N = "(»' + JJ

Or:

donc:

N=?Ct---4

N est maximum pour z = a, minimum pour z = 3.

120. Autre manière de déterminer N. — Les équations du mouvement du point M soumis aux forces mt/ et N, et par conséquent rendu libre, sont :

[ de~ m' l'

,,., M!» iJ,

' iTl N •

\ dl'~ m"l* ^'

,,„, d*x d*p rf'j N a;' + w' +z*

<'=)^3ïï + »3|-*-'ïF-9-- = -S 7 =

Or on a : x' + y' + 2* =: I' ; on en conclut : d^ dif dz

Ou a donc, en portant dans (15) :

— !!* — flJ = l,

comme ci-dessus.

121 . Cas des petites oacillationa. — Nous supposerons que le pendule ne fasse que de très petites oscillations, dg part et d'autre de la verticale, ce qui exige que la position initiale soit très voisine de cette verticale, et que la vitesse initiale u, soit trôs petite.

Nous aurons les équations :

d'x dl' '^

If-

oùN

a la valeur

On a

du reste :

DeSpeTROIS. — Hécauigue. II,

d'où, en série très convergente, puisque 7 et ^ sont très petits :

il 8^

on aura une éi{uutioii unalogue en remplaçant l, x, y, z respectivement par ï„ x„ y,, z,; (2) donne ensuite :

On a donc, en négligeant les petites quantités du second ordre, v,', x,*, y,*, x', y* :

et alors, les ^nations (1) donnent :

d'où en intégrant :

x = A<mt l/| + B sin / l/?.

tf= A'cosïl/^ + B*sinïl/^- ■

On déduit de ces équations :

Nous supposerons que l'on ait pour t = 0 :

. = ... g = 0; , = 0, lf = ... ce qui revient à faire passer le plan zOx par l'un des points

les plus élevés ou les plus bas ; il en résultera :

ic. = A; 0=:A',

Donc :

égale à 2x r/ - '

La durée T de la révolution est des équations précédentes :

La courbe décrite a donc pour projection une ellipse rapportée à son centre et à ses axes.

Pour avoir une approximation plus éleirée, il faudrait prendre :

^-9 + 9ljî 2(r-+Tj'

en y remplaçant xety par leurs valeurs (3) fournies par la première approximation, on aurait ainsi :

S=»-'^('-l-'v1)-V('-l''"'Vf>

En portant cette valeur dans les équations (1), elles dcvier^dront :

On aura «Jonc à inlégrei" deux équations linéaires à coefiîcients constant=i et avec seconds membres. On peut ainsi prouver qu'à la deuxième approximation la courbe décrite en projection est une ellipse dont le plan tourne autour de la verticale Os dauw le sens du mouvement pendulaire avec une vitesse angulaire constante (')■

5 (;lovêPs, voii- le Mémoire Je