B) (BH + DL

On reconnaît ainsi que les formules (23), (23), (24) conviennent à une herpolhodie; la vitesse aréolaire étant une fonction linéaire, ut la Yit«SBe totale une fonction du second degré, de p*.

Proposons-nous maintenant de définir la courbe décrite par rextrémité de l'aie instantané dans l'espace. Les coordonnées de ce point sont j)', s', r' , et l'on obtiendra par un calcul hcile les expressions :

3iu<;i

dt

'il

cos^BinO. ^

+ ain

'il

dt

+ cosô

d, dt'

Digitizeû by ^lOOQ IC

de ces compoasntes en fonction daa angles d'EuIer. On a d'abord :

Si Ton élimine «, on trouyera l'équation d'une sphère ajsnt son centre sur la verticale, ce qui est conforme aux résultats déjà obtenus.

Pour définir coaaplètement la courbe décrite par le pôle instantané, nous considérerons sa projection sur le plan horizontal que noua rapporterons h des coordonnées polaires, avec le point fixe pour pAle. p' et u' désignant ces coordonnées polaires, on aura évidemment :

( p"=p'* + ff", ^ ' J ù)' = arc tg ^ •

Désignons par A et P les deux poljnSmes suivants :

On aura :

et les deux premières formules (25) nous donneront :

sinSif; P

(30) «■ = - ^ - arc te -^ ^ 4, + arc tg - .

Jl Si l'on différentie cette formule en se servant de l'identité :

on trouvera :

rfw' , P'i — Pi'

"•""> dt - ^ 2i

P' et A' désignant les dérivées de P et de A par rapport à ».

La vitesse aréoluire p" — — est ici une fonction du second degré de u.

La courbe pl&ne, projection de la route décrite sur la sphère par If pâle inotaotané, est doue, en général, une courbe transcendante de nature plue complexe qu'une herpolbodie.

Si l'on cherche l'arc de la courbe sphérique, on trouvera, comme il fallait a'; attendre, la râleur déjà donnée par la formule (24).

La courbe' sphérique décrite par le pOle dana l'espace est ainsi complètement définie.

Si l'on fait :

cette courbe es réduit à une herpolhodie, conformément aux résultats déjà établis; et la vitesse du pAIe instantané est alors donnée par la formule très simple

qu*on pourrait déduire immédiatement des théorèmes généraux de h mécanique (1).

Nous terminerons ce sujet en donnant une conetnictioa directe et purement géométrique de la route décrite par le pOIe instantané dans l'espace.

Considérons tous las mouTements pour Issquels les constantes B, D, H, L ont la même valeur. Si les corps correspondants ont an début le même axe de rotation, il résulte des formules (IT) que cet axe leur demeurera commun dans tout le mouvement; et le mouvement de chacun d'eux par rapport h l'un quelconque des autres se rldoira k une rotation constante autour de l'axe. Étudions les courbes déeritea

(') En effet les trois éqaatlons <1m moments <1eB quantilét da mouvemeat peuvenlèlre dnoDcées {{éomélTiqusment de la moDlère suivanle :

St Ion RMiInrif d «H i»tlantliitla>iiim U eovplt iu tuamtilU dt M«ia««ntmMror(te » un fwMt, ta viUtti d» TtatréiiiUI iê faxt dt câ couple cil tgalt t eXaqia fmltmt n grandaiT. iHreetitm tl itm, d raaedatpivliriiiiltantdi Inu lit coupjt* gui nmiiuntii I* traMlatlrm dtl ferai au iHém» point.

Eu appliquauL ici ce ithâorèiiie au poial ûie cl remanfunnt qaa Vax& du couple risulUel da la traoïlnUoD du poids a pour grandeur:

. ADsinB,

Ce qui Mt reqoaUoD m

NOTE XIX. bii

dans l'espace par les pâles instantanés des rotatioaa relativea k osa , différents mouvements. II faudra, pour cela, faire variei n dans les formules (25).

Soient^l, ç\, r', lea'yateura dep', ^, r' relatives )t l^jpothàae

Dana ce cas la courbe décrite par le pâle est, nous le savons, une berpolhodie (H) qni, d'après les formules (3d), asra située dans le plan

Comme elle demeure en contact avec une autre herpolhodie dont le plan est perpendiculaire a l'axe de révolution, la taigente sera néeesttàrtBUKt perpendic»laire d cet axa.

Prenons maintenant une valeur quelconque de n. Les formulée (25) nous donnent :

+ (« — 2B) sîn <1 sîn ft, + (■ — 2B) cos il" sin 0, + (« — 2B) coa e.

