C -vS
Nous pouvons donc admettre que la fonction ^ (a, p, y, . . .)
est un maximum pour « = 0, p = 0, y ^ 0, ... et que ce maximum est zéro, il en résultera que cette fonction sera négative, pour toutes les valeurs de a comprises entre — a, et + a„ de g entre — p, et + p„ ..., et qu'elle ne sera nulle dans ces intervalles que pour a ^0, p ^ 0, ,.., a„ g„ ..., a,, 0„ ... désignant des quantités suffisamment petites.
Supposons maintenant qu'on dérange un peu le système de sa position d'équilibre, de manière^que a qui était nul devienne égal à a,, 0 à p„ ... et qu'en même temps on imprime aux points matériels du système certaines vitesses f„ v[, ... très petites; l'équation (4) nous donnera, en déterminant la constante C :
Smo" - £mi>î = 2<t (a, p, ■{...) - î'^ (o„ p„ y....). ou bien : •
(6) 2mti* = 2+{a, p, Y-..) + } Smwî — 2(i« («„ e„ Y.-) j.
et cette équation aura lieu pendant toute la durée du mouvement.
L'expression SmvJ — 2-^(00, 0,, y,, ...) est positive, car si a, est compris entre — a, et + a„ de même pour p„ y„ ■■■, l'expression ^{a,, p„ y„ ...) est négative.
Cela posé, dans l'expression 241 (a, p, y, ■■■), supposons qu'une ou plusieurs des quantités a, p, ... deviennent égales à leurs limites — a„ + a„ — p„ + p„ ..., les autres étant quelconques; nous aurons, en faisant toutes les combinaisons, un nombre infini de valeurs de 2i}^(a, 0, Yj ■■■)} toutes ■ négatives et différentes de zéro ; il y en aura certainement une qui sera la plus petite en valeur absolue; soit K ce minimum absolu, ou plutôt une quantité un peu inférieure à ce minimum ; on aura donc :
quand une ou plusieurs des variables a, p, y, ■■■ atteindront leurs limites, — a„ + a„ ..,
Supposons maintenant que nous ayons disposé des vitesses initiales v, de manière à avoir :
(8) 2i»(j; — 2* («,, Po. f.-) < K, '
ce qui imposera certaines limites à ces vitesses initiales; reportons-nous à l'équation (6); il sera impossible que l'une des quantités «, p, y, ..., deviemie égale à l'une de ces limites, car on déduirait alors de {7) et (8) :
i^ (et, p, ■{...) + 2mp' — 2(1< (a„ p„ Y,...) < 0,
et en se reportant à l'équation (6), on voit que Smv, serait négatif, ce qui est absurde.
Donc, pendant toute la durée du mouvement, aucune des quantités «, p, y, ... ne pourra prendre une valeur ^ale à une de ses limites ; donc a en vertu de la continuité restera toujours compris entre — «, et + «„ 3 entre — p, et -|- p„ ... Les limites entre lesquelles a, g, y» ■■■ doivent rester comprises, pourront être prises aussi pélites qu'on le voudra.
La formule (6) montre que les vitesses v seront toujours comprises entre des limites déterminées, car on en déduit ;
La stabilité est donc démontrée.
Application. — Un point matériel pesant U est tissujetti à rester sur un cercle situé dans un plan vertical; il e$t repoussé proportionnellement au carré de la distance par deux pointa A et A' situés sur le diamètre horizontal et à égale distance du centre. — IVouver la position d'équilibre.
Soient a le rayon du cercle, « a distance OA — OA', a: et t/ les
riq.260
coordonnées du point M ; on aura :
MA* = r' = (a; - «)* + y\ MF*=r"= (« + «)' + y».
Ici l'on a, en désignant par (x la masse du point M, par m et m' celles des points A et A', 'et par f l'attraction de deux unités de masses à l'unité de distance :
r* = a* + a' — îfl a cos ft,
y = a sin 0,
en désignant l'angle MOa: par 0.
U est une fonction de fl, et on trouve aisément :
jt; = — 0 sin 6 — /"« (m' — m) cos 8.
En égalant -^ à zéro comme on doit le faire pour obtenir la
position d'équilibre, on trouve :
Si e, est ïe plus petit des angles correspondants à cette valeur de tgh, le problème aura deux solutions :
8 — 8„ et 8 = 8, + tt.
d'D On peut mettre l'expression de ^t» sous la forme suivante :
lifl d8* L 9* J
COURS DE UÉCANIQUE.
