CHAPITRE X
MOUVEMENT AUTOUR d'UN CENTRE D'aCTIÔN^
FIXE OU MORILE.
1. Considérons d'abord un point matériel libre. sollicité par une force dont la direction passe par un point fixe, et dont l'intensité lue dépend que de la distance à ce centre d^action.. Noiis savons que le mouvement aura lieu dans le plan qui contient la direction de la vitesse initiale et le point fixe. Prenons ce point pour origine de coordonnées rectangulaires x, y situées dans ce plan 5 désignons par r la distance d'un point quelconque à l'origine ; par 6 Tangle de ce rayon vecteur avec l'axe des x positifs, et par y Tintenfiité de la force accélératrice. Les cosinus des angles que
sa direction fait avec les axes seront respectivement 9
— — si la force est attractive: et -? - si elle est répulsive^
Les composantes de la force seront, dans le premier cas, n. «
d COURS IVft UÈCtJtîQÈt.
— 9 -> — 9 - ; et, dans le second, 9 -? ç - : nos formule»
se rapporteront au premier cas, et il suffirait d'y changer le signe de 9 pour passer au second.
Les équations générales du mouvement du point seront
Le principe des aires donnera (i) r^d^^cdt,
c désignant une constante arbitraire qui se déterminera facilement par les données de l'état initial.
En effet ^ les composantes de la vitesse, suivant la direc-» tion du rayon vecteur et la perpendiculaire à cette direction^
sont respectivement — et -j— Mais si Ton désigne par a
l'angle formé par la direction de la vitesse initiale avec celle de la droite menée de la position initiale du point vers k pôle, et par i^o 1^ vitesse initiale, on aura (^^ sin a pour valeur de la composante initiale dont la valeur générale est
rdB . , I I ...i,e/0 . p, sinoc
— r- ; on connaîtra donc la valeur initiale de -z- qui sera •
di^ dt^r.
En la reportant , ainsi que la valeur initiale de r que nous
désignons par r^ , dans Téquation
r^d^ = cdty on obtient
c = r,p, sin a.
Le principe des forces vives conduira à Téquation suivaote :
ds^ r
— = -2/Trfr = P^
cette intégrale indéfinie renferme une nouvelle constante arbitraire qui sera déterminée par les valeurs initiales der
DSbxiiMB PARTIE. — DYNAttiQUk.
\ei r. Oh trouvera ainsi
(2) f;^ = p5 — 2 / <prfr.
Remplaçant ds^ pAr dfr* 4- r* c?ô*j l'avant-dernière équation devient
rfr'4-r»JS» - ^ ; = — 2 / <p ar.
Eliminant dt au moyen de Téquation (i), on obtiendra tine équation entre r et 6 qui sera celle de la trajectoire \ vient ainsi
J,rf.=-f(i + l^'j = -î'[l-f-(-^jJ.
2. Lorsque la force ç àera connue en fonction de r^ Vé^ i^ation (3) déterminera la trajectoire.
Lorsqu'au contraire la trajectoire sera connue, et que là force f sera inconnue, il suffira de difTérentier Féquation (3) par rapport à r, pour connaître ç. On trouve ainsi , en effectuant généralement cette diflférehtiation ,
Le second membre se ftumiera en faisant Usage de Téquatiôn de la trajectoire^ mais il sera quelquefois plus commode d'employer à cet effet la formule (3) , et de n'opérer la différentiatîon qu'à la fin i
Dans tom les cas, l'équation de Ja trajectoire étant con*-
nue, on en tirera Tune des deux coordonnées en fonction
de Tautre, et, par suite, Téquation (i) fera connaître t en
fonction de r ou de 6, et réciproquement. Le problème sera
donc complètement résolu , puisq[u^on aura Fexpression des
coordonnées du mobile en fonction du temps.
4 coOes dk irÀiAinQut.
3. L'ëquation (i) prend une forme remarquable quand oti j introduit lâ perpendiculaire p abaissée de Forigine sur la tangente à la trajectoire. En effet, les «triangles seBE^ blables donnent
di r , r^dO
—77 = -7 oa ds= j
rdB p p
d'où Ton tire, en faisant usage de Téquation (1) ,
ds c
ce qui donne d'abord cette conséquence remarquable quéy dans tout mouvement produit par une force passant parus point fixe, la vitesse en un point quelconque de la trajeiiloîre est en raison inverse de la distance ^u point fixe à la tangente.
Substituant cette valeur de u dans Féquatîon (a), elle devient
(5) ^="1-^ ft^r.
C'est Téquation de la trajectoire dans un système particulier de coordonnées.
