Composantes y taugentrelle et normale » de la force
— Nous avons déterminé (n*^ 201 ) les composantes, langeu-
tielle et normale, de l'accélération dans le mouvement dé-
d'^ s vîatoire. La première est exprimée par -^-^-î la seconde
par — » et l'accélération elle-même par
Or la force a la même direction que la déviation ou raccélération ; elle aura donc avec ses composantes , suivant la tanfi;ente et la normale, les mêmes rapports que l'accélération et ses composantes suivant ces mêmes directions. Et comme nous venons de voir que la force accélératrice était mesurée par l'accélération du mouvement dévîatoîre, qui est
il en résulte que ses deux composantes seront aussi mesurées par celles de l'accélération.
Ainsi :
La composante tangentielle de la force accélératrice est
et la composante normale, dirigée "vers le centre de courbure, est
R étant le raybu de courbure de la trajectoire : on dé3Îg& aussi celte dernière sous le nom de force centripète. Si au lieu de l'unité de niasse on suppose une masse m, ces deux
PAEMIKRE ANNÉE. — STATIQUE. 337
composâmes se changeront en
m -— - 5 ffi —'
dr R
282. Composantes tangentielle et normale de la force àHnerlie, — ■• Nous avons vu (n** 264) que toutes les fois qu'une action s'exerçait sur un corps, celui-ci exerçait toujours en sens contraire une action égale, que Ton nomme réaction ou. force d*mertie. Si l'action s'exerce par la pression ou la traction d'un autre corps , ou appareil matériel quelconque, c'est sur les points matériels en contact que s'exerce la réaction. Si elle provient d'un corps à distance, c'est toujours sur ce corps que la réaction s'opère ^ et elle est encore égale et directement opposée à l'action qui a lieu sur le premier.
Cela posé, considérons un point libre ayant une masse m et décrivant une trajectoire quelconque sous l'action d'une certaine force , que nous nous représenterons comme produite par la traction d'un fil ou par la pression d'un autre corps; la force d'inertie sera appliquée à ce fil ou ce corps extérieur, au point même de l'espace où se trouve le mobile 9 et pourra être décomposée en deux autres égales et opposées à celles de la force appliquée au mobile : l'une
tangentielle égale à m -jy ' Tautre normale égale à — •
La composante normale sera donc dans le plan osculateur de la trajectoire et dirigée du côté opposé au centre de courbure-, de sorte que si l'on concevait qu'elle agît sur un point sans vitesse pendant un temps fini , ce point se mouvrait suivant la normale en s'éloignant de ce centre. C'est pour cette raison qu'on lui a donné le nom de jorcc cen^ trifuge.
On fait quelquefois de faux raisonnements relativement à la force centrifuge , parce qu'on ne se rappelle pas assez
qu'elle n'est pas appliquée au point en mouvement , maïs au corps en contact avec lui , et qui , par sa pression ou sa traction, déterminerait ce mouvement. Si Ton supposait le mouvement produit autrement que par la pression d'un corps , la réaction , comme nous l'avons dit , ne serait plus appliquée à un point en contact avec celui que Ton considère 5 et la dénomination de force centrifuge ne semble plus assez naturelle. Par exemple, en regardant le mouvement de la terre comme produit par l'attraction du soleil , la réaction de la terre est appliquée au soleil 5 sa composante normale Test donc aussi, et l'on serait obligé de dire que la forcé centrifuge produite par la terre est appliquée au soleil. On ferait peut-être mieux de supprimer cette dénomination qui obscurcit quelquefois les choses, et d'employer le mot réaction^ qui rappelle toujours à quel point la force et ses composantes sont appliquées.
283. La force centripète, et, par suite, la force centrifuge , a d'abord été considérée dans le cercle , et son expression s'y détermine par des considérations très-simples. En effet , si on décompose la force accélératrice qui agit sur le point , et qui est nécessairement comprise dans le plan du cercle en deux autres forces , dont l'une soit tangente et l'autre normale au cercle, le mouvement de la projection du point sur la normale sera uniquement du , comme nous le savons, à la composante normale. Or, en supposant cette composante constante de grandeur et de direction pendant un temps infiniment petit dt^ la théorie du mouvement uniformément accéléré apprend que sa valeur sera égale au double de l'espace parcouru suivant la normale divisée par le carré du temps. Cet espace est égal au carré de la corde, ou de l'arc ds ^ dont il est la projection, divisé par ledia-
mètre 2R5 donc la composante normale est égale à -—ou
PAEMIERE ANNÉE. STATIQUE. SBg
à - • Telle est donc , dans le cercle, Texpression de la force R
mv^
centripète ou de la force centrifuge. Elle serait — pour le
point dont la masse serait m.
