MN
couru au temps, ou -— > exprimera la vitesse moyenne avec
2IO COURS DK MKCAMQUE.
laquelle cet arc a été décrit ^ c'est-à-dire que ce 5era l'espace parcouru pendant Tunité de temps, en supposant le mouvement uniforme, et tel que l'arc MN soit parcouru pendant le temps 6. Si maintenant on suppose que 6 diminue iûdéfi-
niment, la vitesse moyenne — variera en même temps, et
tendra vers une limite déterminée, que nous appellerons la vitesse du mobile au point M.
Ainsi, pour employer le langage reçu dans le calcul infinitésimal , on appelle vitesse d'un mobile à un instant donné , la vitesse moyenne avec laquelle il décrit un arc in* finiment petit, à partir de cet instant.
Si Ton désigne par t le temps , et par s la longueur des arcs de la ligne décrite, à partir d'une origine arbitraire, la
limite du rapport -r- n'est autre chose que — • Ainsi la vitesse en un point quelconque du mouvement est exprimée par la première dérivée de l'espace parcouru par rapport au temps.
187. Il est bon de remarquer que l'arc décrit dans un temps infiniment petit peut être considéré comme le produit de ce temps par la vitesse du mobile au commencement de ce petit intervalle. Car cet arc serait rigoureusement le produit du temps par la vitesse moyenne relative à cet intervalle, et cette vitesse moyenne diilere d'une quantité infiniment petite de ce que nous avons appelé vitesse au commencement de rintervalle. 11 est évident que l'on pow^ rait encore prendre la vitesse à une époque quelconque du même intervalle. Le résultat ainsi obtenu ne différera jamais de celui que l'on cherche que d*une quantité infiniment petite par rapport à lui-même , et pourra par conséquent lui être substitué toutes les fois que l'on n'aura à considérer que des limites de rapports ou de sommes.
Ainsi, par exemple, l'espace parcouru dans un terop*
PREMIERK ANNÉK. — STATIQTJK, 21 I
fini sera la limite de la somme des produits des éléments infiniment petits de ce temps , par les vitesses correspondantes aux commencements de ces éléments. La vitesse telle que nous venons de la définir, joue donc le même rôle dans le mouvement varié , que la vitesse premièrement définie, dans le mouvement uniforme, pourvu que l'on ne considère que des termes infiniment petits *, et c'est à cause de cette analogie , qu'il était cfonvenable de lui donner le même nom.
i88. Équation finie du mouvement uniforme. — Le mouvement uniforme d'un point sur une ligne indéfinie , droite ou courbe , peut être représenté par une équation du premier degré entre le temps et la distance.
Désignons par t le temps compté à partir d'une époque déterminée, par x la distance du point mobile M à une origine fixe O, prise sur la ligne indéfinie X'X que ce point parcourt^ a la distance OA de l'origine au point qù se trouve le mobile lorsque f = o ; enfin \f sa vitesse , ou l'espace constant qu'il parcourt dans l'unité de temps.
Cela posé , nous nous proposons de trouver une équation au moyen de laquelle on puisse connaître la position du point mobile, à une époque quelconque, e'est-à-dire une équation entre xeit.
Or le mobile parcourant un espace y dans Tunîté de temps, parcourra ^t dans le temps quelconque <•, et par conséquent, si l'on suppose d'abord (jue la direction du mouvement soit celle des x positifs OX , à un instant quelconque on aura
X et a étant de3 quantités positives ou négatives, suivant la position des points A et M par rapport à l'origine ; u étant un nombre absolu , et t un nombre positif correspondant aux diflérentes époques postérieures à celle qui sert d'origine aux temps.
212 COURS DK MÉCAMQUK.
On aperçoit immédiatement qu'il est inutile d'employer une équation distincte de la précédente , pour représenter les positions du mobile, qui correspondent aux époques antérieures à cette origine, et qu'il suffit de donner à t des valeurs négatives dans l'équation ci-dessus.
Enfin , on peut renfermer dans cette même équation les mouvements uniformes , dont la direction est opposée à celle des x positifs \ et Ton aperçoit aisément quMl suffit de supposer que i^ ne représente pas seulement le nombre d'unités de longueur parcourues dans Tunité de temps, mais ce nombre aflfecté inplicitcment du signe — . De cette manière, l'équation générale
(i) X = a -h vt
peut représenter tous les mouvements uniformes , rapportés à des origines quelconques pour les temps et les distances , et à une direction quelconque du mouvement par rapporta celle des x positifs.
