I^AB

On peut obtenir lea mêmes résultats par une autre méthode que noua allons faire conuattre. En différentiant Téquation (26), on aura :

dp âx (?pi â!B âp, dx dx

et deux Butrea équations analogues en y, g. En remplaçant les dérivées lie p, p„ p, par leurs valeurs, que l'on trouvera facilement, et en faisant la somma des carrés, on obtient l'équation suivante :

ii ayant la signification donnée par la fonnule (36)". En posant de même :

âp dp ?'(p) (^pi<Jp, ?'(p,) <*P. ^P. î'CpO

^ ' ôa du du dy dz àz v ' i'

L'angle des deux surfaces représentées par les équations : 6 = 0, e. = C„ sera donc défini par la formule très simple :

(31) ec.V = -^ML.

En supposant que l'une des surfaces, (0,) par exemple, coïncide successivement avec les trois surfaces homofoealea, on retrouve les résultats fournis par les formules (27).

Nous voyons que la condition d'orthogonalicé de deux surfaces s'exprime, en coordonnées elliptiques, par la relation :

Enfin si l'équation

^{31, y, *) =;const.

représente une famille de surfoces parallèles et que la portion de Tune

des normales oommnnea, comprise entre deux surfaces, soit é^le à la différence des valeurs de la constante correspondantes à ces deux surfaces, on sait que l'on a :

La même propriété s'exprimera en coordonnées elliptiques par la

relation :

Ae = i.

Après avoir rappelé ces formules générales, revenons à l'ensemble des droites qui sont tangentes à deux des surfaces homofocales (;t,), {A^). Si l'on envisage une de ces droites, les cosinus des angles qu'elle fait, en un de ses points M, avec les normales aux surfaces homofocales qui passent en ce point sont donnés par les formules (18). Désignons par dp, dFp„ dp, les différentielles des coordonnées elliptiques relatives à un déplacement sur la droite et remplafons, dans les formules (IS), t, i', i' par leurs valeurs déduites des équations (25); nous aurons : ' ilf'f(f)l!,-i.) (,-*,) ■<«' (P - Pi)' (P — P,)'

''pî^»p.)(p.-*.) (?■-».)

' (Pi — P)' (pi — Pi)'

En extrayant les racines carrées et posant : (35) P(p) = /-(p)(p-J,)(p-*,).

on obtient trois équations auxquelles on peut donner la forme suivante :

yp (p) Vf (p.) |/f (p.)

I KfTp) l/F (p,) l/F^)

p'"^? ^ pî'^Pi ^ p! -^pi , |/P>) |/F(^) l/FT^

= ds,

Digitizeû by ^lOOQ IC

où les trois radicaux peuvent prendre d'ailleurs un signe quelconque. Ce Bont, en coordonnées elliptiques, lea équations d'une droite tangente aux deux surfaces {t^, (t,). La troisième, qu'on pourrait laisser de cAté, donne le chemin parcouru sur cette droite.

Ces équations où les variables sont séparées peuvent évidemment être remplacées par les suivantes :

I rp''*p + fiUîi. + f pî -^p.

où C„ C,, 0, désignent trois constantes arbitraires.

D'autre part nous savons qu'elles peuvent s'intégrer algébriquement, et nous pouvons même obtenir leur intégrale de la manière suivante. Considérons une droite tangente aux surfaces (ij, (i,). Les coordonnées i£, jf, s d'un quelconque de ses points s'exprimeront en fonction de $ par des relations de la forme :

t = s cos oc + flg, |f = ) cos g + 3„ e =2 I cos Y + c, ,

a,, b„ c„ a, ^, Y désignant des constantes qui satisferont à l'équation :

cos* a + coa' 0 + cos' 7=1

et à deux autres relations, que l'on obtiendrait en exprimant que la droite est tangente à chacune des surfaces (A,), (k,). On voit donc que les relations transcendantes (36) ou (37) peuvent être remplacées par des équations algébriques. Ce beau résultat généralise celui qui a été mis en pleine lumière par Euler et qui est relatif à l'addition des fonctions elliptiques; il est dû à Jacobi qui l'a déduit, en même temps que d'autres plus généraux, d'un théorème fondamental d'Abel.

M. Liouville a donné des propositions précédentes une démonstration très simple que nous allons développer; car elle noua fera

connattre plusieurs propositiona qui ne résultont nullement de la méthode que nous avons suivie.

Considérons les Burfaces représentées en coordonnées elliptiques par réquatîon :

On reconnaîtra aisément que 6 satisfait à l'équation : (39) A8 = l.

Par conséquent les surfaces 6 = const. sont parallèles et la distance de deux quelconques de ces surfaces, comptée sur l'une des normales communes, est égale à la différence des valeurs de 0 relatives à ces deux surfaces.

D'autre part, en différentiant l'éqnation (39) par rapport k 1, et à k^, on trouvera deux relations que l'on pourra écrire sous la forme abrégée :

On établira également, sans difficulté,

l'équation :

qui, jointe aux

deux précédentes, noua montre que les trois

équations

ai, "

définissent un système orthogonal. Or la première famille de ce système est composée de surfaces parallèles ; par suite, les deux antres familles seront formées des surfaces développables qui coupent les surhces de la première famille suivant leurs lignes de courbure. Par consé-

Digitizcû by LiOOQ IC

quent les deux éqoatioiia :

représentent une droite normale aux sorfaces (6).