On voit que pour 6 = e stable.
on a -T^ < 0, et l'équilibre est
AppUoatlimi du principe do d'Âlambart.
80. i° Mouvement de deux corps pesants M et M' réunis par un cordon inextensible, et assujettis d rester sur detac plans inclinés dont l'intersection est horizontale. — Soient v la vitesse de M corop- Fig. 261 tée positivement dans le sens OM, v' celle de M' comptée positivement dans le sens OM'; les choses se passent comme si le corps M était sollicité par une force mg sin « agissant dans le prolongement de OM, le corps M' par une force* m'g sin «' agissant dans le prolongement de OM'. Nous aurons donc, en écrivant que les forces perdues se font équilibre :
mg 310 a — m -;
Or, on a évidemment :
- i« g sin a
g (m sin a — m' sin a') = (m + m') 7
Le mouvement est uniformément accéléré.
DÏKAMIQUE. 345
2o Mouvement d'une chaîne homogène pesante, glissant sans frottement sûr deux plans inclinés, et restant dans u» plan perpendiculaire à leur intersection supposée horizontale.
Soient I la longueur de la chaîne, p la masse de l'unité de longueur. Posons :
OM = ir, OM'=:a:', X + x' = l. ■
Chaque élément m de la partie OM est sollicité par la force mg sin a, chaque élément de la partie OM' par la force m' g sin a. On aura donc pour déterminer le mouvement de )a chaîne l'équation :
2 (mg'sm a — m -rp] — ^ [m g sm a' —m' -rrr)*
■emier S s'étend à tous les points é d à tous les points de OM'. Or on a
donc:
lions pour déterminer a: et a:' ; on ti
\ sin a + sm a'/
Le premier S s'étend à tous les points de la partie OM, le second à tous les points de OM'. Or on a :
on aura donc :
(srsm.-^);
ffS,na'-^^-j;
soit deux équations pour déterminer a: et a:' ; on trouve, en éliminant x ' :
Digitizcû by LiOOQ IC
346 couns de mécanique.
on aura ensuite :
En posant :
»' = i (sin IX + sin «'))
et désignant par A et B deux constantes arbitraires, on tire de (1) :
sin a + sId a'
-r Jic -I-
et (2) donnera ensuite :
, , sin«
— sin « + sin .
Pour que
la chaine reste en équilibre.
, il laut et il suffit
que l'on ait
On a alors :
OU = x,
1 sin i'
OM' = x: :
Isina
sin a + sin a"
"sE"
a + sin a' '
d'où:
x, sin a =
x', sin a' ;
il en résulte que, dans la position d'équilibre, la droite MM' est horizontale.
3o Une tige OMM', dont on néglige la masse, est mobile dans un plan xOy autour d'un de ses points 0 qui est fixe; M est un point matériel de masse m fixé à la tige, M' un petit anneau de, masse m' qui peut glisser le long de la iige. Le point M est soumis à l'action d'une force X, Y, le point M' d l'action d'une force X', Y'; on demande de trouver le mouvement de la tige et celui du point M'.
Désignons l'angle MOx par 9. Soient :
Fiq 263
X, y les coordonnées de M; OH :
x',y' — M';OM' =
z = a cos 0, g —asia^, aj" ^ r* cos 8, y' = r* sin ft,
et pour déterminer le mouvement du système l'équation générale :
,A)(x„ff),..(ï-».2-;ï),,.(r-».îi),.,
Les liaisons sont ici représentées par les équations :
îF* -[- y» = a*,
On tire de (1):
ïa; = — a sin 6 56; By = + o cos 6 ! dx' = — ?' sin 9 dft + cos e Sî', djf' = + 2' cos 0 SO + sin 0 8i',
!aî = -
yîe;
îy = + iTîO,
Jy' = + aj' Sft-(-^5r'
Ces relations permettent de transformer l'équation (A) dans la suivante :
Les vai^jplions Sft et 8r' étant arbitraires, on doit égaler à zéro leui-s coefficients ; on obtient ainsi deux équations qui peuvent s'écrire comme il suit :
= xY-j(X+a;'ï'— VX',
