CHAPITRE XI
ATTIIACTIOH.
89. Quand on veut expliquer les phénomènes de notre systcnie planétaii-e, en partant des lois de la gravitation universelle, la première question que l'on rencontre est celle de l'attraction d'un coips céleste tout entier sur un point matériel, en tenant compte de l'attraction de toutes les molécules qui composent ce corps. Le Soleil et les l)latiètes étant à pou près sphéri([ues, nous sommes conduits ù nous occii|)er d'abord de l'attraction d'une sphère sui- un point maténel. Nous avons d'ailleurs tout lieu de penser que si les corps célestes ne sont pas homoffènes, ils sont formés de couclies concentriques liomog<jues; nous allons
DESPEvnatia. — tfecatii?^. U. 1
3 COURS SE UËCANIQUE.
considérer une de ces couches et résoudre le problème suivant :
Calculer l'attraction d'une couche sphérique homogène très mince sur un point extérieur.
Soient r et r + dr les rayons des deux splièrea qui limitent la couche, p la densité constante de cette couche.
Soient A le point attiré,' M un point quelconque de la couclie, 0 l'unyle MOA, i l'angle que fait le plan MUA avec un plan fixe mené par OA. Si nous prenons pour élément de volume le parallélipipède dont les côtés sont
dr, rd6, rsin 6 d^t,
l'élément de volume de la couche sera :
dv = r' rfrsin 0 rfO rf(|*
et l'attraction dirigée suivant MA sera :
. ' n/'p rfrsiii 0 rf6 d^
Fiq.174 **
1* désignant la masse , du point A, f l'attraction de deux unités de masse placées à l'unité de distance et u la distance JIA.
Nous décomposerons l'attraction on deux forces dirigées l'une suivant AO, l'autre suivant une perpendiculaire à AO; culte dernièie composante sera détruite par la composante louriûe par l'élément symétrique de M, et il restera pour la composante totale dirigée suivant AO :
/l*p r» ^rff^ cas OAM dO rf^;
AU u
UYNAUigUE. il
en désirant la distance OA pai" a; donc l'attraction A sera donnée pai- la formule ;
Comme u ne dépend que de 6, on peut intégrer d'abord par rapport à ((i; on doit le faire entie les limites 0 et 2i:; on trouve ainsi :
(1) A = 2,: v-fp r' <irp~l,''°^^ sin 6
On a d'ailleui-S la relation :
(2) «* = r' + a* — 2a r cos 0.
La deuxième expreRsion de A doit êti-e intégrée depuis 0 ^ 0 jusqu'à 0 = 7:. Mais il est plus commode de prendre u pour variable indépendiuite (').
De (2) on tii"e :
udtt=: a r sin 0 dO,
fl' + r' — «' rt' — r' + «*
db.
a — r cos 6 = a -
a ia
et par conséquent :
Si le point attiré est extérieur à la couclie, u doit varier
{>) F^n rnisaot cos Q =: t, on ntim dans tou^ les i-os, qiii> le point soit h riiitûi-ieui' ou à rexti-neui' ;
A = 2 V'CP »• rf^ r* ' -"■'''- .- rfî;
pour iiili'gi'pi-, il taitl fiosor ;
Ou retrouve donc roivOrount lu clianguinunt de variable indiqué.
i COURS DE MÉCANIQUE,
(le a — r à a + r. Or :
doue :
et pai" i;oiisc([ueiit :
= 4i: r' dr p
m désignant la niasse de la couclie sphérique. Si le point attiré est intérieur, u varie de r — ai).r + a.
Donc : la couche sphériqiie n'exerce aucune action sur les points inlérieurs, et elle attire les points extérieurs comme si toute sa masse était réunie à son centre.
90. On peut démontrer géométriquement ((u'une couclio sphérique homogène n'exerce aucune action sur un point situé à son intérieur.
LcMME. -7 Soient A un angle solide infiniment petit, et une portion de cet angle compris entre deux surfaces PP' et QQ', on demande de calculer l'attraction exercée par cette partie sur le sommet A.
Un angle solide est mesuré pur l'aire u = BB' qu'il iiiterceple sur la spliêre de rayon :
AB = AB' =i. Soient:
+ tir, Aw' — Ah;,
:Aw.
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DY-VASirQUR.
L'attrarlion exercée par mm' nn' sur A est :
surf. m»(' Xdr X ■^'' ,.1 .
surf, mm' r'
■*dr X
/t^fdr;
l'intégrale est donc :
af^pjdr = u>fitp X PQ.
Dans le cas de la couche sphérique, décomposons la sur- Fiu I7fi ^'^'^^ ^^ ^^ sphère extérieure B^. ■' en éléments infiniment petits
opposés deux à deux QS, Q'S', l'attraction exercée sur AparPQRSsera:
ui/"i*fPO; l'attraction exercée sur A par l'élément symétrique P'K' Q'S' sera :
«/■[xpP'Q'.
Or PQ = P'Q'; donc les deux actions sur le point A se détruisent.
91. Attraction exercée par une couche sphérique, d'épaisseur finie, ou composée de couches concentriques homogènes sur un point extérieur. — On aura :
frM
0 COUnS DE MÉCANIQUE.
M désignant k masse de la couche sphérique, que la couche sphérique soit homogène ou composée de couclies concentriques homogènes.
Si le point A est situé à l'intérieur de la couche, la couche AC n'exercera aucune action et la couclie AU agira
comme si sa masse était
riq.177 concentrée eu 0.
Dans le cas d'une sphère pleine, homogène, les résullals précédents subsistent; pour un point intérieur A, situé à la distance a du centre, on aura, en désignant par M' la masse de la sphère de rayon a :
K = llfK=^J-^^ =
■ ^T.fi..pa.
Celte attraction est donc proportionnelle à la distance du point attiré au centre.
ittractioD d'on allipiolde komogène.