4. Supposons, en second Heu, que le centre d^action s(Ht nK>bi]c. Nous avons démontré ^ dans la première partie du cours, que toutes les propriétés du mouvement absolu subsistaient pour le mouvement relatif, en substituant partout aux quantités absolues les quantités relatives. Les formules précédentes subsistent donc en considérant x e\ y comme les coordonnées du point M par rapport à des axes passant constamment par le centre mobile, et se mouvant parallèlement à eux-mêmes; r comme la longueur de la droite qui joint à chaque instant ce centre au point maté-
riel ] 0 comme Tangle que cette droite fait avec Taxe dès x ; et enfin <f comme la force accélçratrice relative du point matériel , c^est-à-dire comme la résultante de la force accélératrice absolue qui y est appliquée, composée avec nne force égale parallèle et de sens contraire à celle qui déterminerait un mouvement Identique à celui du centre mobile. Nous allons donner qudques exemples dies formules qui viennent d'être établies,
5. Premier exemple. — Un point décrii>ant une ellipse par Vactîon cTune force dirigée vers son centre^ tromper l'expression de celte force.
Il est facile de reconnaitre d'abord que toutes les conditions de la question sont compatibles. Car on peut toujours obliger un point à se mouvoir sur une courbe quelconque!, et de telle manière que les aires décrites par le rayon vecteur mené d'un point fixe quelconque au point mobile «oient proportionnelles au temps. On peut donc toujours supposer qu'un point mobile décrit une courbe donnée quelconque , par Faction d'une force dont la direction passe par un point fixe quelconque. ,
Cela posé, soient ia^ 26 le grand et le petit axe de celle ellipse. Prenons son centre pour pôle et comptons les angles à partir du grand axe; Téquation de cette courbe sera
/i\* a' sin' ô + ^' ces' 0 i <?' — ^» . ,^ ^ ^ \r) a}b^ a^ a}b^ '
A'0k^ en différentiant,
I /• ^' .— ^2 iù) — — - = — -=-— sin B cos^.
Si nous exprimons le second membre en fonction de r au inoyen de l'équation (a), nous tirerons de Tcquation {b).
(i CqUliS DE MÉCANIQUE.
-jr- en fonction de r; et en le reportant dans la formule gé-
liérale (3), nous aurons la valeur de f(fdr, et, par suite, la valeur de f en fonction de r.
Or l'équation (a) donnç
^^°^^ = (^hr^' et, par suite, cos'e=-i— ^, L'equatioji (6) donne, en subi3tituant ces valeurs,
{In reportant cette expression dans la formule (3)^ oq prouve
çt, en différentis^ut par rapport à r,
Ainsi, dans ce n].ouvement, la forcç émanant du centi*Q sera proportionnelle à la distance au centre , et elle sera at-. tractive , puisque la valeur trouvée pour y esft positive.
D'après le principe des a,ires , le point mettra toujours le ^ème temps à paçcouriç Tellipse entière, à partir d'mie ^elconque de $es positions. Désignons ce temps par T. C^omme la. constante c représente le double de Taire décrite par le rayon vecteur dans F uni té de temps, { cT sera l'aire totale de Pellipse , et l'on aura
^cj = 7^ab, d'où T =
DEUXIÈME PAETIE. — DYNAMIQUE. 7
Si Ton veut introduire la durée de la révolution dans Texpreiision de la force , on obtiendra
Si , au lieu d'une ellipse, on avait considéré une hyperbole, on aurait trouvé une force répulsive agissant suivant une loi semblable. .
6. Réciproquement, — Si un point est attiré vers un centre fixe par une force proportionnelle à la distance, il décrira une ellipse dont ce point fixe sera le centre.
En effet, concevons une ellipse qui ait pour centre le point fixe, qui passe par la position initiale du mobile et soit tangente à la direction de sa vitesse initiale. Ajoutons enfin , pour déterminer complètement la courbe , cette dernière condition que, dans la position initiale, la force attractive donnée, estimée suivant la normale, ou la force centripète, soit égale au carré de la vitesse initiale qui est donnée, divisé par le rayon de courbure en ce même point. Ce rayon sera ainsi connu , et Ton aura assez de conditions pour que Tellipse soit déterminée.
