THÉORIE ËLËHENTAIRE DD POTENTIEL

97. Lorsque la loi d'attraction est quelconque, les composantes de l'attraction exercée par un corps G sur un point M (a, p, t) sont exprimées par les équations :

X = /-ixjjjpf (tt) ^^ dai (iy dz,

1 ^ = '''"JIJP^ ^"^ ^ '*" ^^ ^'' ' Z = AiJ. j fff ç (w) ~^ dx dy dz,

où:

tt» = (s — «)• + (y - &)■ H- (î - fy,

œ, yy z désignant les coordonnées d'un point quelconque de C et w sa distance au point M; pest une fonction deœ, y,z; les int^rations doivent s'étendre à toute la masse du corps C. On peut ramener la détermination de X, Y, Z à celle d'une seule fonction U ; posons en effet :

f 'f (11) du — F {tt),

V=j'j'fpFiu)dxdydz,

U sera une certaine fonction de a, g, y. Cherchons ses dérivées par rapport à «, g, y, noua pourrons différentier

SOUS le signe | , si la Tonctioii F (u) ne passe pas par l'infini,

c'est-à-dire si le point attiré ne fait pas partie de la masse du corps considéré; remarquant que ;

du jx — a)

nous aurons :

Tout dépend donc de la fonction U que l'on nomme fonction potentielle, ou simplement potentiel.

Dans le cas où l'attraction est en raison inverse du carré

de la dislance, ç(u) := -,

F(fi)=y?{«)du = -i; nous prendrons :

y crr^. ...... càm

c dy rf; — I -

en désignant par dm l'élément de masse, et nous aurons : Y f ''V, dV . dV

^-f^-' ^^r^jf' ^=f^Tr

donc, à un facteur constant près, X, Y, Z sont les dérivées partielles du potentiel, par rapport aux coordonnées du point attiré.

26 COURS DE MÉCAKIQUE.

fqDtUoii de LapUce.

98. Considérons toujoure le CEis où le point attiré ne fait pas partie de la masse attirante; nous pouvons diltérentier

deux fois sous le signe /, et nous aurons : d'Y (Pv d'Y rrrl^'n ^û ''*ûV ^ ^

Comme on a :

du u x — a

on trouve

les équations :

""i 1 3 («-ai-

1 dp' ~ o' »•

d'où;

' dt' «• «'

d,' * dr

On a donc cette équation due à Laplace :

d'V iPV d'Y „

d7->-d^^rf='>-

Avant d'aborder le cas délicat où le point attiré fait partie de la masse attirante, nous allons déterminer le potentiel d'une sphère homogène sur un point de son intérieur.

Considérons d'abord le potentiel d'une couche sphéiique homogène comprise entre les sphères de rayons r etr + dr sur le point P situé à une distance du centre OP = a; on aura :

dm = pr* dr ain 0 rfO d^.

On peut écrire :

\=^iT.e,r'drp

r' + a' — 2ar coso.

'sin e ris

par conséquent :

1" cas. Le point est extérieur. — u varie de a—rk a + r.

M représentant la masse totale de la couche.

Le potentiel est le même que si toute la masse était réunie au centre 0.

2" cas. Le point est intérieur. — u varie de r — a à r + a.

(2) \'^iT.prdr = ^-

Le potentiel est constant pour toug les points de l'intérieur.

28 COCnS DE MÉCANIQUE.

09. Potentiel d'ane sphère homogène de rayon R' sur un point de son intérieur, situé à une distance R du centre. — Nous avons à faire d'abord la somme des potentiels des couches comprises entre R et R' sur le point intérieur P situé à la distance R du centre; il faudra prendre l'expression (2) et l'int^rer relativement à t entre les limites R et R', ce qui donnera :

(3)=2xp{R'*-R').

il faudra ensuite faire la somme des potentiels des couches comprises entre zéro et R sur le point extérieur P; nous devrons prendre l'expression (1), et l'intégrer relativement à r entre les limites zéro et R, ce qui donnera :

On aura donc pour le potentiel de la sphère sur le point intérieur P :

Fi3.18?

