Éqoationa gânérales du mouvement d'un système

En vertu du principe de d'Alembert, toutes les questions de mouvement se trouvent ramenées à des questions d'équilibre; en combinant ce principe avec celui des vitesses virtuelles, on obtient une équation qu'on peut appeler l'équation générale de la Dynamique.

Désignons par X, Y, Z les composantes connues de la force totale appliquée au point M, dont la masse est m et les coordonnées x, y, z; soient X', Y', Z', x', y', z' les mêmes éléments pour le point M' de masse m'... La

force MP, aura poui- composantes m -Tp> m -Af m jp;

les composantes de P. seront :

-"if- -"de' -"'s?'

la force P a d'ailleurs pour composantes X, Y, Z; donc les composantes des forces P„ P|, etc., seront :

-»,Çf

jyGoogIc

Tontes les forces P„ P,' ... doivent se faire équilibre à chac[ue instant sur le système, en tenant compte des liaisons. Si donc, à un instant (fuelconque, ix, hy, iz, ix', Sy', 5z' ... sont des variations infiniment petites quelconques des coordonnées compatibles avec les liaisons, â l'époque considérée, on devra avoir, pour tous ces déplacements virtuels, l'équation :

2S(x-»^»),,.(Y-»fl),,.(.-».-),..j = 0.

Telle est l'équation générale cherchée; on peut encore l'écrire :

(2) 2 (Xa* + Y3» + Z3«) = ï m (^ 8» + ^J, !» + ^ 8î).

le 23 du premier membre s'étend à tous les points auxquels des forces sont appliquées; le S du second à tous les points en mouvement sans exception; s'il s'agissait d'un corps solide, ce second 2 constituerait à proprement parler une intégrale triple étendue à tout le corps.

Voyons comment on déduira de l'équation générale (i), dans chaque cas particulier, les équations du mouvement. Supposons le système formé de n points, entre les 3n coordonnées desquels existent p relations pouvant contenir le temps t :

\ ?^('. «i-ffu^n !P.,y..s.- JP.,y.,3.) = 0,

le nombre j» devra être au plus égal à 3n — i.

j^es conditions (3) devant être satisfaites par le système dans sa position actuelle, et dans celle qui répond à un

déplaeement quelconque, à la même époque, il faudra différentier ces équations (3) par rapport à x„ y„ z, ... sans faire varier le temps; on aura ainsi entre les 3n variables îa;„ Sy„ 5z, ... !x,,8j/,,53,, lesp équations :

âx, ' dy, " dz, dz,

dop . da^ , do, ^ dcp , .

, dx^ dy, " dz, ' dZn

On pourra tirer de ces équations p variations en fonction des 3rt — p autres qui seront entièrement arbitraires; on les portera dans l'équation (1), et on devra égaler à zéro les coefficients des 3n — p variations arbitraires; on trouvera ainsi 3n — p équations qui, jointes aux p équations (3), donneront un système de 3n équations, pour déterminer les 3n coordonnées en fonction du temps; parmi ces 3ii équations, 3n — p seront des équations différentielles simultanées, du second ordre.

On peut opérer d'une manière plus symétrique. Soient X„ A, ... Xj,, p facteurs indéterminés; multiplions les équations (4) respectivement par ),„ >,, ... )., et ajoutons-les à l'équation (1); nous aurons ;

dC ' dxi *dXi ^ dXi )

Pi'ofitons de l'indétermination des p multiplicateurs Â, pour annuler les coefficients des p variations qui, d'après (4), sont des fonctions connues des 3ji — p variations restantes, lesquelles sont arbitraires; il faudra alors, dans l'équation (5), annuler les coefficients de ces 3n — p variations: donc, en somme, on doit ^a!er à zéro, dans l'équation (p). les coefficients de toutes les variations, et on trouve ainsi les 3n équations :

^-".-.gr-.ê-

■-^.fe

s^=^.--.:7i;--fe-

, dt* ' dSn dZn dSn

On a alors p équations (3), 3n équations difTérentielles (6) entre 3n + p inconnues, savoir, les 3n coordonnées et les p multiplicateurs X. Le grand avantage que l'on trouve à opérer ainsi, c'est de mettre en évidence les forces produites par les liaisons du système ; ainsi :

' dx, * dy, ' dz,

sont les composantes de la force produite par la liaison ç, = 0 sur le point M, ; l'intensité de cette force est :

la même liaison produit la force

appliquée au point M, ; la direction de la première de ces forces est celle de la normale à la surface qui aurait pour équation :

en y regardant (, x, ... z, comme des constantes, x„ y„ z, étant seules variables.