Les quatre quantités :c, a, ^', t peuvent donc être implicitement négatives , et nous venons de déterminer dans quelles circonstances elles devaient être considérées comme telles. Cette manière de les envisager est , comme nous l'avons dit, indispensable pour que tous les cas soient renfermés dans une seule équation^ ce qui est de la plus haute importance, comme on le sait, dans toutes les formules algébriques.
Cette équation (i) peut donner lieu à diverses questions simples, que l'on traite ordinairement dans les cours élémentaires d'algèbre, et dont nous ne nous occuperons pas ici .
189. Equation différentielle du inouy^ement uniforme. — Nous avons vu que , dans un mouvement quelconque, la
, ds ,
vitesse était mesurée par —7 s désignant Tespace parcouru;
cette expression devient, dans le cas actuel, -7-5 indépen-
dammentde toute considération de signe.
Or, si nous prenons t pour variable indépendante, et, par
suite, J^positif, — sera positif si le mouvement a lieu dans
le sens desx positifs, et négatif dans le cas contraire. Si
dx donc nous posons v^=: —t c'est dire que nous entCDdons
par ^» une quantité positive ou négative , suivant que le mouvement a lieu dans le sélks des x positifs ou négatifs \ du reste, les origines des temps et des abscisses n'y entrent pour rien, et le mouvement peut être varié d'une manière arbitraire. Ainsi pour avoir une équation qui renferme tous les mouvements uniformes , il suffira de poser
dx
f^ désignant une quantité constante, positive ou négative.
Cette* équation se déduirait de (i) par 1^ dilTérentiation , comme réciproquement , on en déduirait la première par une intégration, qui introduirait une constante arbitraire a.
i90. Moux^ement uniformément varié. — Après le mouvement uniforme , le plus simple est celui où la vitesse, au Heu d'être constante , varie uniformément , c'est-à-dire de telle . «orte que ses accroissements soient proportionnels à ceux du temps. Ce mouvement, qui servira de terme de comparaison aux mouvements variés plus compliqués, mérite qu'on en dise ici quelques mois , et c'est par lui que nous terminerons ces exemples simples.
La condition que la vitesse ^ ait ses accroissements proportionnels a ceux du temps , entraine celte autre condition
que sa d&ivée -7- soit constante, et réciproquement. Ea
2l4 COURS DE MÉCAlSIQtJE.
désignant donc par a une constante quelconque,' positive ou négative, l'équation générale qui renfermera tous les mouvements uniformément variés sera
dv d^ X . dx
dF^"' "" -JF-" P""^"" •'=Â'
on déduit de la , en intégrant ,
dx dt
équation qu'on aurait pu obtenir immédiatement : en F intégrant de nouveau , il vient *
(2) J? = \-bt-\-Cy
h çXc désignant deux constantes arbitraires.
Les accroissements de la vitesse sont positifs ou négatifs en même temps que a, qui est Taccroissement de la vitesse, dans un temps quelconque, divisé par ce temps*, ou Vaccroissement de la vitesse dans Tunité de temps.
On donne à cette quantité le nom particulier S accélération. En entendant que cette accélération peut être positive ou négative, comme nous l'avons dit, le mouvement peut être dit uniformément accéléré ; et celte dénomination n'entraine pas l'idée d^une vitesse croissante plutôt que décroissante.
Les équations (i) et (a) dans lesquelles a^h ^ c peuvent avoir des signes quelconques, donnent lieu à divers problèmes d'algèbre élémentaire, dont la discussion n'offre aucune difficulté, et dans le détail desquels nous ne pouvons entrer ici .
Du mouvement rectiligne varié en général.
191. Dans ce qui précède, nous avons supposé que le point se mouvait sur une ligne quelconque. Mais mainte-
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 2l5
nant que nous allons faire une étude plus approfondie du mouvement ^ . nous supposerons d'abord , pour ne pas réunir toutes les difficultés , qu'il s'effectue sur une ligne droite.
La notion d'accélération que nous venons de donner dans le mouvement uniformément accéléré peut recevoir une extension analogue à celle que nous avons donnée à la vitesse.