On en conclut :

(ÏV 4

Mais nous pouvons trouver d'autre part l'attraction de la sphère sur le point P; nous avons vu que la partie AP

D,gitizcû by LiOOQ IC

UÏNAMIQUK. 20

n'agit pas, que la partie OP donne une force dirigée suivant PO, et égale à

les composantes de cette force suivant les axes sont :

Oui

Ainsi, ces formules démontrées pour un corps quelconque, dans le cas où Je point attiré ne fait pas partie de la masse attirante, ont lieu encore dans le cas d'une sphère homogène, quand le point fait partie de la masse attirante ; nous pouvons

remarquer aussi que dans ce cas, ") j~' Ta' d^' ^>^'^ sont des quantités finies et continues, relativement à a, p, ■[.

100. Attraction d'un corps quelconqae sur un point faisant partie de sa masse. — On a toujoui's, en prenant le point attiré pour origine :

rdm

donc dans

ce cas;

Je dis que V, X, Y, Z sont toujours des quantités finies. Preiious les coordonnées polaires u, 0, ^, nous aurons :

■ a = u CCS 8,

( y = M sin 6 cos i-,

: ~ H sin e sin ^,

rfm=z pu*d«sin eded^-; il en résulte :

; V=nTpud«sin6d8di,

l X = /'|jL II /p cos e sin idud^ d^,

i ¥ = /!* I /|p8in*8cos ^ dttdad^,

1 Z = /'(ji n/p sin' Sain ; (Ittrf8d'J,

les facteurs -, -, ont disparo, et il est évident que pouf un

corps limité V, X, Y, Z sont des quantités finies.

Supposons d'abord la densité p constante, nous allons montrer que dans ce cas on a encore :

Décomposons le corps en deux parties (1) el (2), (2) se composant d'une petite sphère contenant le point attiré P dans son intérieui-, on aura en désignant par V, et V, les potentiels correspondants à cliacuu des coi-ps (1) et (2) ;

puisque le point attiré P ne fait pas partie du corps (1);

puisqu'il s'agit d'une sphère homogène. Donc :

ce qu'il fallait démontrer.

Cherchons dans la même hypothèse, p restant constant, ce que devient l'équation de Laplace, lorsque le point attiré fait partie de la masse attirante. On aura :

et par conséquent :

£y d^ ^I — /^. ^ rf'YA d«' "^ dg* "** dy' ~ ^da» "*" d?' "^ df)

Or:

d'Y, da'

pilisq

uele

point

ne fait pas pai-tie de la masse attirante \ on

a du reste :

liV, -

-kr.

donc:

il'Y.-4g (fV, d'Y, d'Y"

da' d^' dï' ce qui est l'équation de Poisson.

Digitizcû by t^iOOQ IC

On peut étendre les tliéorèines précédents au cas où la densité p n'est pas constante, mais nous ne le fei-ons pas ici.

101. Attraction d'une droite matérielle homogène sur an point également distant des deux extrémités de la droite. — Soit la droite AB et le point M situé dans le' plan mené perpendiculairement à la droite par le milieu 0 de sa longueur. Considérons ■ 109 deux éléments symétriques

*^^3 '^^ C et D, leui-s attractions sur

le point M seront égales \ . chacune à

le*'

kdz ;' + a'

Leur résultante sera dirigée suivant M 0 et égale à :

Ka« + 3'

L'attraction R exercée par la droite sur le point M sera donc égale à :

donc :

a Va'' + A* Cherchons le potentiel relatif à l'attraction de la droite sur

le point M :

Soient x et y les coordonnées rectangulaires du point M; on aura :

et en désignant par X et Y les composantes de R, on aura :

+ Vx' +y' +

Vx' + »•

(x' -H y') Vx'' + j' + A' On vérifie aisément les relations connues :

, x^î*^, Y = — ■ dx dy

Faisons maintenant tendre h vers l'iiilim, x et y restant linis, la droite s'étendra à l'infîni au-dessus et au-dessous du plan des xij\ V tendra vers l'infini, et l'on aura :

x' + fX

« Vx

ïjG potentiel fonction U :

V, qui est infmi, U = - i log (a

peut être ? + S')-

remplacé

par

Ou a eu effet :

OtspEvnous. — iléc<tniq\te. II.