Détermination des constantee. — On a p équations ordinaires, 3n — p équations différentielles du second ordre; on introduira donc par l'intégration Qn — 2p constantes arbitraires; on aura 3rt équations telles que la suivante :

Zn — p seulement de ces équations sont distinctes, puisqu'on a les équations (3), qui ne contiennent pas de constantes; on en déduira, en prenant seulement 3n — p équations :

On aura ainsi Zn — p équations nouvelles ; on fera dans les 3n — p équations (7), i ^ 0, ainsi que dans les 3» — p

équations (8); alors, (x,)., yTî) seront des quantités entièrement arbitraires. On aura donc 6n — 2p équations propres à déterminer les 6n — 2p constantes arbitraires C.

76. Exemple destiné à montrer l'interprétation mécanique des multiplicateurs indéterminés X. — Déterminer le mouvement de deux points matériels M et M' de masses m et m' soumis à l'action de forces données, et réunis par une tige rigide et inflexible dont on néglige la masse, le point M étant assujetti d rester sur «fie surface fixe donnée S et le point M' devant également rester sur une surface fixe donnée S'.

Désignons par :

X, j/, z les coordonnées de M,

f{x, y, 2} = 0 l'équalion de la surface S,

DYNAMIQUE. dM

On aura en outre, en désignant la longueur de la t^e par I :

(3) (X' - xy + (!/■ - y}' + (z' - zy = IV

L'application du principe de d'Alembert, avec les multiplicateurs de L^range, X pour l'équation (1), V pour (2), 1* pour (3), nous donnera îes équations suivantes, dans lesquelles X, Y, Z, X', Y', Z' désignent les composantes des forces appliquées respectivement aux points M et M' :

■v-iji' — s).

-■W=y-^rli..,v-,),

On aura les 9 équations (1), (2), (3) et {4j pour déterminer en fonction du temps les 9 quantités x, y, z, x\y', z',\, V, n.

Traitons le problème autrement. En introduisant, pour le point M, la réaction normale M N = N de la surface S, et la tension MT = T de la tige; pour le pointM', la réaction M'N' = N' de la surface S', et la ■'•g- 259 tension M'T' = T,

nous pourrons considérer isolément les mouvements des points M et M', et

Jda COUIfâ UE MECAMyUE.

nous aurons les équations suivantes :

vm^(^ù'^m '

" df

On voit que les deux systèmes d'équations sont les mêmes et que l'on a :

-T "= — • En général, en appliquant le principe de d'Alembeil, avec les facteurs de Lagrange, on trouvena le même résultat qu'en introduisant d'avance les forces produites par les liaisons, et traitant les points du système isolément. Toutefois, avec le principe de d'Alembert, on n'a pas à démêler d'avance ces forces provenant des liaisons, le calcul les donne par les facteurs X.

77. Théorèmes généraux sur le monTement des systèmes déduits de l'équation générale de la Dynamique. — Nous

avons l'équation générale :

qui a lieu pour tous les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons, telles qu'elles existent à l'époque t.

Supposons que les liaisons permettent une translation parallèle à Ox; on aura pour ce déplacement virtuel :

ix^iûs" =ix' ... = 0, 8y=îy' =!y'.„ = 0, ii =:Î2' =9S' ... =0.

En supprimant dans l'équation (i) le facteur ix, on aura :

De même, si les liaisons permettent des translations parallèles à Oy et Oz, on en déduira :

Nous retrouvons ainsi les équations (2), (S-) et (4), qui conduisent au théorème sur le mouvement du centre de gravité; nous avions obtenu ces équations d'une autre manière, et sans aucune restriction, tandis que nous trouvons actuellement que ces équations n'ont lieu que si les liaisons permettent à tout instant des translations virtuelles du système parallèles aux axes coordonnées. Ainsi, supposons qu'un point M du système soit assujetti à une liaison qui le force à rester sur une courbe fixe C; il est évident que le point M ne peut pas prendre les translations indiquées; donc, les équations (2), (3), (4) n'ont pas lieu. Quand on opère comme nous l'avions fait auparavant, on doit considérer comme forces extérieures toutes celles qui ne s'exercent pas entre deux points du système en mouvement en étant égales et opposées; ainsi, par suite de la condition imposée au point M du système, il faut appliquer au point M

une force extérieure N représentant la réaction de la courbe ; donc 2^ devra être remplacé par ^X -+■ N cos (N, x); on aura donc l'équation :

La composante N cos (N, x) n'est détruite par aucune autre force appliquée à un point du système en mouvement. Ainsi, dans notre ancienne manière de procéder, on voit que l'équation (2) n'a pas lieu, mais doit être remplacée par l'équation (5). Dans cette manière, la réaction N est une force extérieure; elle doit intervenir dans les expressions 2'^' 2^' 2^* ***"^ ^^ nouvelle manière, c'est une force de liaison, et ces forces de liaison ne figurent pas dans l'équation générale (1).