On pourrait faire diverses applications de ces formules; nous allons considérer le cas le plus simple, celui où il n'y a pas de forces extérïeures. On a alors, en désignant par C une constante :
cette dernière équation peut s'écrire :
d ( .dix^ , dy'\ dx" +rfy"
En introduisant les coordonnées polaires dans les équations (4) et (5), il vient :
w 3^ = — î rTt'
it\ dt)~ de
(6) et (7) déterminent r' et 6 en fonction du temps. Nous désignerons par u la valeur initiale de ^ • par o'
celle de r', enfin par ua'K celle de -tt; nous pourrons
supposer que u est positif; K pourra être positif ou négatif; on tirera de (6) et (7) :
(8) C=i.»(mo' + m'a"),
dl
mo' + m'r"
.Pr'
il"
(mo-
+ inV)'
d'où;
On en tire, en désignant par C une nouvelle arbitraire : ' (mo' + m'a")'
en appliquant à f =: 0, on a :
m'ic* a"K* = C' — u*{roo' + m'a"), d'où, en éliminant C :
u'fl"K'+ (i>*(»ia' + m'o'*) : 1
( ma* + m'r'*)i
('*''' \' i(p. rt ma' + m'a'* , ,, ,,^ i -— 1 = w' >K»a" H ; r-Ti (f" — « )î'
Vma* + m'r" rfr'
(H)de=±
y,"\ma'
+ K')tn'«"|-
-K')ma'+i»'n"|
donne ensuite
l^ma*4-m'r"ï^r"]ma'+(l+K*)m'o'*j— a"}(l— K')ma'+m'a'*i
(10) fera connaître r' en fonction de (; (11) donnera r' en fonction de fl, ou l'équation de la fa-ajectoire du point M'.
Discussion. — -1<» K > 0; pour t = 0, r' commence à croître; dans les formules (10) et (H), on devra prendre d'abord le signe 4- ; pour r' = o', la quantité placée sous le radical commun aux deux formules est positive; cette quantité croit avec r'; donc, elle est toujours positive; ainsi, ce radical ne s'annule jamais, et r' croît de a' à + ce ; t croît indéfiniment; 6 tend vers une limite finie, il y a une
asymptote (car on trouve que r" ^-r a aussi une limite finie). 2» K < 0 — r' commence à décroître, à partir de r' = o' ; supposons d'abord :
(1— K*)i»<ï* + m'o'*>0, et faisons :
* (1 — K') ma' ■+■ n
ma* + (1 + K*)m'a" '
on aura r" < a", comme on le voit aisément, soit par le calcul, soit en remarquant que le radical doit être réel. On pourra écrire :
. —J. Kmfl' + m'r'*dr'
|/f»a* + (l + K')m'a" Kf" — r"
Donc, r' décroîtra jusqu'à r', pour croître ensuite de r' à + oc ; il y aura encore une asymptote ; le mobile M ' n'atteindra pas le point 0.
Si l'on a (1 — K*) ma* + m'a" < 0, r' décroîtra de a' à — 00 ; il y aura encore une asymptote.
Les formules (40) et (11) se simplifient un peu pour K = 0. On peut intégrer lorsque l'on a (1 — K') ma' + m'a" = 0; on en tire :
^ ma' + m'a'*
"" ma* 1 ,t 171, I II (""ï* + m'a'*)*
ce qui permet de mettre les équations (10) et (11) sous la forme suivante :
ma* -H m'a'*
de = fl l^m -
dr'
r" Vma* + m' r'* On achèvera aisément l'int^ration. On peut écrire ;
v-c-f^y sRm'
et par conséquent :
, ( a Via . /, mi
Xr'Vm' r «»
a Vm - f. ma* = .
r'Vm' y ""■
On déterminera 6, en écrivant que, pour 6 = 0, r' = o'; on tire de l'équation précédente :
ma'
On aura
donc:
îaVm
équation
d'une spirale.
Digitizcil by ^lOOQ IC
352 COURS DE SIÉGANIQUE.
4° Une tige OA dont on néglige la masse, est mobile dans un plan xOy, autour d'un de ses points 0, lequel est fixe; cette tige porte p petits anneaux M„ M„ ..., M, qui peuvent glisser le long de la tige; ces anneaux sont sollicités par des forces données, situées dans le plan xOy; on demande de déterminer le mouvement de chacun des anneattx, et le mouvement de rotation de la lige.
Désignons par Xi et i/i les coordonnées du point M,, et posons :
OMi = r„ AOa; = »,
nii est la masse de l'anneau M,; X,-, Y^ les composantes de la force directement appliquée à cet anneau.