3i COURS SE MËCAI^IQUK.

et cette fonction des forces vérifie l'équation :

la l'onction U est appelée le potentiel logarillunique.

Le résultat précédent peut être généralisé, ConsidéTOiis un cylindre droit s' étendant à l'infini de part et d'autre du plan des xy. Prenons à l'intérieur de ce cylindre un prisme s'étendant ^'■alement à l'infini de part et d'autre du plan des xy, et ayant pour base l'élément dx dij de l'aire de la section droite, répondant au point N : son attraction sur le

point M sera dirigée suivant MN et égale à jr^; soient a et p les cooixlonnées de M, MN = u, on aura poui' les composantes de l'atti-actioii du cylindi-e entier sui" M ;

. f JJ V «

Le potentiel n'existe pas d'aiJiès ce qui pjécêde, mais il y a une fonction des forces

U = — kÇÇdx iy log {«') = — tkjjdx dy log h. On a en effet ;

dx' d^' d-(

On vérifie aisément la relation :

rf'U rf'U „ dy} dp* car on a :

La quantité U se nomme le potentiel logai-îthinique. Nous allons en donner une application.

102. Cherchons l'aUraction de la couche comprise entre deux cylindi'es circulaires droits, concentriques et très voisins, sur un point du plan des xy ; les deux cylindres ont leurs génératrices perpendiculaires à ce plan, et s'étendent indéfiniment au-dessus et au-dessous de ce plan.

Faisons passer l'axe des x par le point attiré M, et représentons par a la distance OM, par r et r H- dr les i"<iyoiia des deux cylindres, l'élément N de la section droite, compris entre deux rayons infiniment voisins, aura pour expression r drdfl, et l'on aura :

V=^ — krdrr rf0 1og(t4'), h' =za' + r* — "iar cos 6.

Nous écrirons :

u* = (r — ae" v -■) (r - «e- " v -i)

— r» (1 wte^v -■) (1 — me-H^),

Donc :

(1) U,=— Jt-rdcf rfo|logr*-Hog[(i-)»eev^)(i-fflfi-Ôv-i;[|.

Nous écrij'ous :

Donc :

f, = — iti-rfrr''dô|log«'-Hog[(l — ««K=i)(l«c-flv'-i)]''. ■

Or, m étant < 1, on a, en série convei^ente :

logRl

-me«V-i)(l—me-

-0\/=ï^e-iO\

=i... = -2["cos«+|'e

On en conclut ;

j^'"log[(l-™<i»

^'-t){l — me-'^~')}d> =

les formules (i) et (2) deviennent donc :

-îsirdrlogr-.

- 2= ir dr log o'.

du,

(iH, ~ (il

4= kr ir -

,IU, "" dx

iT.krdr-

Vi.=

iukrdr

4=ir

Si maintenant l'axe des x est quelconque, on remplacera a* par a' + g' et l'on aura :

Doiic, la couche n'exerce aucune action sur un point intérieur, et elle attire les points extérieurs comme une seule droite indéfinie passant pai' le centre, et dont la densité sei'ait k X 2t: ^ dr ='^-2, c'est-à-dire comme si toute la niasïie était reunie sur l'axe de la couclie,

103. Attraction d'un cylindre circalaire homogène, plein, indéfini, sur un point de son intérieur H'.

Posons :

Digltlzcil by ^lOOQ IC

On aura :

n = — 2i t r r lir log r' — 2= i r* r rir log R". Jii.r'logr' = r'(lo8i'

Or:

I); donc :

U = - si [R- (log R' - 1) - R" (log B" - 1)] - =i R" log R'>,

U = - it [R- (2 log R — 1) + R"],

ou bien, en remplaçant R" par a' + 0':

U = — it (a- + P') — I tR" (2 log R — I). On en déduit ;

0» S? ■"ss= = -*='■•

et en opérant comme dans le cas de la splière, on montrera que le potentiel logarithmique relatif à un cylindre quelconque satisfait à l'équation ;

quand le point attiré ne fait pas partie du corps, et à l'équation (B) dans le cas contraire.