Il en serait de même, si le système avait un point fixe, ou si un point du système devait rester constamment sur une surface donnée.

Si certains points du système sont seulement reliés deux à deux par des tiges rigides, cela n'empêchera pas les translations parallèles aux axes; les équations (2), (3), (4) auront lieu dans la nouvelle manière; elles auront lieu aussi dans l'ancienne, car les tensions étant deux à deux égales et opposées s'éliminent.

Supposons maintenant que les liaisons permettent un déplacement virtuel consistant en une rotation infiniment petite (1) autour de Oz; on aura :

83 =0, Bœ = — y 6w, Sy = + a; Sm, S3'=0, 3j!'=: — y'Sw, 3y'= + x'iut,

8w sera en facteur dans l'équation (1); en le supprimant, on aura :

Nous retrouvons ainsi les équations des moments; ces équations n'auront lieu que sous cette condition que les rotations du système autour des axes soient possibles; elles n'auraient pas Heu dans le cas considéré plus haut, où le point M devrait rester sur la courbe C; en appliquant l'ancienne démonstration qui n'était pas sujette à une semblable restriction, on aurait dû considérer la réaction N comme une force extérieure, et on aurait eu ainsi l'équation :

ZmU^~p ~\ =2 (""ï — yX) + mom. de N relat. à O2,

mais non pas l'équation (6).

Dans le cas d'un système entièrement libre, dont les points sont soumis seulement à des liaisons mutuelles quelconques, et à des forces extérieures quelconques, on aura les trois équations du mouvement du centre de gravité et les trois équations des moments.

78. Théorème des forces tItob. — Reprenons l'équation générale de la Dynamique :

(I) ^(Xîx + Yîy + Z§3) = Sm(^ 8a! + ^ Sy + ^ Bs)-

Nous avons des liaisons exprimées par des équations entre les coordonnées, ces équations pouvant aussi contenir le temps; soit l'une d'elles :

(*) Vi (^ *„ ïi. 2. — ^^^ y 1 2«) = 0;

les S vérifient les équations :

dx, ^ dy, "' '

déduites des équations (2) sans faire varier le temps (, et

les (l vérifient les équations :

de Borte que l'on n'aura pas :

Sx, = dx,; Sy, := dp, ...

Parmi les déplacements virtuels compatibles avec les liaisons à l'époque *, aucun ne pourra coïncider avec le déplacement réel qui a lieu entre l'époque ( et l'époque * + dt. Donnons-en un exemple : un point M est relié à un point fixe O, par l'Intermédiaire d'une tige qui se refi'oidit, dont la longueur varie par conséquent avec le temps; la liaison est exprimée par i'équation :

(x — ay + {if — by + (2 — cy — r(t) = o-

À l'époque t, tous les déplacements virtuels du point M ne peuvent s'effectuer que sur la sphère dont le centre est en O, ayant pour rayon /■{(); le déplacement réel, au contraire, Jait passer le point M de cette sphère à la sphère qui a pour rayon f{t + dt).

Ainsi donc, en général, on ne peut pas prendre les 3 égaux aux d; mais il n'en est pas de même si les liaisons sont indépendantes du temps; les fonctions f,, f, ... ne contiennent pas le temps explicitement; les équations de condition (3) et (4) sont les mêmes; on peut prendre les 3 ^ux aux d; parmi tous les déplacements virtuels-compatibles avec les liaisons à l'époque (, il en est un qui est identique au déplacement réel, entre les époques t et t + dt; considérons ce déplacement virtuel, pour lequel nous aurons :

ix = dx, iy = dy, Iz = dz.

L'équation (i) donnera :

{S)'2^{S.dx + Ydy+Zdz) =.zm(^^,dx-t-j^dy + ^ dz);

or, on a :

, rf»' dy* dz'

" ~lÏÏ'^d^ "^df"'

d'où, en prenant dt constant :

en comparant à (5), il vient :

(6) d.Zmv' = «2 i^'^'' + ^^y + ^'^2).

