CHAPITRE III

DU MOUVEMENT D*UN POINT LIBRE DANS l'eSPACE.

278. Ce que dei^iendrait le mouvement si la force cessait d'agir. — Si, à un instant quelconque du mouvement, l'action dé la force cessait entièrement, le point mobile ne pourrait plus avoir qu'un mouvement rectiligne et uniforme, d'après la loi d'inertie que nous avons admise préicédemmcnt. Il ne reste donc à déterminer que la direction et la vitesse de ce mouvement.

Pour cela 5 concevons trois axes rectangulaires, de directions constantes , et dont l'origine ait précisément ce mou-

PREMIÀEE kWÉE, — STATIQUE. 33 1

veji\ent quer nous voulons déterminer. Si la force n^agit plus, le mobile coïncidera constamment avec cette origine. Mais si elle ne cessait pas son action, c'est-à-dire si le point continuait son mouvement réel , le mouvement qu'il prendrait par rapport aux axes mobiles serait, d'après un principe général admis précédemment, celui même qui aurait lieu par rapport à des axes fixes, si on plaçait le. mobile sans vitesse à leur point de rencontre, et qu'on lui appliquât la force même qui le sollicite dans son mouvement réel. Or, l'espace qu'il parcourrait ainsi dans un temps infiniment petit du premier ordre, serait un infiniment petit du second, tandis que celui que parcourrait en même temps l'origine mobile , serait du premier. Si donc, sur la direction rectiligne que suit le point après la suppression de la force, on prend une quantité infiniment petite du premier ordre, elle est à une distance infiniment petite du second ordre, du point sur sa trajectoire 5 d'où il suit-d'abord que cette direction rectiligne ne peut être que la tangente à cette trajectoire. De plus ,* l'espace parcouru par le point sur sa trajectoire ne différant que d'un infiniment petit du second ordre de celui que parcourt l'origine pendant le même temps , la vitesse dans le mouvement réel, à l'instant considéré, est la même que celle de l'origine. On peut donc énoncer la proposition suivante : Sij à un instant quelconque la force qui produit le mouuement d*un point libre cessait d*agir, ce point se nioui^rait alors uniformément suii^ant la tangente à la trajectoire ai^ec la vitesse quil auait à ce même instant. . 279. p^aleur et direction de la force d'après le mouMé" ment produit, — Considérons une position quelconque M \fiS' ^^) ^^^ point dont la masse est m , et dont les coordonnées X ^ y^ z sont des fonctions déterminées du temps f , Si la force qui agit sur lui cessait à cet inslant son action, i} se mouvrait sur la tangente MT avec la vitesse \^ qu'il a

en M. Si donc nous supposons irois axes X', \\TJ constamment parallèles aux premiers, et dont Porigine se meuve sur MT avec la vitesse constante i^, le mouvement du point m, par rapport à ces axes, sera identique à celui qui aurait lieu par rapport à des axes immobiles si le point m était placé sans vitesse à l'origine et sollicité par la même force qui agit sur lui.

Ce mouvement relatif est précisément ce que nous avons appelé le moui^ement dés^iatoire y et la ligne M' m' qu'il flécrit ainsi est ce que nous avons appelé la déviation (n° 195). Ainsi cette dernière ligne peut être considérée comtne celle que décrirait le mobile placé sans vitesse au point M et sollicité par la force même qui agit sur le mobile dans sort mouvement réel, en conservant à celte force une direction et une intensité constante.

On tire de là les deux conséquences suivantes :

i*^. La direction de la force qui agit à un instatit quel^ conque sur le mobile libre, est la même que celle de la déviation en ce point.

2?. L'intensité de cette force, rapportée à V unité de muasse du mobile, est mesurée par l'accélération dans le mouvement déviatoire.

De la première de ces propositions se déduit cette autre proposition importante :

La direction de la jorce en chaque point de la trajectoif^e est comprise dans le plan osculateur de cette courbe en ce point ^ car la déviation y joignant constamment un point de la courbe à un point de la tangente, a pour direction limite une droite située dans ce plan.

Il reste l'naintenant à exprimer analytiqucment les propositions précédentes.