Cela posé, si l'on oblige, d'une manière quelconque, le point partant de son état initial, à se mouvoir sur cette ellipse, de telle sorte que les aires décrites par le rayon vecteur mené du centre , soient proportionnelles au temps ,. la discussion précédente prouve qu'il sera sollicité par une force dirigée vers le centre, et proportionnelle à la distance. Mais cette force ne sera autre que la proposée. En cfTct, elle est dirigée vers le même point, elle suit la même loi , et elle a la même valeur au point de départ, puisqu'on a déterminé le rayon de courbure de l'ellipse par cette condition . Celte ellipse sera donc décrite en vertu de la force donnée. Et, par conséquent, une force qui attire un mobile vers un centre
8 COURS DE MBCANIQUlf.
fixe proportionnellement à la distance à ce point, fait dé-e crîre une ellipse dont ce point est le centre.
Ce mouvement présente une particularité qui mérite d'être remarquée*
Nous ayons reconnu dans le problème précédent que \s^ force Q> se trouvait exprimée par Ja formule suivante au moyen de la durée T de la révolution entière :
tù • • • — »
T ► lya •
Si Ton désigne par [x sa valeur à Tunité de distancé, oD aura
i Vf»
Ce qui montre que la durée de la révolution est indépen-r çlante de$ circonstances initiales qui déterminent Fellipse particulière^ elle ne varierait qu'avec la constante fx qui mesure Tintensité de la force attractive à l'unité de distance.
7. Solution analytique de cette seconde question. — r traitons maintenant par l'analyse cette question réciproque, et proposons-tiaus de trouver la courbe que décrit un point attiré ou repoussé par un centre fixe proportionnellement à la distance à ce centre.
On a, dans ce cas, ^ = fzr, f/ étant positif dans le cas de l'attraction , et négatif dans le cas de la répulsion : l'équation (3) donne, en représentant par c' une constante arbitraire, qui ser^ déterminée par l'état initial.
rffl V
DfiOXiiuttE PA&TIK. — DYMAHIQUE. g
çn posant ( - 1 = z, on tire
d'où , en intégrant et désignant par a une constante arbi* traire qui résultera des valeurs initiales de r et d,
rfc 2 (ô — * a) = arc ce»
Si , pour plus de simplicité , on compte les angles à partir de la direction qui fait l'angle oc avec Taxe primitif, il faudra remplacer 0 — a par 0, et Téquation précédente Revient, en prenant les cosinus des deux qciembres,
=rcosaO,
4'où
z = c'— t/c"— 4 (cos'9 — sin' e) = ~. Multipliant paj: r*, il vient
ou
Or, si pi est positif, les coeiBcients de a:* et y* sont de même signe, et la trajectoire est une ellipse ayant pour centre le point fixe, comme nous Tavions démontré syn- ^hétiquement. Si f* est négatif, c'est-à-dire si la force est
lO COURS DE MÉCANIQUE.
répulsive, les coefficients sont de signes contraires, et la courbe est une hyperbole ayant encore le point fixe pour centre»
Dans ce dernier cas le mouvement n^est pas révolutif , et le point reste évidemment sur la même branche de i^hyperbole.
8. La question que nous venons de traiter présente une circonstance dont on peut profiter pour obtenir directe^ ment les valeurs des coordonnées x et j^ en fonction de t\ ce qui donne la solution la plus complète de la question, puisque Ton connaît alors la position du mobile à chaque instant, et que tous les autres éléments du mouvement en dérivent immédiatement. Les équations générales du mouvement d'un point deviennent, en supposant f z^fxr,
Les variables x et jr étant séparées, on peut int^rer chacune de ces équations, et Ton connaîtra x et j^ en fonc'» tion de t. On trouve d'abord, en supposant /x positif,
a: = A sin f . \/p -4- B cos /. v^f*, y = A'sin r . y^ -h B' cos t, s^^-
Prenons pour axe des x la ligne qui joint l'origine à la position initiale du point : désignons par r^ la longueur dfe cette ligne, par Vç^ la vitesse initiale, par a l'angle formé par la direction de cette vitesse et celle de la droite pienée de la position initiale vers l'origine. Enfin , prenons l'axe des j- du même côté de l'axe des x que la direction initiale de la vitesse. On devra avoir pour f = o les conditions
dy dx
y = o, xz=r,^ -T- = i'eSina, — = — r,cosa.
«* at
UIIUXIKMK PAETIE. — DYNAMIQUE. I |
1^65 quatre coefficients A , B, A', B' seront déterminés par là) et l'on aura, par suite ,
<^»cosa ^
Co sin a
in.r y^.
sin
Ces équations renferment la solution complète du problème. Elles donnent pour a: et j^ des valeurs périodiques | et la durée de I4 période est pour l'une et l'autre
air
=:9 comme nous Pavions déjà trouvé.
