i" Sur un point intérieur

Soit l'ellipsoïde :

K le point intérieur a, p, y; dm l'élément de la masse au pointM{x,y,z), compris à l'intérieur de l'ellipsoïde; p la densité, MK = r; l'attraction de rélément dm sur le point K,

dont nous supposons la masse égale à |i, sera : f n ~^- ; ce

qui peut s'écrire, en introduisant l'élément de volume rf y au

point M :

décomposons cette force en trois autres, parallèles aux axes ; celle qui est parallèle à Oa; sera :

àv œ — sL *' — «j„

/ l^Pp X— j;— — ritp— p-dp;

on pourra ajouter toutes les forces parallèles à un môme axe, et on trouvera ainsi, en désignant par A, B, C les composantes parallèles aux axes de l'attraction de l'ellipsoïde tout enfier'Sur le point K :

les intégrations deYant être étendues à toute la masse de rellîpsoide. Transptfrtnna l'origine des coordonnées en K, l'équation de l'ellipsoïde deviendra :

et les composantes de l'attraction :

Prenons au lieu de x„ y„ z, les coordonnées polaires, r, 8, tji,

nous aurons :

», := r cos 6, j r > 0,

y, ^ r sin 8 cos 41, 0 < ô < x, 2, =: r sin 0 sin (Ji, | 0 < (ji < 2i:, dv=.r' drsined6(ii|;,

(2) A = /jj.p / ' / / r sin 0 cos 0 dr db d^,

r désignant le rayon vecteur de la surface de l'ellipsoïde, qui répond aux angles 8 et i;* ; l'équation (i) devient :

(3) Lr*-(-2Mr + N = 0, où:

- cos* 6 sin' 8 cos' ^ sJn* 8 sin* ^

acos8 ^ sin 6 cos i|( y ^'h ^ sin 4'

"•'la' ft' c'

\ 0' fr' C*

On a L > 0, d'après l'expression même de cette quantité; N < 0, parce que le point K est intérieur à l'ellipsoïde ; donc les deux racines de l'équation (3) sont de signes contraires; U faut prendre la racine positive, et écrire ;

-M H- Km*

r varie de zéro à la valeur précédente. Dans (2), on peut intégi'er par rapport à r et l'on a :

k = —f\>.pl I |-sin 8coserf8d<}i

■^'rr~