Discussion, — posons ; et nous aurons

Cherchons à séparer les racines de l'équation ç (z) = 0; . remarquons d'abord que l'on doit avoir : ^ (z,) > 0; autre-

ment -r; senùt imaginaire pour x = z. et pour les valeurs

voisines; on peut du reste le constater; on a en effet :

ou bien, en remplaçant o et c' par leurs expressions (a) et (((), et V — z,' par r,' :

(6) f (2,) = u,' r* — c,* r." cos* «, = r,* r»* sin' «,.

On trouve ensuite :

ç (— oc) = + »; ^ (— /)< 0; r (2.) > 0;

Donc, l'équation f (z) = 0, qui est du troisième degré, a ses trois racines réelles et comprises, la première entre — ao et — (, la seconde entre — l et z„ et la troisième entre z, et + i.

Soit — fia racine négative pins grande que î, en valeur absolue, <x et ^ les deux autres racines, 0 < a; on aura :

(V) V^rgdt^ ^"^

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z + y étant toujours positif, à cause de y > /, on voit que

pour que l'expression de dt soit réelle, z devra toujours

être compris entre g et a; g est le minimum de z, «le

maximum.

Supposons que, à partir de z„ z aille d'abord en croissant, il croitra jusqu'à «, puis fig. 190 décroîtra jusqu'à ^ pour croître ensuite jusqu'à a. Si nous considérons les petits cercles horizontaux de la sphère, répondant :

CA à z = a, DB à z = p, la courbe sphérique décrite par le point M sera comprise tout entière entre ces petits cercles, qu'elle touchera, le premier aux.points A et A', le second en B. La formule (B) nous donnera :

n est évident que la trajectoire se composera d'une infinité de parties égales à ABA'; car, pour deux de ces parties, dans les formules (A') et (B'), z reçoit les mêmes valeurs. Il y a plus, les deux arcs AB et BA' sont symétriques, relativement au plan vertical mené par le point B et par le centre dé la sphère, et ces deux arcs sont parcourus de la même manière. Soient en effet M et M' deux points correspondants de ces arcs situés à la même hauteur. Le temps (' que met le mobile pour aller de M en B, est donné par la formule :

|/(:.-;)Cs-B(î + -() •'f l/(a-3(J-B(: + T)

le temps Ç. cju'il emploie pour aller de B en M' est donné par la même formule.

On verra de même en partant de la formule (B') que, si l'on désigné par $' et 6' les angles décrits par le rayon vecteur de la projection du mobile sur le pian xOy, quand le mobile va de M en B et de B en M', on a :

■jKU-î) (j-«(j + y)

et que 6' a la même valeur.

Nous allons calculer l'angle 6 décrit par le rayon vecteur de la projection du mobile sur le plan xOy, quand le mobile passe d'un maximum au minimum suivant, ou inversement.

Remarquons d'abord que l'équaUon « (r) = 0 peut s'écrire :

les racines de cette équation étanta, 3, — y, on a les relations :

d'où 1

l'on tire ;

sj ■

«Sï

et, en

éliminant

lu» formules (A') et (B') pourront s'écrire en vertu de (8) et (9) comme il suit :

I^(.-i)(»-»1(. + Kj+1" + «S1

(B-) « = ± |/(i--.-)if-y)H:

{?-.-') l^C. - :) (î - S) [(. + P) .- + !• + .»] on en déduira :

Jf (I"-J')k'(.-I)(2-?) KC.+ SjïH-l'+.l

M. Puiseux a démontré d'une manière générale (Liouville, tome VII) que cet angle © est toujours supérieur i =' Voici sa démonstration : lorsque z varie de 3 à 2, l'expression

(• + » a + I' + «S, reste comprise entre

P+2aJ + P'=l'— ei'+(«+S)' et l'+2»S + «'=''— P'*(« + P)''. si donc on désigne par |à une moyenne entre Ki* + 4«S + &' et t^/* + 2ap + a', la formule (10) donnera :

(l'-.-')K(.-iKî-p) Or, on trouve (') ;

î ( K(l - .) y - W k'tf + .) (J + P) )

(1) La farmule (11) peut être démontrée de le Changeons de variable «t posons :

„ i; KH -.- .) Il -t- S) + 1^11 - .) t^ - g)

En remplaçant it successivement par ses deux limites données plus haut, et faisant :