Vf*
En éliminant t entre elles , on trouve
(xsina 4-^cosût)' -+- '-~^* = rj sin'a.
Ainsi, lorsque |x est positif, c'est-à-dire quand la force est attractive, la courbe décrite est une ellipse dont le point fixe est le centre. Cette ellipse se réduirait à un cercle si l'on avait
Si (x est négatif, ç'est-rà-dire si la force est répulsive , les sinus et co.sinus sont remplacés par des exponentielles; mais on peut se servir di| calcul qui vient d'être fait, et opérer la transformation dans les résultats. L'équation de |a trajectoire deyieut, par le changement de signe de /x^ celle d^une hyperbole ayant le même centre, et les valeur^ ^e X e%y prennent la forme suivante :
(rb ^0 cos a\ t\fii. (n <^gCOSa\ — «^
<^o sin g f t>fjt.
12 t:01)%S DE ■ÉCANIQUfc.
Elles ne deviennent infinies que lorsque t lui-même le devient; ainsi le point mettrait un temps infini à paroourir la branche d^ hyperbole sur laquelle il se trouve au commencement du mouvement.
9. Deuxième exemple. — Un point matériel décrivHint une section conique par V action d^une force dont la direction passe constamment par un foyer de cette courbe i trousser l'expression de cette force.
Quelle que soit cette section conique, son équation polaire peut être mise, comme on sait, sous la forme
I + e cos 0
p désignant le demi-paramètre, e Texcentricité ; un foyer de la courbe étant pris pour pôle, et les angles 6 étant comptés à partir de Taxe du côté , du sommet le plus voisin» La courbe sera une ellipse , une parabole ou une hyperbole^ suivant qu'on aura
L'équation de la courbe donne
d'où
e sifi 9
Si Ton veut, comme dans Pexemple précédent, faire usage de la formule (3), on y reportera cette expression, dans laquelle on remplacera d'abord siu 6 par sa valeur en r<, tirée de Téquation de la courbe, et Ton trouvera ainsi
ftfdr = h — r— J
"^ ^ pr 2/?^
DEUXTÊHR PArRTlE. — - DYNAMIQUE. fS
d'au
Ce qui apprend d^ abord que la force est aitractive vers le foyer, puisque la valeur de 9 est positive; et ensuite que son intensité varie en raison inverse dtr carré de la distance à ce point.
Il aurait été plus sinifple, dans le cas actuel, de faire usage de la formule (4). En effet, Téquation de la courbe donne immédiatement
r e ces Q
et^ reportant dans l'équation (4)) on obtient
Nous ne développerons pas ici cette question , qui se reproduira bientôt à l'occasion du mouvement des planètes.
10. Réciproque, — Cherchons maintenant toutes les courbes que pourrait décrire un point attiré vers un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.
Nous nous bornerons pdur le moment à donner une solution synthétique de cette question.
Nous concevrons une section conique dont le point fixe serait un foyer, qui passerait par la position initiale du point, et serait tangente à la direction de la vitesse initiale et du même côté que le point fixe ; enfiti nous achèverons de la déterminer en ajoutant la condition que le carré de la vitesse initiale divisé par le rayon de courbure au point de départ soit égal à la force connue qui agit en ce point, estimée suivant la normale.
Cette dernière condition fait connaître le rayon de 0Viv^
l4 COURS DE it^ANIQÙÊ.
bure, et la section conique est complètement déterminée ei unique. Nous verrons tout à Theure comment on peut la construire avec ces données et reconnaître son espèce.
Cela posé, imaginons un point assujetti à se mouvoir sur cette courbe avec la même vitesse initiale que le point en question, et de telle manière que son rayon vecteur partant du point fixe décrive des aires proportionnelles au temps. D'après la proposition précédente, la force qui a^ra sur ce point sera dirigée vers le point fixe, et son int^isité sera en raison inverse du carré de la distance; de plus, il partira de la même position que le point proposé, et sa vitesse initiale sera la même en grandeur et en direction; enfin Tintensité de la force dirigée vers le point fixe sera la même au point de départ; car sa composante suivant la normale commune est égale au carré de la vitesse commune divisé par le rayon de courbure qui est -le même. Donc la force à laquelle sera dû le mouvement sur cette section conique sera identique avec celle qui est donnée. Et comme^ en vertu de cette force, le point en question, assujetti aux conditions initiales données, a son mouvement complète^ ment déterminé, ce mouvement ne peut différer de celui qui a lieu sur cette section conique.
