L'— BD — LH

L'équation en aftra connaître Us carrés des Crois axes principaux. Comme l'équation (U) a ses racines réelles, par la nature même du problème, il eu sera de même de l'équation aux axes principaux. La queirtion que nous nous étions proposée, est ain^i complètement

résolue. Les quaDtités a' , b' , c' seront connuea, puisque nous avona leurs expresaioQS en a, i, e. A.u reate nous pouvons obtenir aisément leur détermination directe. En effet les équations qui servent de basA a tous nos calculs ne changent pas, si l'on remplace

par

Par suite on voit que l'on aura, pour obtenir s', i' , e', K effectuer dans l'équation (11), la substitution :

(12)-' Di» = 2B' — H' ■

En terminent cet article nous signalerona une conséquence évidente des résultats précédents. Quand on a observé le mouvement du corps par rapport aux axes axes, le mouvement inverse des axes Szes par rapport au corps représente aussi un de ceux que le mâme corps pourrait prendre ai les conditions initiales étaient convenablement choisies.

Cela résulte évidemment de ce que, pour tous les mouvements d'un même corps, les constantes a, i, e, h ou a', 6', e', h' sont assujetties uniquement k vérifier la relation :

Q' = D' = {ah + ae+ 6e)* — 4 aie (a -H 6 -^ c — h)

= (s' i' H- a'e' + 6' c'y ~ ia'6' c' (a' + ^' + c" — *')•

Les propositions précédentes donnent donc la représentation géométrique, complète et aussi simple que possible, du mouvement d'un corps pesant, dans le cas oii l'eUipsoIde d'inertie du point par lequel il est fixé est une sphère. Les recherches de Lagrange et de Poisson ont fait connaître la solution du problème dans le cas, beaucoup plus étendu, oU l'ellipsoïde d*inertie de ce point fixe est de révolution autour de la droite qui joint ce point au centre de gravité. Hais nous allons Toîr qu'on peut ramener très aisément la solution du problème dans cette hj^othèse à celle du cas particulier que nous venons d'étudier.

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Prenons en eâ^et dans le corps (B) un système d'axes ûxes rectangul&ires tel que l'axe des t soit l'axe de révolution de l'ellipsoïde d'inertie du point fixe 0. Soient A la valeur commune du moment d'inertie par rapport aux axes des x et des p, 0 le moment d'inertie par rapport à l'axe des «, et enSn p, g, r les composantes de la rotation du corps par rapport aux trois axes considérés. Les trois intégrales de Lagranire sont les suivantes :

( (13) j iLp.a' + Bç.i' + C«« = 2AL,

<t, L, H désignant les constantes arbitraires et d', h' , u les cosinus des angles d« Oc avec la verticale.

Considérons un corps auxiliaire (B') qui serait animé par rapport au corps (B) d'une rotation constante

autour de 0;. Pour ce corps les composantes de la rotation totale seraient k chaque instant :

Si l'on détermine », par la condition :

les équations (13) pourront s'écrire :

(15) , \ Ap a' + Bq è' -h Ad, « — 2AL,

( p* + j' = 2Di» + 2H.

Ce sont encore les intégrales du mouvement de Lagrange, mais relatives au cas oîi l'ellipsoïde du point fixe est une sphère. Si nous remarquons que l'on a :

nous pourrons énoncer la proposition suivante :

Sumt dmiU u» corps petMt dt révolution (B), Jlxi par wt pûùit de son

)yGoogIc

axe et abandonné doits iet coaditiont inttUtlet guelcongues â "acCto* de la pesanteur, disignons par n la projection constante de la rotation eur l'axe; uit corps auxiliaire (B'), anim^ par rapport a» premier d'une vitet:e de rotation constante

autour de taxe de rloolntlo'.i, ■prcnii-a le mime mouvement qu'un corps pesant pour Uquet l'ellipsoïde d^ point Ate serait vne sphère, le centre de granité se troueant svr t'axe. Par conséquent le mouvement du corps (B'), lié d'une manière si simple à celui de (B), pourra se représenter par le roulement d"»» cône ayant pour base wie heipolhadie (H') sur un cône ayant pour base une autre /terpolhodie (H),

Nous pouvons déduire des remarijuea précédeatea une propositioD éaoDcée et démontrée par Jacobi dans un Mémoire posthume dont les fragments ont été publiés par M. Weierstrass. (Voir le t. II de la nouvelle é^itioD des Œuvres de Jdcobi.)

Ponr cela il nous suffira d'appliquer les propositions de la Note précédente, qui nous ont permis de définir le mouvement de (B').

Si nous introduisons, eu même temps que les deux cAnes ajaot pour base les herpolhodies (H), (H'), le cCno (C) déjà défini, ajant pour base la polhodie (P), qui roule i. la fois sur les deux cftnes précédents, nous obtiendrons la proposition suivante :

Dans le cas où l'ellipsoïde central du point fixe est une sphère, il existe un système (C), mobile autour de 0 et jouissant de la double propriété suivante : Son mouvement absolu est celui d'uu corps solide qui ne serait soumis à aucune Torce; ou, plus exactement, c'est un mouvement de PoinsoC, pour lequel le plan invariable est horizontal ; sou mouvement par rapport au corps pesant est encore un mouvement de Poinsot, pour lequel le plan invariable est perpendiculaire à la droite qui contient le point fixe et le centre de gravité.

