CHAPITRE XV

APPUCinOH AD HOWEHENT BO PENDULE CONIQUE.

116. Considérons un pendule simple formé par un point matériel pesant M, de masse m, suspendu à un point fixe O, par l'intermédiaire d'un fil OM; si, après avoir écarté ce „ pendule de la verticale 0:,

^ T\ ^ °" imprime au point M

^^ j \ une vitesse qui ne soit pas

^^ I \ contenuedansleplanzOM,

\(i ce pendule se déplacera en

\ tournant autour de la ver- ■ Kg. 169 ,•'' ticale, en s'élo^nant et en

p se rapprochant alternati-

I vement de cette verticale ;

* ce sera ce qu'on appelle

un pendule conique. Le point matériel M pourra être considéré comme assujetti à rester sur la surface d'une sphère, ayant le point O pour centre, et pour rayon la longueur l^ OM du pendule; la réaction de la surface sera remplacée par la tension du fil.

Nous supposerons l'axe Oz vertical et dirigé vers le bas; nous prendrons des coordonnées polaires r et 9 sur le plan xOy, de manière que les coordonnées du point M seront z, T et 6. On aura :

1»' + y' + î* ^ /*; a: = r cos 6; y— rsin 8, =• 4- r' = /*.

Le principe des forces vives donnera :

v'-igz + C.

Celui des aires a lieu sur le plan xOy; on aura donc :

D'après ce que nous avons dit précédemment, les constantes c et o' auront pour valeurs :

c» cos a,,

-il,..

On»

d'ailleurs :

ilr' +

r' Ile + dzif

Donc

en BOmme,

nous avons

les équations

ll« =

eit

dr

r' if +

On tire de (3), en y remplaçant rfe et r par leurs valeurs (2) et {\) :

(A) it=.- =^"'

|/(ÏJ3 + c')(/'-3»)-c'

(2) donne ensuite :

On prendra dans ces formules le signe + quand le mobile descendra, c'est-à-dire quand z croîtra, et le s^ne — dans le cas contraire.

Les formules (A) et (B) résolvent le problème; on ne peut

DYK&MIQUl':. 71

iDtégrfr sans le secours An intégrale* elllptlqu«i, mais on est rainené aux quadratureB, et on peut discuter, comm? nous le verrons tout i l'heure.