Ainsi , un point attiré vers un centre fixe en raison iti' verse du carré de la distance se meut nécessairement sur une section conique dont ce centre est un foyer,
11 . Il reste à déterminer cette courbe d*après les données^ qui sont le foyer de la courbe , ou de la branche de courbe s'il s'agit d'une hyperbole, un point et la tangente, ainsi que le rayon de courbure en ce point; ce rayon de courbure devant être situé du même côté de la tangente que le foyer.
Soient F (fig* i) le foyer, M le point donné, PQ la tangent, et O le centre de courbure. On sait qu'en abaissant
DCCXIÈME PARtifc. — DYMàMIQtJK. l5
de O une perpendiculaire OH sur MF, puis une seconde • de H sur la normale , le pied K de cette dernière appartient à Taxe principal qui contient le foyer. Joignant donc FK, on aura la direction de cet axe; et le second foyer sera donné par la rencontre de cette droite avec la droite MN, menée par le point M sous un angle PMN, égal à FMQ. Si la rencontre a lieu du côté de QP où se trouve le foyer F, la courbe sera une ellipse ; elle sera une parabole si MN est parallèle k FK,.et une hyperbole si la rencontre a lieu du côté opposé.
Or, il est facile de reconnaitre, d'après les données initiales, lequel de ces trois cas arrivera. En elTet, soit menée par le point F une parallèle à MN, qui coupe en I la normale. Si Ton à MK •< MI , FK rencontrera MN en un point F' situé du même côté que F par rapport à QP, et par conséquent la courbe sera une ellipse. Si l'on a MK = MI, la ligne FK sera parallèle à MN, et la courbe sera une parabole. Enfin , si Ton a MK ^ MI , la ligne FK rencontrera le prolongement MN', et la courbe sera une hyperbole.
Il faut donc calculer MK et MI d'après les données de la question. Or, MI étant la bissectrice de l'angle FMF', le triangle MFI est isocèle, et si Ton désigne Tangle connu FMO par € et la distance donnée FM par i\ , on aura
MI = 2ro cosf.
Maintenant, d'après la manière dont le point K a été obtenu , on a
MK = MO ces' I ,
et si l'on désigne par f^o la vitesse initiale, la valeur de MO sera donnée par l'équation
i^ CÔVM DE MÉCANIQUE.
(f étant là force (|ui agit sur le point M, et dont la vâleUr
est - ; on en déduira
MO = --^^ , et par suite MK = lllC£!i . p ces e ^ ^
Comparant les deux expressions obtefaues pour MK et MI,* dt supprimant le facteur commun Tq cose , on voit que h trajectoire sera une ellipse , une parabole ou une hyperbole^
suivant que i^] ^ sera négatif, nul ou positif. Il est re-
marquable que la nature de la courbe ne dépende que de la vitesse et de la distance du mobile au centre d'attraction $ au commencement du mouvement , et que la direction de la vitesse n'y entre pour rien.
On pourrait traiter cette question parTanalyse en faisant Usage de Féquation (3) ; on aurait à int^rer une équation différentielle du premier ordre entre retô^ on reconnaî* trait facilement qUe l'équation ainsi obtenue peut représenter les trois sections coniques , et Ton serait conduit aux mêmes caractères que nous venons de trouver pour eu faird la distinction. Mais nous aurons occasion de revenir sur cette question , et nous effectuerons alors les calculs que nous ne faisons quMudiquer.
12. Troisième exemple. — Troui^er la trajectoire décrite par un point attiré vers un centre fixe, en raison inverse du cube de la dislance.
Soient A {fig- 2) le centre d'attraction , B le point dans sa position initiale, a l'angle que fait avec BA la direction BC de sa vitesse; représentons toujours par \f^ l'iniensîté de cette vitesse, et par Tq la distance AB.
La formule (4)5 appliquée au cas actuel, où l'on a ç=-»
DKUXIÈME PAKTIK. — DYNAMIQUE. I^
donne
dQ'
Nous distinguerons trois cas , suivant que Ton aura — I négatif, nul ou positif. Dans tous les cas > la
rj i»J sin* a
vitesse i^ sera donnée par la formule
i.» = ii, -+- c',
c' étant déterminé par les valeurs initiales de i^ et r.
i*'. Soit d'abord , ,^. , i = o , ce qui est le cas le
r] pj sm*a ^
plus simple^ Téquation précédente devient
-=0, d'où - = AÔ + B.
Pour déterminer les constantes A et B , nous remarquerons qu^au point B , par lequel, pour plus de simplicité, nous ferons passer l'axe polaire , on doit avoir
^ = ^oy / . V = — tanga.
Or, pour 0 = 0, Téquation de la courbe donne
il eu résultera donc
