Développements analytiques de r et 0. — Nous poserons
nt = K,
la quantité ï se nomme l'anomalie moyenne; c'et^t l'angle que ferait à l'époque t, avec SA, le myon vecteui- <le la planète, si ce rayon vecteur tournait uniformément aulom' du point S, de manière à déciii-e l'aigle 2i: dans le temps T. Nous aurons :
M — e sin M = S, (28) « = ; + e sin «,
(tS\ - = I — f cos «.
107. Série de Lagrange. — Layrange considère, d'une manière générale, l'équation :
(h) u = ; + em,
qui détennine u en fonction de la vaiiable ; et du pai-umètrc e ; il se propose de développer une fonction donnée de u, F(w), suivant les puissances de e, et il donne pour cela la série
suivante, qui poile son nom (') :
Nous aurons, dans le cas actuel,
/(») = sin II; /'(!)= sin ;.
Pour développer l'expression (22) de r suiv-ant les puissances de e, il faut développer de la même manière cos u; nous ferons dans M :
F(ti) = cos«; F(!;)=cos;:, et nous trouverons :
rf.sin';
c* d'.sin*; s" d''~'sin"-^';
Un peut développer sin"* 'C par une foitnule connue, sui-
, . , , d"~^'sin"*';
vant les sinus des multiples de ;, si m est pair, — .,,^ —
se trouvera développé de la même manière; mais il est aisé de voir que ce développement ne contiendra que des cosinus ; enlîn, on peut ordonner l'elativement à cos ;, cos2;, cos3;... ; en reportant la valeur trouvée pour cos u dans l'expression
(23) de -' et négligeant e', on aura ; (N) - = i + - - (e - -g- j cos ;
(■) Cl) U-ouvera la diiiiiomtnitjon de i^ttc foi-tnulc dans le Coura de M. Ilcrinite i lu facultj d«s ycieiices, 2° OJÎIioji, ji. lUI. — Libi-JÎrio A- lleiinaim.
Dans le cas des planètes, e est petit; le développement précédent suffira souvent; il ser^t du reste facile de le compléter.
Occupons-nous du développement de 0; paitons pour cela de la formule :
d'où, à cause de :
n( = Ç; r = a (i — e cos h) ;
de = |/i — "? (1 — e cos «)■" ■ rfï-
ou bien, endéveloppantparla série du binôme (1 — ecosti)"'.
(Ï0=: V'i—e'' (1 + 2e cos» 4- 3e' cos* u -t- 46* cos'K...)rfi;.
On développera l'expression de cos" u suivant les puissances de c, par la formule de Lagrange, en y faisant : F(u) = cos" u; on- développera également ]/{ — e' suivant les puissances de «, par la formule du binôme, et on trouvera ainsi une expression de la forme suivante :
d'où en intégrant, sans ajouter de constante, parce que pour C = 0,0=0.
8 — î; 4- B, sin ï -H ^ sin 2C + ...
On trouve, en n^Iigeant e* comme précédemment :
(P) o: = sin:(2.-^)+.sin2ï(|e'-*-J.')
+ sin3i:i|«'-H^e*sinii:.
J^s foi-mules (N) et (P) peimettront de calculer r et e pour une époque quelconque; comme ces calculs se repré-
Despetroub. — Uécimique. II. 4
senteront fréquemment, on calculera, pour chaque planète, deux tables faisant connaître les valeui-s numériquea des seconds membres des équations (N) et (P) pour une série de valeurs équidistantes de ;, comprises entre 0 et 360° ; le
calcul de - et de 0 — ; sera ainsi très simple; on obtiendra
de celte manière pour une époque quelconque les valem-s numériques de r et 8, qui se nomment les coordonnées dans l'orbite. On passera de là aux coordonnées ic,' y, z rapportées à un système d'axes rectangulaires Sx, By, Sz qui sera le même pour toutes les planètes; on obtiendra ainsi les coordonnées liéliocentriques ; il faudra ensuite passer aux coordonnées géocenfriquea, de manière à calculer les coordonnées de lu planète et les comparer à celles fournies directement par l'observation ; mais ces calculs dépendent du cours d'astronomie, nous ne nous y arrêterons pas ici.
108. Calcul des coordonnéea dans l'orbite, dans le cas du mouvement paraboliqae. — Considérons d'aboM une orbite elliptique très allongée, dans laquelle a serait très grand, et e très voisin de \ ; soit m la masse du corps circulant sur cette orbite, 2a et 26 les longueurs des axes de
l'orbite, p:=^ — = a{^i — e*) son paramètre; on aura :
ou bien, à cause de
(23) G = Vf{}\ + m) y p.
Si, maintenant, on fait tendre a vers l'infini, de manière que —^p reste fini, l'ellipse aura pour limite une parabole
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de paramèlre p, et les équations (24) et (âi^) auront encpre lieu; lu masse m de h comète étai)t né^'litjiouhlc ijeviiiit lu iiiustR! M du Soleil, on jioun-d éiiiire :
/fHp. ou 0 = 1(1^?,
en faisant :
Ii- = f».
On aura donc ;
r' II» ,. ./-
'*™' îoos-î
reportant cette valeur de r dans l'équation précédente, ■viendra :
['Mb'-
En intégrant, suns ajouter de constante, ce ijui reviendra ù coniptei* le temps à partir du moment du passage de lu comète au périhélie, où 6 := 0, on aura :
SK< . S p. «
2cos'
On trouvera donc 6 en fonction de i; en résolvant une équation (Q) du troisième degré, la formule (R) donnera ensuite r. Pour faciliter le calcul de 0, on construira une table
donnant les valeurs numériques de la fonction tg ô + â tg* s'
pour des valeurs de 6 équidistantes et assez rapprochées; cette table sei^vira pour toutes les comètes; soit, pour la comète considérée, et pour l'époque (,
on cherchera par intei'polation dans la taijie la valeui' de ô (elle que la valeur correspondante de tg 0 + ^ tg* = soit égale à N.
109. Détermination des masses des planètes. — Considérons une planète accompagnée d'un ou de plusieurs satellites ; soient m la masse de cette planète, a le demi-^and axe de l'orbite qu'elle décrit autour du Soleil, T la durée de sa révolution sidérale ; soient de même m' la masse d'un des satellites, a' le demi-grand axe de l'orbite qu'il décrit autour de sa planète, T' la durée de la révolution de ce satellite, et enfin M la masse du Soleil; on aura, comme on l'a vu précédemment, la relation :
On aura, de la même manière, dans le mouvement du satellite autour de la planète :