En effet, désignons par Ai^ l'accroissement de vitesse que prend le point , à partir d'un instant quelconque , lors- <}he le temps croit de At, et imaginons un mouvement uniformément accéléré dans lequel la vitesse serait la même que celle du mobile au premier instant , et qui aurait un4^ accélération telle, que la vitesse croîtrait de même de At» dans le temps A t ; cette accélération moyenne sera mesurée, d'après ce qui précède, par — ? et tendra vers une
certaine limite à mesure que A? tendra vers zéro.
Cette limite est ce que l'on appelle V accélération dans le mouvement proposé, à l'instant que l'on considère. Son expression est
dp d'^x
— ou •
dt de
Et il est facile de voir qu'elle jouera le même rôle dans le mouvement varié en général , que dans le mouvement uniformément accéléré, pourvu queroh ne considère que des intervalles, infiniment petits. En effet , si A/ est infiniment petit, on aura
^v dv
Tt^dt'^''
s étant aussi infiniment petit, et, par conséquent,
du '
^v =: — àt -\- iàt.
dt
2l6 COURS DE MÉCANIQUE.
Doue, l'accroissement Ai^ de la vitesse ne difïere de
--- At que d'une quantité infiniment petite, par rapport à
Ai^, et qui pourra être négligée toutes les fois qu'on ne considérera que des limites de sommes ou de rapports. Donc , dans tous les cas de ce genre , Taccroissement infiniment petit de vitesse pourra être calculé comme si le mouvement était uniformément accéléré, et que l'accélération de ce mouvement fût égale à ce que nous avons appelé l'accélération dans le mouvement varié en question.
Remarque. — Il est. bon de remarquer que nous àvoni considéré de deux manières fort différentes un mouvement varié quelconque , comme limite de mouvements successif de durées infiniment petites. Dans un cas, ces mouvements élémentaires sont uniformes, dans Tautre ils sont upiformément accélérés.
Les premiers ont, à l'instant commun , le même — que
leproposé^ en d'autres termes^ la même vitesse; les seconds,
le même -r- et le même -r-5 c'est-à-dire même vitesse et dt dv
même accélération. Les premiers^ont , s'il est permis de s'exprimer ainsi , un contact du premier ordre avec le proposé; les seconds , un contact du second ordre. Mais aussi on ne peut, même dans un temps infiniment petit, remplacer le proposé par les mouvements élémentaires du premier genre que pour calculer les accroissements d'espace ; tandis qu'on peut employer les autres pour le calcul de l'accrèlsscment de la vitesse.
Mouvement curviligne d'un point,
192. Direction de la vitesse, — La définition que nous avons donnée de la grandeur de la vitesse est indépendante
PREMIÈRE ANNÉE. — STaTIQDE. Il 'J
de la lîgneque décrit le mobile, et que l'on nomme ordinairement la trajectoire. Mais quand le mouvement est curviligne, il y a une considération de plus à introduire, celle de la direction. Dans le mouvement rectiligne, la droite qui joint une position du mobile avec une autre infiniment voisine, a toujours une même direction, celle de la droite qu'il décrit, et qu'on nomme la direction du mouvement. Dans le mouvement curviligne, la droite qui joint une position déterminée à celle qu'il a, après un temps infiniment petit, varie à mesure que l'intervalle diminue, et tend vers une limite que l'on appelle quelquefois la direction du mouvement à l'instant considéré, et que nous nommerons spécialement direction de la vitesse à cet instant. Elle se confond évidemment avec la tangente à la trajectoire au point que l'on considère, prise dans le sens du mouvement.
Les cosinus des angles qu'elle fait avec les trois axes d'un système de coordonnées rectangulaires seront donc, en grandeur et en signes , *
dx djr dz ds ds ds
en considérant ds comme la valeur absolue de l'élément de l'ajc, et dx^ djr^ dz comme les accroissements positifs ou motifs des coordonnées x^y^ z du mobile dans le temps infiniment petit dt.
i93. Composition et décomposition des vitesses, — ■ Lorsque plusieam forces sont appliquées à un même point , nous avons vu dànà la Statique qu'elles pouvaient être remplacAJi^tmr une seulenj'ét il y a une construction géométrique très-simple pour obtenir cette résultante, lorsque toutes les forces sont représeç^s, pour leurs grandeurs et pour leurs directions, par dcsiSroîtes partant de ce point. Lorsqu(î des constructions semblables se rencontrent sans qu'il s'a-
