CHAPITRE XIII
CALCUL DU HOUTEHEHT DES PLAIftTES ET DES COHSTBS AUTOUR DU SOLEIL.
104. Nous allons partir de la loi de la gravitation universelle : nous réduirons le Soleil à ,un point matériel S de masse M, la planète P à un point matériel de masse m; soit f l'attractioa de l'unité de masse sur l'unité de masse, à l'unité de distance, posons r = SP; le Soleil sera soumis à une force SA dirigée suivant SP, la planète à une force PB dirigée suivant PS; ces deux forces ont la même
. , -../Mm intensité — —■
Prenons trois axes rectai^laires fixes OX, OY, OZ ; désignons, rela- T tivement à ces axes, les coordonnées de S par X, Y, Z, celles de P par Ç, r„ ï. Si nous remarquons (jue les projec-
Fiq m
lions de la force SA sur les axes sont :
ptm T, — y, /Mm ; — Z r* r ' r' r
nous aurons pour déterminer X, Y, Z en fonction du temps ,
DYXAMrgUE.
trois équations semblables à la suivante :
On peut diviser par M, et écrire :
,,, 1 in , Y|-Y
' ipz , !: — z
On aura de même pour déterminer le mouvement de P les trois équations suivantes :
11 ne serait pas utile d'intégi'er ces équations, parce qu'il serait impossible de déterminer les constantes ai'bitraires, positions et vitesses initiales du Soleil et de la planète, relativement à des axes fixes, quantités que nous ne connaissons pas. II faut chercher le mouvement relatif de la planète autour du Soleil. Par le point S menons trois axes Hx, Sy, Sz parallèles aux axes fixes; relativement à ces nouveaux axes, désignons les coordonnées de la planète par a;, y, z; nous aurons :
5 = X + a:; d'oii ar ^^ 5 — ^>
dt' ~dï* rfc' et deux autres équations analogues pour déterminer .- '■ ^ ;■
En tenant compte des équations (1) et (2), on trouvera : ' d^x f(Hi + m)x
d'z /(M -hm) z dt'~~ r* '
Ces équations sont les mêmes que si l'on avait supposé tout d'abord le Soleil fixe et qu'on ait cherché le mouvement absolu de la planète P attirée par le Soleil par la
fm (M + m) -, -
force -j Nous poserons M + m = ji, et nous
If*
ru
En partant de ces équations, on prouvera, comme on l'a fait (tome I, p. 338), que la courbe décrite pai" la planète est située dans un plan passant par le centre du Soleil. Nous simplifierons nos formules, en prenant ce plan pour plan des xy ; alors z = 0 et il reste tes deux équations ;
f\LX^
On en conclut, comme nous l'ayons déjà vu (tome I, p. 339) : et en désignant par c une constante arbitraire, et représen-
DYNAMIQUE. 4i
tant par 0 l'angïe que fait le rayon vecteur r avec l'axe des x : dy dx
On défluit encore des équations (B) :
Inl^ratit, et (ïésigiiant la constante arbitraire par ft, il vient : (S)
~ dp
Les coordonnées polaires r et 0 seront déterminées en fonction du temps par les é^juations (4) et (5). Si on élimine iH entre elles, il vient :
+ r" M' Ifr.
r'dt' ~ r
d'où:
'•[rJ
= * + 2fri-
-cd
y/ h + ifiK^^-
En in
itégrant,
et désignant la constante aibiti-aire
paru,
vient
r - arc cos ■
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COURS DE MÉCAHIQI:E.
On reconnaît l'équation d'une section conique dont l'origine est un foyer; les planètes décrivant toutes des ellipses et non des hyperboles ou des païuboles, les conditions initiales doivent être telles que l'équation (6) représente une ellipse.
Faisons tourner l'axe des x de l'angle w, et l'équation (6) s'écrira :
En désignant par 2a le grand axe de l'ellipse, et par e rexcentricité, cette équation doit pouvoir s'écrire ;
a (1 — e*) i -h e cos 8
En comparant ces deux expressions de f,.il vient : ^=a(l-.'),
On tire de là :
(S) c^ = ULa{i-e*).
Les deux constantes A et c s'expriment donc au moyen de a et de e, qui donnent la fomie et la grandeur de l'ellipse.
