CHAPITRE XVI

THfiORIE DES HODTEHENTS RELATIFS.

122. Énoncé du problème. — On connaît la résultante R des forces qui sollicitent un point matéi-iel M de masse m; on sait former les équations diiréreiitielles du mouvement absolu de ce point, relativement à trois axes rectangulaires fixes AX, AY, AZ, et on en déduira par l'intégration pour les coordonnées X, Y, Z du moljile à l'époque t :

Cela posé, considérons un système Hgide en mouvement, et soient Ox, Oy, Oz trois axes rectangulaires liés à ce système; si le mouvement de ce système est connu, on pourra trouver à l'époque t les valeurs des coordonnées du point M par rapport aux axes mobiles,

Mais on peut demander de trouver ces expressions de x, y, z, c'est-à-dire de déterminer le mouvement relatif, sans passer par la détermination du mouvement absolu; c'est ce dont nous allons nous occuper.

Soit M le point du système où passe le mobile à l'époque t; ce point qui est lié invariablement aux axes Ox, Oy, Os prendra un mouvement absolu' qui est ce qu'on appelle le

mouvement d'entraînement du point M. On sait du reste que, lorsqu'un corps est en mouvement, la vitesse d'un quelconque de ses points est à chaque instant la même que si le. corps avait une vitesse de translation égale et parallèle à celle d'un point arbitrairement choisi dans le corps, et tournait autour d'un axe passant par ce point, avec une vitesse angulaire déterminée u; quel que soit le point choisi, la direction de cet axe de rotation sera la même, et aussi la vitesse de rotation u. Cela posé, le théorème de Coriolis nous apprend que : L'accélération du mouvement absolu est la résultante de trois accélérations :

1" L'accélération du mouvement relatif y';

2" L'accélération du mouvement d'entraînement du point M, f';

3° L'accélération •f = 2uii sin(M, v), v désignant la vitesse relative, et («, v) l'angle de cette ntesse relative avec la direction de l'axe instantané qui passe en M; y* est perpendiculaire sur la vitesse relative v et sur l'axe instantané, et relativement au plan de ces deux droites, elle est située ■ du côté où la rotation entraîne la vitesse relative ; on peut donc écrire entre ces quatre quantités géométriques la relation :

On en conclut :

Soit R la résultante des forces physiques qui agissent sur le mobile ; on a :

d'où on conclut :

my = R — m-7 — «Y*.

Imaginons deux forces fictives, l'une F, *■ — «iy';

DYNAUIQUE. 87

l'autre F, = — my"; joignons-les aux autres force» physiques dont la résultante est R, et désignons par R' la résut tante de l'ensemble; nous aurons :

Ainsi, l'accélération du mouvement relatif est dirigée suivant la force R' et elle est égale au quotient de cette force par la masse du mobile.

C'est là le théorème fondamental rencontré au début de la Dynamique; on peut l'appliquer comme si les axes étaient fixes ; mais on voit qu'outre la force R, il a fallu introduire deux forces fictives. La force F, est égale et contraire à celle qui produirait te mouvement d'entraînement; la force F, a pour expression Qmuv sin(u, v); elle est perpendiculaire au plan mené par l'axe instantané et la vitesse relative, et en sens inverse du côté où la rotation entraine la vitesse relative; on lui donne le nom de force centrifuge composée.

Soient X, Y, Z les composantes de la force R relativement aux axes mobiles, et X„ Y„ Z, celles de la force fictive F„ X,, Y„ Z, celles de la force fictive F„ par rapport aux mêmes axes.

On aura, pour déterminer le mouvement relatif, les équations :

Après avoir intégré ces équations, on déterminera les

constantes, en écrivant que pour t = 0,

^1) y» *t étant les valeurs des coordonnées relatives à l'époque f = 0, et v,, a,, 0o, y, désignant les grandeurs à la itiêine époque de la vitesse relative et des angles qu'elle fait avec les axes mobiles Ox, Oy, Oz.

Cas particuliers. — J..a force centrifuge composée est nulle dans les trois cas suivants : i" quand la vitesse relative est nulle, alors v ^ 0 et F, = 2m(.iv sin(wt') = 0; c'est le cas de l'équilibre relatif; 2" quand la direction de l'axe instantané se confond avec celle de la vitesse relative, car alors (<i), V) = 0; 3° quand le mouvement des axes est une simple translation, car alors u = 0.

123. Application au mouvement d'une planète autour du Soleil. — Nous savons que nous pouvons réduire le Soleil

etlaplanéteàdeux points matériels S et P, de masses M et m; le Soleil est y en mouvement ; par chacune de ses positions, nous menons des axes rectan^l^res Sx, Sy, Sr parallèles aux axes fixes ; nous nous proposons de trouver le mouvement relatifde la planète par rapport aux axes mobiles Sx, Sy, Sz; l'accélération ■;•' du mouvement

d'entraînement est la même que l'accélération du mouvement absolu du Soleil; la force d'attraction de la planète sur le

Soleil est dirigée suivant SP, et a pour valeur ~ir'> o" ^

donc : y' = -»' et cette accélération est dirigée suivant SP;

l'attraction du Soleil sur la planète est dirigée suivant PS

et égale à — ^î-; l'accélération -; du mouvement absolu de la

planète eât donc égale à -j- et dirigée suivant PS; la formule

ï —t-"l nous montre donc que l'accélération du mouvement relatif est dirigée suivant PS et égale à

elle est la même que si le Soleil était fixe et avait une masse ^^le à M + m. C'est ce que nous avons déjà trouvé d'une autre manière, en partant de la considération des mouvements absolus du Soleil et de la planète.

124. Cas où le monvement. d'eatraînement est une rotation uniforme autour d'un axe fixe. — C'est le cas qui se présente le plus souvent dans les applications.

Soit AP l'axe de rotation, ta la vitesse angulaire constante de cette rotation; le mouvement d'entraînement du point M consiste à décrire d'un mouvement uniforme le cercle MC dont le plan est perpendiculaire à l'axe; dans ce mouvement l'accélération tangentielle est

COURS DE MÉCAMIQrE.

dt)

nulle, puisque la vitesse est constante, par-suite 57= 0;

l'accélération est donc dirigée suivant la normale MC et elle est égale à

y* ta' MC'