En ayant recours à l'équation générale de la Dynamique, on aura pour déterminer le mouvement du système, l'équation :
2[(x,-»,Ç£'),..(y,-„.ÎI.),.] = o.
Or on a :
(2) Xi = Ti cos 6; y, — ri sin 6,
0 dés^nant i'angle de la direction OA avec l'axe des x. D'où:
SXi = — y, 3 îyj = -f- aîiî
hesp H- 1 variations Î9 et îr„ ..., Sr, étant arbitraires, on devra égaler à zéro leurs coefficients dans l'équation que l'on obtient en substituant dans (1) les expressions (3); on trouve ainsi :
,4, .^(.,f|'-,.f5) = z(.,ï,-rt).
l'équation (4) et les p équalions que l'on déduit de (5), en attribuant à l'indice i les valeurs i, 2, ..., p, forment un ensemble de p + 1 équations différentielles, pour déterminer les p 4- "1 variables z„ z„ ..., z, et 6, liées aux variables a:, et y, par les équations (2).
Cas où les forces extérienres sont nulles. — Les équations (4) et (5) donnent :
(6) donne, en intégrant et désignant par C la constante arbitraire :
ou bien, en inb-oduisant les coordonnées polaires : dt
(7) peut s'écrire :
d'où:
d 1 dXi dj/A
d ( dr,\
de
dr? + r,* rf6'
^.r, ,dV
et, en remplaçant ^ par sa valeur (8) : if.r, C
DESi>ETKOi;s. — MieaniqvB. II.
d5i COURS DE MÉCANIQUE.
Le problème est donc ramené à l'intëgration du système suivant àep +i équations dilTérentielles simultanées :
dt C dt Zm,ry d-.r. P de (îoiir,")' "
il'-(Sm,r,-)'''-
Posons
d'une manière générale :
r,VS = o,.
elles
équations ci-dessus deviendront :
du C dl ~7.t,''
1 df (S*-)'""
de (In,-)''''-
En multipliant les équations (11) respectivement par 2dtt„ 2du„ ..., 'idUp, et faisant la somme, on trouve :
Vdï/ (Su,')*
d'où, en intégrant et désirant par C" une constante
On a ensuite, en multipliant la première des équations (H)
par — u„ la seconde par w„ et ajoutant : '
"■Tip— " ■3?=»'
Digitizcil by ^lOOQ IC
on ^ura d'une manière générale, en désignant par i et j deux nombres entiers positifs diiîérents, au plus égaux kp :
d'où, en multipliant par dt et int^rant :
On en conclut, en désignant par n une constante arbitraire : ce qui peut s'écrire encore :
Posons pour abréyoi' :
(H) Su,* = p»;
les équations (12) et (13) donneront :
A'où, en éliminant S
KC"f' — C (1 + «')
On en tire, en intégrant et désignant par -c une consl|uite
On lire de (15) :
dp d'où, en ditférentiant et supprimant le ^teur 2 j- :
L'équation (10) donne, en ayant égard à (14) :
et la première des équations (11) devient :
On déduit de (17) et (19) la combinaison suivante :
qui peut s'écrire :
ou encore :
P 1 P Pi 1 **•
C(/('( c"dr)~~" 7'
cette équation devient, en tenant compte de (18) :
Digitize(lbyV.iOOQlC
OU bien, en prenant 0 pour variable indépendante :
On en déduit, en désignant par a, et b, deux constantes arbitraires ;
— = o, cos »e + 6, sin «e.
On aura des formules analogues pour — > ••■' — • Voici l'ensemble de ces formules :
/ — = 0, cosn6 + é, siQ «6,
^off. ) — = a, nos «e + 0, sin «0,
— = Of C08 n^ + bf sin »6,
On déduit des équations (20), en tenant compte de <pi) :
l — {a] + ... + oj) 60s' n6 + (6î + ... + fij) sin* nft
+ 2 (0,6, + ... + a,bp) cos ttO sin «6;
cette équation devant avoir lieu quel que soit 8, il en résulte les trois relations suivantes entre les 2j) constantes arbitraires a„ ..., Op, 6„ ..., b, :
ia\ + al + ... -t- <4=^, b\ + b\ + ... + &; = 1, 0,6, -h 0, 6, + ... + a,b, = 0.
L'équation (16) détermine p en fonction de t; les équalions (20) donneront u„ u„ ..., «j,, et par suite, r„ r„ ..., r,, en fonction de t, pourvu que 8 soit connu eij fonction de l;