Dans le cas général, cette proposition subsiste dans ses points essentiels et devient le théorème, de Jacobi, tel qu'il a été énoncé par M. Halphen dans une note récemment parue aux Complet rendus de ^Académie des Sciences, t. C. .

En effet, la proposition précédente s'applique sans modification au

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KOTE XIX. 537

corps auxiliaire (B') dont la rotation par rapport i (B) est : C — A

n suit de là que le mouTement du système (C) par rapport à (B) s'obtiendra en composant le mouvement de (C) par rapport à (B'), qui est un mouvement de Poinsot, avec une rotation constante :

autour de la perpendiculaire au plan invariable de ce mouvement. Or noua avons vu que la combinaison de ces deux mouvements donnera encore un mouvement de Poinsot. Nous obtenons ainsi dans toute sa généralité la belle proposition de Jacobi, dont l'énonce le plus simple est le suivant:

Si fou r.oMidère !e mouoemmt le plus général d'an corps pesant de rieohtion fixé par vn point de ton axe, il existe vn système auxiliaire (C) ^ui est animé, et par rapport aux axes fixes, et par rapport ait corps mobile d'un mo-jvement de Poinsot. Les constantes relatives à ces deux mouoemenls sont dijérenles; les plans invariables sont, U plan horizoalal poar le premier moueenent, et le plan perpendiculaire à faxe pour le

Si noua conservons les notations de l'article I, nous voyons que la rotation absolue du corps (B'), à un instant donné, a pour composantes relatives aux axes principaux de (C) :

Pour obtenir la rotation de (B), il suffira de composer la rotation précédente avec celle qui a pour valeur :

et dont la direction est perpendiculaire à l'axe de (B). Les composantcd

de cette rotation seront, par conséquent : .

et l'on en déduira, pour les composantes de la rotation de (B), les expressions :

Oes formules vont nous permettre de définir complètement, et d'une m&nière directe, le mouvement de (B).

D'abord l'extrémit de l'axe de rotation décrit dans le corps une herpolhodie. La proposition est évidente dans le cas du mouvement de (B'). Pour passer de là au monvement de (B), il faut coraposer la rotation précédante avec une rotation constante dont l'axe est parallèle à Vaxs de (B'), ce qui ne fait que transporter parallèlement à ellemâme la courbe décrite par l'eiLtrémité de l'axe de rol«tîon; puis introduire une rotation constante da rajon vecteur, ce qui, nous l'avons vu, ne change pas la définition de l'herpolbodie. Ainsi, la conrbe décrite dant le corpt par VestréniU de faxs de rotaSm eit, da»^ tout kt cas, wu herpolhodie.

D'autre part nous avons les composantes de la rotation totale et nous pouvons en déduire que la projection de cette rotation sur la verticale, aussi bien que le carré de la rotation, sont des fonctions linéaires de ;*, g*, r* et sont par conséquent liées par une relation linéaire. En d'autres termes :

L'extrémité de la rotation décrit dam l'espace wm eoarie située nr vu sphère ayant son centre sw la verticale.

Par suite :

I>an$ le cas général le moavemenc peut se représenter par le ronlemenl d'un cane, ayant pour bait une herpolhodie, sur Mte sphire ayant sm eentrt swr la eerticale du point Jtse, ce roulement s'ejfeeliutnt avec une vitesse égale au rayon vecteur.

Nous allons retrouver ces résultats et définir la courbe sphérique en reprenant l'étude des équations données dans le texte.

Si l'on pose :

ces équations données k Ib page 253 du texte prennent la fonne suivante :

/ rf<|i 2B« — 2L iç 2Bi>' — 2Lu

(H) j *i ~ 1 - •' ' dt~*'^ 1-%'

Elles mettent d'abord en évidence la proposition que nous avons démontrée k l'article III. Si l'on considère le corps auxiliaire (B'), pour lequel les angles d'Euler ont les valeurs :

e, i}- et ç' = ç + (2B — n) t, onann:

C'est la valeur qne l'on obtiendrait en faisant dans les formules (17) :

c'est à dire en supposant que « soit nul, ou que l'ellipsoïde central du point fixe soit une sphère.

Appelons maintenant;, q, r les composantes de la rotation relatives aux axes du corps, p', g', r' les composantes de la même rotation relatives aux axes fixes. Les formules établies dans le texte nous donnent :

et par conséquent :

La secouile des équatiODs (19) exprime que la courbe décrite dans le corps par l'ex.trénuté de la rotation est située dans un plan perpendiculaire k Taxe. La première équation (19) et l'équatioD (21) noua donnent le rayon vecteur p et l'angle polaire u de cette courbe plane, en la supposant rapportée à des coordonnées polaires dont le pAla se trouve sur l'axe du corps. On a donc :

(22) p* = 20» + 2H, u = — ç — arc t«. "'°° '''*'.

et, en ditTérentiant cette dernière équation après avoir remplacé d-^ et ifS par leurs valeurs :

(D» + H) ^ = (B — «) (Da + H) + BH + DL,

(23) p' ^ z= (B - «) p' + 2 (BH + DL).

Ces formules permettent de calculer la vitesse totale du pAle, qui est donnée par l'équation :