Or nous avons trouvé (n'^^ 197 et 198) que les cosinus des angles que la direction de la déviation fait avec les axes , sont

fREiflÈRE ANNÉE. — STATIQUK. 333

proparti onncls aux trois quantités

d^ X d'^y d^ z 1ÎF\ HF'' HF'*

et que l'accélération dans le mouvement dévialoire était égale à

dt' ) \dO ] \ dt'

Si donc nous désignons par ^ la force accélératrice qui agît sur le mobile, nous aurons, d'après ce qui a été établi dans le numéro précédent ,

et les cosinus des angles que sa direction fait avec les axes auront pour valeurs

<f de' ' «p ^7^' ^ ~dF'

Pour avoir en grandeurs et en signes les composantes de la force accélératrice, il faudra multiplier ces cosinus par la valeur absolue 9 de cette force, et Ton obtiendra ainsi

^^^ 'dF' ~dF' IF'

En multipliant ces composantes de la force qui agit sur l'unité de masse du mobile par sa masse m , on aura les composantes de la force motrice, c'est-à-dire de la force qui agit sur sa masse même. En désignant ces dernières par X, Y, Z, on aura les équations suivantes entre la force qui produit le mouvement et les coordonnées du mobile à

334 COURS nE MÉCANIQUE.

chaque instant :

qui se réduisent aux suivantes, en supposant que le mobile ait une masse égale à l'unité :

d^ je d^ Y d^£

(4) rfF.=^' W^^' 'dF = ^-

Ce sont les équations dilTéreutielles du mouvement de tout point libre.

280. Usage des équations du mouvement. -^ heë équations (3) ou (4) donnent le moyen de ramener au calcul toutes les questions qui peuvent se présenter sur le mouvement d'un point. Le cas le plus simple serait celui où l'on donnerait x, /, ^ en fonction de t; ou, plus généralement , trois équations finies entre x^y^ z^ t. En les dîflTérentiànt une fois par rapport à t , on connaîtrait les composantes de la vitesse du mobile. Une seconde différentiation ferait connaître les composantes de la force accélératrice, et, par conséquent, cette force elle-même en grandeur pt en direction. Enfin l'élimination de ^, entre les trois équations données , ferait connaître les deux équations de la trajectoire.

Mais les données de la question sont , en général , moins simples. Elles devront toujours fournir trois conditions, puisqu'il y a quatre variables x^ j^ z^t^ dont une seule est indépendante : mais si l'on pouvait reconnaître à priori que la trajectoire est plane, on prendrait deux axes de coordonnées dans son plan , et il n'y aurait plus que trois variables, savoir : le temps t et les deux coordonnées, quelles qu'elles soient, du mobile.

Le cas le plus difficile est généralement celui où la force

PREMIKRE ANNEE. STATIQUE. 335

est donnée. On connaît alors X, Y, Z en fonction de x\ j, z^t^ et les équations du mouvement sont de la forme

Si l'on peut intégrer le système de ces trois équations différentielles du second ordre, on parviendra à trois équations entre x^y^ z^ ^ et six constantes arbitraires. Les constantes se détermineront d'après les circonstances initiales du mouvement.

On observera, pour cela, que le mouvement du point n'est pas déterminé par la seule connaissance de la force qui agit sur lui. Il faut encore connaître la position où il se trouve à un certain instant, celui par exemple à partir duquel on commence à compter le temps, et, de plus, la grandeur et la direction de sa vitesse à cet instant. C'est en cela que consiste ce qu'on appelle Y état initial du point ^ et l'on voit qu'il renferme six données nécessaires et suffisantes , les trois coordonnées du point et les trois composantes de sa vitesse.

Or il est facile , au moyen de ces données , de déterminer les six constantes introduites par l'intégration. En effet, les équations intégrales, ainsi que toutes celles qu'on en déduirait par la diflerentiation, ayant lieu pour toute valeur de f , seront satisfaites si Ton y fait ^=o. Pour cette valeur de t on

connaît, par hypothèse, les valeurs de a:,y, -z, —5 —-? -r*

En les substituant dans les équations intégrales et leurs dérivées premières, dans lesquelles on aura fait f = o, on aura six équations qui' ne renfermeront d'inconnues que les six constantes, qui, par conséquent, seront déterminées.

Ayant ainsi trois équations entre x^ j^ z, if, on renlrtt dans le premier cas que nous avons examiné.

336 COURS DE SIKCANIQUE.