Nous savons que, pour chaque valeur do n, cette courbe se trouva sur la sphère définie par les formules (26) et dont l'équation est, en remplaçante', g', r* par X, Y, Z, '

D'autre part les relations (34) nous montrent, ce qui est évideut . par la géométrie, qu'à un instant quelconque, tons les pO!ea correspondants ï des valeurs différeates de n se trouvent placés, à des distances invariables les uns des autres, sur une mâme droite qui est parallèle à l'axe commun de révolution et, par conséquent, norma'e à l'herpolhodie (H). Or le mouvement de cette droite est défini par la condition que deux de sespointa décrivent les sphères correspondantes, qu'un autre point demeure dans le plan de l'herpolhodie (H) ; et enfin qu'elle soit normale à la trajectoire de l'un quelconque de ses points, par exemple de celui qui décrit un plan. On s'assure aisément qu'il n'y a entre les deux sphères, le plan et les segments de la droite

5j4 COURS DE MÉCANIQUE.

d'autre rel&tioo que la suivante : Le plan est' perpendiculaire à la ligne des centres des deux sphères. De là cette curieuse proposition qui se ramène d'ailleurs aisémeut à celtes qui ont été démontrées b la Un de la Note précédente :

Si troit points d'une droite invariable sont atiujellit. Ut deux premier! à demeurer sur deux sphères différentes, le troisième i rester dans m plax perpendiculaire i la ligne des centres des deux sphères; si de plus la droite se déplace de maniire d demeurer tançenle à la trajectoire d'un de set Foi»ls, ce ;tii dé^it complitemmt son mouBemenl à partir d'une positiou donnée, le point de la droite assujetti à rester dans un plan décrira une kerpolAodie; tous les autres décriront des courbes tphériques, gui seront les roules du pâle dans l'espace, pour le mouvement d'iat corps pesant de révolution.

Telle est la déSuitton directe et géométrique, que nous voulions obtenir, de la route décrite par le pOie dans le problème qui noua occupe, aussi bien que de l'herpolbodie de Poinsot. Noua signalerons en terminant )e théorème suivant de cinématique qui se ra'taclie directement à la proposition précédente et dont la démonstration n'offre aucune difficulté :

Si trois points d'une droite invariable sont astiyettis à demeurer sur troit sphères dont les ceniret sont en ligne droite, tous les autres points de la droite décrivent des sphères ; cl, en écartant un cas exceptionnel oit la droite nui un angle constant aMC la ligne des centres, il y a toujours un poittl de la droite gui décrit un plan.

Remarquona que cette proposition donne le mojen de décrire un plan à l'aide d'un système articulé comprenant quatre tigea seulement.

SDR UN PROBLÈME ANALOQOE kV PRÉCÈDENT.

Les intégrales du problème precédect ont été données pour la première fois par Lagrange, dans la première édition de la Mécanique Axàlytlqtte qui a para en 1188. Jl est intéressant de remarquer que la méthode de Lagronge s'applique, avec de très légères modifications, dans le cas beaucoup plus étendu ou le solide de révolutioD, que l'on suppose toujours fixé par un point de son axt^, est soumis ii l'action d'une ou de plusieurs forces extérieures dont le potentiel dépend uniquement de l'augie que fait l'axe du corps avec une droite fixe. C'est ce qui aurait lieu, en particulier, si le corps était soumis à l'action d'un autre solide de révolution dont l'axe viendrait passer par le point fixe.

Pour le montrer, rapportons le corps à un système d'axes 0;i;, Oy, Oi mobiles avec lui et dirigés de telle manière que l'axe des « coïncide avec l'axe du corps. Étudions le mouvement de ces axes mobiles par rapport k un système d'axes fixes OX, OY, OZ; OZ étant la droite fixe dont il a été question plus haut. Le potentiel des actions extérieures sera donc une fonction f{u) de », « désignant le cosinus de l'angle 0 que fait 0; avec OZ. Ce potentiel dépendant exclusivement de w, la résultante des actions extérieures sur le corps rencootrera nécessairement OZ et Oe, Par conséquent les deux premières intégrales de Lagrange subsisteront sans modification et l'on aura encore, en employant les trois angles d'Euler, et conservant les notations do la Note précédente :

/ rfi!;2B» — 2L

/''? 2B« — L 2B 2B — 2Ln

Despevrous. — Mécanique. U. 3I>

Quant à l'équation des forces vives, elle prendra U fonne ; (2) A (p' + ?') = 2f{n) + 2H.

Et si l'on remplace p et ^ par leurs expressioos en fouction des angles d'Euler, on aura :

Li solution du problème sera ainsi ramenée aux quadratures.

Gomme application on pourra étudier le mouvement d'une sphère homogène axée par un point quelconque de sa masse et soumise à l'action d'an point qui l'attire suivant la loi de Newton.

Des propositions générales que noua avons fait connaître, une seule s'applique encore au cas actuel. Si l'on considère le corps dont la position !l l'instant t est déterminée par les valeurs

des angles d'Euler, le mouvement de ce corps sera le même que si dans les formules primitives on supposait :

ce qui revient à admettre que l'ellipsoïde central du point fixe est une sphère.

Le mouvement relatif à cette hypothèse jouira encore de la propriété de réciprocité que nous avons signalée : lorsqu'on a déterminé le mouven^ent des axes mobiles par rapport aux axes fixes, le mouvement inverse des axes Hxes par rapport aux axes mobiles aéra un de ceux que le même corps pourrait prendre, si les circonstances initiales étaient changées. •

ËTUOft QËOMÈTRIQItE SOR LES PERCDSSIOHS ET LE CBOC DES CORPS.

En 1874, j'si présenté k l'Académie den Sciences les principaux résultats d'une étude sur le choc des corps (voir les Complet rendus des siancet de l'Académie des ScUnces, t. LXXVIII, p. 1421, 1550, 1645, 1167, et le Bulletin des Sciences matAématisnet, 2* série, t. IV). Je me propose de faire connaître ici les principaux résultats que j'ai obtenus.