„ «Kfi

+ a)(iH-B)+V(l-.)(i-B)

KC H- 2.f + «■

l^e+ SaJ+f

Mbien:

iToà;

Soit U la valeur de Tinlégrale cherchée; on aum :

r, A «t B déaipiloA des qQantilés positives, oi

^ ' ' ' +OT.t.

f5 rft »

J.'A»in*t + Bees'ï o \/ÂB

:e qni est bien U formule (11).

on aura :

or, à cause de l'identité :

K(l+.)(l+B + |/(l-.)CI-«

=VCI+<.KI+B+(I— )(l-f)+

■ÎKtf+.jll+SjX

On peut écrire les expressions

de P et Q comme il suit ;

et à cause de

il en résultera :

Donc, Q qui est compris entre P et Q, sera lui-même plus grand que à-

118. Projection de la courbe ephérique bot le plan horizontal. — Considérons la projection de la courbe sul- le plan horizontal tcOy; les coordonnées d'un point quelconque de cette courbe sont r et 6; on aura pour déterminer cette courbe les équations :

(12) r — WF^^*,

(13) di=±\^(P~2')(P-n-;= , ' -^==i-

K(a-.)(=-3)[--(«+g) + /' + a^] En éliminant z, on aurait l'équation différentielle de la

dy:*amique. 77

courbe cherchée; mais il vaut mieux garder les équations précédentes. Soient r' et r' les rayons des petits cercles de la sphère, qui répondent à r = a :p, on aura:

La courbe sera tout entière comprise entre les circonférences OBetOA:

OB — r',OA = r'.

Fig. 191 \^^\^ ^/^^^ gQit V l'angle

formé par la tangente à la courbe en un point quelconque avec le prolongement du rayon vecteur, on a :

ar en remplaçant r et 6 par leurs raleurs (12) et (13), on trouve :

zV(a-s) ^2- p)[s(*+ ^) + r + «M

On voit que, pour 2 = a ou pour z = ?, V = 90", donc la courbe est tangente aux deux circonférences -aux points A etB.

D'api'ès ce qui a été démonti-é, l'angle AOB est supéi-ieur à 90». Si cet angle s'était trouvé égal à 90», la courbe se serait fermée au bout d'un tour.

Cherchons quelles doivent être les conditions initiales pour qpe le mobile décrive un cercle horizontal de la sphère, autrement dit pour que le pendule décrive un cône de révo-

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78 COLIia DE MÉCANIQUE.

lution, ayant pour axe la verticale menée par son point de suijpeQBion. Il est clair qu'il faut pour cela que les deux voleui-a limites « et |3 entre lesquelles z oscille, deviennent égaies toutes deux à z,; il faut donc écrire que l'équation ç(3) = 0 a deux racines égales â c„ c'est-à-dire que l'on a .

On a:

9(2)=(2j;-HC')(i'-3»)-C',

ou bien, en remplaçant c et c' par leurs valeurs (1) et (2) et V par z,' + r,' :

ç (s) = i D„' + 2i/ (2 — 2.) j (r,* + r.* — 2') - r,' c.» ces' a„ ç' (:) == 2 ) j; (r.' + 3,' - s') - 2 W + 2ff (- - .%)] 1,

d'où:

ç(2,) = r,' r,* siû' a, = 0, f' (1.) = ï (flir," — ï, 0,*) = 0.

On tire de là :

La vitetae initiale doit donc être horizontale et avoir la grandeur trouvée ci-dessus. La formule

f ' —- = c = r, ti. cos 3, = f' c, at

nous dontie ensuite, à cause de r ^ r, : d'où, 9, désignant la voleur initiale de 6 : ce (|ui montre que le mouvgment du pendule est uniforme,

OYNAUIQUE. 70

et qu'U met un temps égal ù 2r j/jpour faii-e un tour

entier autour de la verticale.

On peut lésoudi-e directement la même ([uestion; la

formule :

t' = V,' + 2ff (-- - :X

nous monU-e que z étant toujours égal à z„ v est toujours égal à y,; ainsi, les condiUûna initiales doivent être telles que le mobile soumis à l'action de son poids MP, et de la tension MN du fi], et par conséquent rendu libre, décrive un cercle d'un mouvement uniforme; il faudra donc que la résultante MA de ces deux forces aoit dirigée vers le centre

r,gl9Z

du cercle, et soit é On en conclut ;