RYXANIQUE. 43
c étant le double de l'aire décrite dans l'unité de temps par ie rayon vecteur de la planète, on a :
2T:afc gît a' kr^7 c- ^ - T
ou, en Taisant :
« = -=• c = Ba'Kl— r;
cette valeur de c étant comparée à (8), il en résulte :
(9) B'fl' = /'H.
n est la vitesse angulaire moyenne du rayon vecteur, qui décrit l'angie 2k dans le temps T; on l'appelle encore simplement le moyen mouvement. La formule (9) montre que, pour les planètes, n et a ne peuvent pas avoir des valeurs quelconques; pour une autre planète P', on aura :
ji' = M + ib'.
de manière que l'on n'a plus :
Ainsi, nous avons trouvé que le mouvement de ta planète doit bien vérifier les deux premières lois de Kepler, mais ne satisfait plus à la troisième. Toutefois, si l'on remarque que
les rapports ^ > -^ sont très petits, et égaux au plus' à jxgj; •
dans le cas de Jupiter, on voit que le second membre de l'équation (10) diffère très peu de 1 ; il s'en faut donc de bien peu que la troisième loi de Kepler soit vérifiée, et de trop peu pour que Kepler ait pu reconnaître avec les observations de Tycho, que cette loi n'était pas tout à fait exacte. L'expression (5) de v', en tenant compte de la valeur de ft, s'écrira :
Il faut maintenant déterminer la position de la planète sur son orbite à une époque quelconque. Prenons les formules :
^^ a(l-0 1 + « cos 9'
et éliminons 0 entre les deux ; nous aurons d'abord :
= "'-'•'-'•; sin.^''°'''-"-''Vrr7.,
sin 9 de =
a il — f*) dr
d9 = ?ili^
r K fl'e' — \u — ry
et, en reportant dans (12) :
(13) ndt=. '^^
la valeur absolue de a — r doit être plus petite que ae; nous poserons, en introduisant une variable auxiliaire u ;
a — r = ae cos h, d'où:
(U) r = 0 (1 — e cos «),
la formule :
drz= de sin udu.
(13) devient ainsi :
ndt = (i — e C03 tt) dit,
d'où en int^rant et désignant la constante arbitraire par C : (i5) n/=:M — esinu + C.
Par l'équation précédente, u est une fonction de (; {■14) donne r en fonction de u, donc r est une fonction de (. On aurait pu intégrer directement la formule (13) et obtenir ainsi r en fonction de (; mais l'expression, de r aurait été compliquée, et l'introduction de la variable u simplifie le calcul bien que le résultat final soit le même.
105. Significatioo géométrique de la variable u. — Sur le grand axe AA' de l'ellipse comme diamètre décrivons un cercle; soit M un point de l'orbite de la planète, "JA N le point du cercle correspondant à la même abscisse lor \\^ ^y CP = X. On a, comme on
sait :
= SM = « — x=-a — e
rfl(l-
s (IJ,
j; = fl cos H ;
le triangle rectangle PCN donne :
CP = a:=5;CN cos ACN = d cos ACN;
on aura donc :
« = ACN.
Cet angle u est ce qu'on appelle l'anomalie excentrique, 0 ^ MSA est l'anomalie vraie.
Au point A, « = 0, 0 =: 0, en A', u = T., 9 = 7:.
46 COCRS DE MÉCANIQUE.
Comptons le temps à paitir du moment où la planète est à son périhélie; aloi-s, pour / r= 0, u = 0; la foi-mule (15) domiera G = 0 ; on a donc :
(!6) H — esin ti = ut,
(i7) r = a{l — e cosu);
l'équation (IG) donnera n en fonction de t. Égalons l'expression précédente de r à celle fournie par l'équation de l'ellipse, et nous trouverons :
0(1 — c cos h) = -, - - :•
d'où :
cos M — e
(18) cos 8 =
(17) et (18) donneront donc r et 6 en fonction de u, ^ui est lui-même donné en fonction de (. On tire de (18) :
- e cos M
et de celte formule combinée avec (18) on déduira :
/ r cos a = a (cos u — c), ( r sîn 8 = a k"! — e' sio m.
Loi-squ'il s'iiffit de calculs numt'iiipies, ces deux formules peuvent reniplaceravantafîeuwmeiit les fomiulos (17) ol (t8i ; dans ce eus, ou peut encore trouver des formules plus avantageuses; on déduit en effet de (18) :
cou'- ^
l — eCOSU '"■* "' l — l'CO<