Si Ton désigne par o) la vitesse angulaire du rayon qui contient le mobile, on aurar
p = wR,
et l'expression de ces forces devient
#w w'R, ou encore
en désignant par T le temps que le point met à décrire le cercle.
En supposant que le mobile soit obligé de décrire le cercle au moyen d'une tige ou d'un fil, sans masse, de longueur invariable, dont une extrémité est fixée au cen,tre, ce fil tire le point et produit sur lui la force centripète-, il est tiré à son tour par la force centrifuge. Ces deux forces en équilibre sur le fil déterminent sa tension.
Si l'on supposait, au lieu de cela, un cercle matériel que le mobile ne pourrait quitter, par exemple un anneau creux infiniment étroit , dans l'intérieur duquel serait le point en mouvement , ce cercle exercerait sur lui une force dirigée vers le centre^ et, réciproquement, celui-ci en exercerait une autre sur ce cercle, égale et directement opposée.
Enfin on peut concevoir un mode de liaison quelconque qui oblige le point à décrire un cercle. Nous allons en donner un exemple très -simple et très-important par les conséquences qui s'en, déduisent relativement à la pesanteur,
34o COURS DE niECANIQUE.
284. Injluence du moui^ement de rotation de la terre sur la pesanteur, — Considérons un système de forme invariable et dont les points exercent les uns sur les autres des actions quelconques détruites par leur liaison mutuelle, et donnons-lui un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe. Il est facile de reconnaître qu'alors les liaisons du système détruisent, pour chaque point matériel, les actions mutuelles qu'il subissait dans l'état primitif, jointes à la force centrifuge correspondante à sa masse et à son mouvement.
En effet, on peut ajouter à toutes les actions primitives la force centripète et la force centrifuge relatives à chaque point, puisque ces deux forces se détruiront. Or la for^e centripète produirait le mouvement du point s'il était libre 5 il faut donc que toutes les autres soient détruites: donc la résultante des actions mutuelles primitives exercées sur chaque point, et de la force centrifuge considérée alors comme appliquée à ce point même , est détruite par les liaisons.
Soient r la distance d'un point quelconque du corps à l'axe, et T le temps de la révolution entière-, la vitesse de ce
2 TT /* U. Tt' r
point sera -—9 et la force centrifuge -—^ — On voit qu'elle
est proportionnelle à la distance de l'axe ^ elle est donc nulle aux extrémités de l'axe , et la plus grande possible pour le point le plus éloigné de l'axe.
La terre est animée d'un mouvement de rotation qui, comme nous venons de l'expliquer, introduit parmi les forces détruites par la liaison des points, une force centrifuge qui n'existerait pas si elle n'avait qu'un mouvement de translation, par lequel tous ses points décriraient, dans un même temps infiniment petit, des droites égales et parallèles. Ce mouvement de rotation s'effectue dans 86f64*^
PiSliLMlEEE ANNÉK, — STATIQUE. 34 1
coudes, cl l'on a, par conséquent,
A Téquateur, la rotation de la terre et la force centrifuge étant directement opposées , la pesanteur a une valeur égale à celle qu'elle aurait si la rotation n'avait pas lieu, diminuée de la force centrifuge. Si l'on fait d'abord abstraction du petit changement de la pesanteur à la surface de la terre, on pourra la regarder comme égale à g k l'équateur, et si l'on appelle G celle qui aurait lieu si la terre ne tournait pas sur elle-même, et qui est la résultante des actions mutuelles, on aura
Mais inr= 40000000^ donc on aura à peu près ou, à très peu près,
La gravité est donc diminuée environ de yt^ de sa valeur par la force centrifuge à l'équateur. Et comme 289 est le carré de 17 et que la force centrifuge est proportionnelle au carré de la vitesse 5 si le mouvement de rotation était environ 17 fois plus rapide, la pesanteur serait nulle à l'équateur.
Sur un parallèle quelconque, la force centrifugé n'est pas directement opposée à l'attraction de la terre , mais elle change très-peu la direction de cette attraction ou de la gravité , et la diminution de son intensité est sensiblement égale à la projection de la force centrifuge sur la normale
a la sphère, ou -, r étant le rayon du parallèle,
et X sa latitude. Or, en supposant la terre sphérique, on aura
/ = r cos > ,
et la diminution de la pesanteur sur ce parallèle sera
Elle varie de Téquateur au pôle proportionnellement au carré du cosinus de la latitude. Mais la terre n'étant pas tout à fait spbérique , il en résulte une autre- diminution proportionnelle au carré du cosinus de la latitude, et qui s'ajoute à la première-, de sorte que le poids d'un corps transporté du pôle à Téquateur diminue de 7— au lieu de ^.
