu de l'axe des x, dans le système des coordonnées polaires, le calcul relatif à Y n'aurait différé de celui que nous venons de faire que par le changement réciproque des lettres a et b -, la même remarque s'applique à c, et l'on aura, en conséquence, les formules suivantes :
ces' 0 sin e dB
X = — ^Tzfpbco: j -r=
Jo s/(a
s/{a^ sin' 0 + ^' ces' 0) (a^ sin' 0 -f- c' cos'O)
TT
, ^ ^ r ^ cos^0sin0fl?0
Y rzr — ^n/aac^ I -^-
Jo V(^'sin'0-}- «'cos'0)(^'sin'0-f-c'cos'ô)
Z ^z-^^ir/paby j
^ cos'0sin0É?0
v/(c' sin' B-h b' ces' 0) (c' sin' 0 + fl*cos'Ô)
PREMIÈBE ANNÉE. — STATIQUE. 1Q7
On donnera à ces expressions la forme trouvée précédemment , et posant cos 0 = u , elles coïncideront ainsi avec les formules (6) , dans lesquelles «,6,7 désignent les coordonnées d'un point quelconque de l'intérieur, ou de la surface de rdlipsoïde.
Ces valeurs de X , Y, Z étant respectivement de signes contraires à a, 6, y, chacune des composantes tend à rapprocher le point de Torigine. On remarquera encore que ces valeurs ne changeraient pas si Ton multipliait les quantités a^ b^ c par un môme nombre. L'attraction n'est donc pas changée par l'addition ou la soustraction d'une couche comprise entre la surface de Tellipsoïde proposé et une surface semblable plus grande ou plus petite, pourvu que le point [f. soit toujours dans son* intérieur; car nos calculs sont fondés sur cette supposition. D'où Ton conclut que le solide homogène compris entre deux ellipsoïdes semblables dont les axes coïncident en direction, n'exerce aucune action sur un point matériel placé dans l'intérieur de sa plus petite surface.
Maintenant que le problème est résolu pourun point intérieur à Tellipsoïde ou sur sa surface , il suffit d'y ramener le cas d'un point extérieur pour que le problème proposé soit complètement résolu. C'est ce que Maclaurin a essayé de faire au moyen d'un théorème qui a conservé son nom, quoiqu'il ne l'ail pas démontré avec toute la généralité nécessaire. Il avait été établi péniblement par d'autres géomètres •, de sorte que Ton pouvait en faire l'usage que nous allons indiquer. Mais, comme sa démonstration n'était pas simple, on a continué à chercher à perfectionner celte importante théorie, et M. Ivory a découvert un autre théorème très-élégant qui remplissait le même objet d'une autre manière, et dont il déduisait même celui de Maclaurin dans toute sa généralité. Après lui , M. Rodrigues a trouvé uae autre démonstration analytique fort simple de ce der-
ig8 COURS DE 31ÉCAMQCE.
nier théorème, et enfin M. Chasles en a donné une pin» simple encore et tout à fait géométrique, que nous avons déjà fait pressentir et que nous allons faire connaître.
177. Théorème de Maclaurin. — Ce théorème a pour objet de comparer les actions de deux ellipsoïdes homofoeaux, homogènes et de densités quelconques sur un même point extérieur à Tun et à l'autre. Â cet effet, on partagera chacun d'eux en couches infiniment minces , par des surfaces ellipsoïdales semblables à la surface qui le termine et respectivement homofocales. Nous avons démontré (n^ 165) que deux couches homologues de ces deux corps exercent sur le point extérieur des actions de même direction et proportionnelles aux masses de ces couches , et , par suite , à celles des ellipsoïdes proposés. Il résulte de là qu'en composant toutes ces actions élémentaires qui auront respectivement un rapport constant et une même direction , on aura deux résultantes de même direction, et ayant entre elles ce même rapport. D'où résulte le théorème suivant :
Deux ellipsoïdes homofocaux homogènes exercent sur un même point extérieur quelconque des actions de même direction et proportionnelles aux masses de ces corps.
Cette proposition aura encore lieu lorsque la surface d'un des ellipsoïdes passera par le point même , et Fon voit facilement que pour calculer l'action d'un ellipsoïde homo* gène sur un point extérieur, il suffira de déterminer l'ellipsoïde homofocal passant par ce point , auquel on donnera la même densité qu'au premier. Les formules (6) feront connaître les composantes de son action sur ce point, et il suffira de les multiplier par le rapport du volume de Tellipsoïde proposé à celui du second pour avoir les composantes de l'action du premier. Nous allons effectuer ce calcul.
178. Application du théorème de Maclaurin, — Nous^ avons démontré précédemment ce théorème, et nous alloua montrer maintenant l'usage que l'on en peut faire pouv
P&KVlÈES ANNEE. — STATIQUE. IQQ
obtenir l'action d'un ellipsoïde sur un point extérieur, con* naissant son expression pour un point intérieur.
Soient A, B, C les trois demi-axes de Tellipsoïde donné, A', B', G' ceux de l'ellipsoïde homofocal, passant par le point extérieur («, 6, y). Les composantes de Faction de ce dernier sur ce point se calculent directement, sans difBculté, et sont
Si l'on observe que l'on a B'» - A'» = B« - A», C'» - A'» = C^— A% ?^ = t^ ,