Donc, la différentielle de la somme des forces vives du système est égale au double de la somtne des travaux élémentaires des forces extérieures ; on en conclut :

Donc, dans tout système dont les liaisons sont indépendantes du temps, l'accroissem,ent de la somme des forces vives de tous les points du système est égal au double de la somme des travaux de toutes les forces extérieures pendant le même temps.

C'est le principe des forces vives.

Nous avions déjà démontré ce théorème, et nous n'avions trouvé aucune restriction, tandis qu'ici il y en a une; mais, dans notre ancienne démonstration, il fallait faire figurer dans les seconda membres des équations (6) et (7) toutes les forces, forces extérieures, et forces provenant des liaisons, telles que tensions de fils, réactions de courbes, de surfaces, etc. Dans notre nouvelle démonstration, toutes ces forces de liaison se trouvent éliminées, et il arriTe

Despevrous. — Mécanique. II. 'H

qu'elles ne le sont que lorsque les équations entre les coordonnées des divers points, ou les équations des liaisons, ne contiennent pas le temps explicitement.

Pour mieux comprendre que, pour que le théorème des forces vives ait lieu, il est indispensable que les équations des liaisons ne contiennent pas le temps explibitement, prenons les équations suivantes auxquelles conduit l'emploi des facteurs de Lagrange :

■ „ ^^1 Y ^ 1 **?» ^ j. 1 ''f' , m, — -r = A, ■+- A, ^ H ... + Aa -î — 1 '

Nous en conclurons :

OU bien, en tenant compte des équations (4) :

(8) d.lmv* = 22 ^^^'^ "^ ^^^ ■•■ ^^"^ ~^^^^*

On voit que si la liaison <f, est indépendante du temps, les travaux des forces provenant de cette liaison sont nuls.

Supposons qu'il existe une fonction des forces, c'est à dire que l'on ait :

dXi' ' djf/ dit*

où:

F = F (aî„ y„ jr„ x„ y„ z„ ... Xn, y., z.), dtette fonction F étant supposée indépendante du temps;

DigitizodbyGOOgle

2 (X, dxi + Yi dy, -\-Z,dz,)=~^dx ... =:dF

(ce qui ne serait pas vrai si F contenait le temps explicitemeot) ; il en résultera :

£fBP» = 2F (*„ y„ ï„ x^ y„ 2„ ... x„ y,, z,) + coDst.

Od a, dans ce cas, l'intégrale des forces vives.

De la lUbiUU d« l'éqniUIir*.

79. Considérons un système de points matériels M, M',... de masses m, m', ..., dont .les coordonnées x, y, z; x', y', z', .... sont liées entre elles par un certain nombre d'équations ne contenant pas le temps explicitement, et supposons qu'il existe une fonction des forces (^ (x, y, z, x', y', z'y ..-) paiement indépendante du temps, de manière que si on désigne par X, Y, Z les composantes de la force appliquée au point M, X', Y', Z' les composantes de la force appliquée au point M' ..., on aura :

,,, J die' dy' dz'

l dse'

Dans ces conditions, l'intégrale des forces vives a lieu, et l'on a pendant toute la durée du mouvement du système :

(2) Zmv* = ii^(x, y,z,oû', y', z' ...) + C.

Il existe en général des positions en nombre fini des points matériels, telles que ces points sont en équilibre sous l'action des forces données, lorsque leurs vitesses initiales sont nulles, et en tenant compte des liaisons; on

trouvera ces positions, comme on sait, par l'équation :

en ayant égard aux liaisons; de telle sorte que dans l'état d'équilibre, la fonction des forces sera généralement un maximum ou un minimum; nous allons démontrer que Si la fonction des forces est un maximum, l'équUibre sera stable.

Démonstration de Lejenne-Diricblet. — Supposons qu'on ait éliminé autant de variables qu'on le peut de la fonction des forces, au moyen des liaisons du système ; soient a, g, y . . . celles qui restent; nous aurons, par l'intégrale des forces vives, et pendant le mouvement :

(4) Sinp*=2i>(a, p, Y...) + C.

Les valeurs de a, p, y, ... qui répondent aux positions d'équilibre seront fournies par l'équation :

On peut toujours supposer que «, p, y, ■■■ soient nuls dans la position d'équilibre, car si a, 3, y, ... devenaient (x', p', y', ... dans cet état, on prendrait pour variables a — a', p — 3', ... en écrivant :

Les nouvelles variables se réduiraient bien à zéro, dans l'état d'équilibre; on peut encore supposer que, dans cet état, la fonction 4> soit égale à zéro; car on peut toujours ajouter à la fonction ^ une constante C, qui ne modifiera en rien ni les équations (1) ni l'équation (3), et on peut déterminer C par l'équation :