Si noos les difTérentions et ai nous les cdinbinens linéairement, nous retrouverons les doux premières équations (36), et il est aisé de reconnaître, sur ces seules équations, que la droite sera tangente aux Burfkcss {i^, (i,). Supposons par exemple que la surtîuse (li,) soit un ellipsoïde. Quand on fera p ^= k, dans la première équation (36), on aura :

La méthode de H. Lioaville montre donc de la manièw la plus élégante que les équations (41) représentent une droite tangente aux surfaces (^,), (ij. Mais elle établit de plus ce résultat très précieux que toutes les droites tangentes aux deux surfaces homofocales sont

normales à une famille de surfaces parallèles, dont elle donne même l'équation en coordonnées elliptiques :

(42) e = const.

et elle fait connaître les surfaces développables formées par ces droites. Pour établir avec précision les conséquences des calculs précédents, nous allons présenter quelques remarques géométriques très simples, relatives aux droites qui sont tangentes à deux surfaces quelconques (SJ, (S,). Ces droites forment un ensemble auquel on a donné le nom de eongnteHCe (')■ U en passe un nombre limité en général par chaque point de l'espace; ce nombre est appelé l'ordre de la congruence. Il y en a da même un nombre limité dans un plan quelconque; ce nombre a refu le nom de clatse. Dans le cas particulier, que nous avons en

(i| Il est bon de remarquer qu'una coaRTueDCe do ae eompogo pa^ nâcessa[reineat de toutes les tangeuLsa caramunes à deux Eurfaca». De même que la courbe d'InteraecllaD de deux surfocea paul M décumposer ea plualeun autres, qu'il y a ialérël à étudier Buncessivomenl, l'euaemble des taugeatea communes h deux aurracea paut formur plusleura <'.ai]|;ruen<;âa dlalluclna. Jouissant de propritilés dilTêrenlea, qui pourrool être dàHuies d'une rnuuière indâpeudanto. Si l'on cunaiUéro, par exemple, les normales d'une aurraro [S), ellea seront tangentes aux dem nappes de la aurracH dea cealres do eourbure ; mais ces deux nappes admettront en Rénêral d'autres langenles commuoes qui formeronl une ou plusieurs eonf;rueneoa, clistliictea de la conf^ruence des QortuBiea,

NOTE XXJI. 6W

TUS, des droites tangentes à deux surfaces du second degré, l'ordre et la classe sont égaux h 4.

Une surface réglée formée exclu si vement de droites de la congruence eut en général tangente aux surfaces (S,), {1^- Soit en effet (d) une droite de cette surface et soient m,, m^ les points de contact de cette droite avec les deux aurfacea. Ces points m,, m, décrivent rsapectivement deux courbes (C,), (G,), tracées sur les surfaces (S,,), (£,). Supposons qu'auenne de ces courbes ne soit tangente aux positions successives de (i^. La surface réglée engendrée ^ar la droite {d) sera évidemment tangente à la surface (2,) en tous les points de (C,) et h la surface (2J en tous les points de (C,). Elle ne sera d'ailleurs développable que si les plans tangents à (£,) et k (S,) en «, et en m, coïncident. Dans ce cas la droite {d) engendrera la développable circonscrite aux deux surftices. Il suit de Ik qu'en laissant do cdté cette développable particulière, il faut, pour que la droite {d) engendre une développable, qu'elle soit constamment tangente à une courbe tracée sur l'une ou l'autre des surfitces (S^), (I,).

Conside'roas par exemple la surface (S.^). Ea chaque point «t, de cette surface passent un nombre limité de droites de la congruence, tangentes en ce point a. (Zj) et en un autre point k (1^. Si noua considérons les courbes de (£,) qui sont tangentes en chacun de leurs points k une de ces droites, courbes dont la détermination dépend de l'intégration d'une équation différentielle, ellea seront les arêtes de rebroussement d'une développable dont toutes les génératrices feront partie de la congruence. Ainsi :

Ox peitl astembler lei droila de la congruence tuioant deux sfsCêmes d4 diotioppabUi : let unes ont leurs artUs de rebroussement sur (î;,) et sont tmgenUs à (Z,); Ut autres sont tangentes à (Z,) et ont leurs ariies de rebroussement sur (Z,). Chaque droite de la congruence appartient à une déeeloppable du premier système et à une développuble du second.

Dans le cas oii les droites de la congruence sont les normales d'une surface (S), les surfaces (Zj, (Z,) sont les deux nappes de la surface des centres et les développables des deux systèmes se coupent à angle droit. Si donc on regardait les deux nappes (Z,), (Z,) dans la direction d'une normale à la surface (S), elles paraîtraient se couper à angle droit. La réciproque de cette proposition a été établie^parM. Bertrand: Toutes lesJbU qw Ut deax lystèmet de déve'.oppables dans lesquels on peut

602 CODBS DE MÉCANIQUE.

dittribver Ui droitet /Tune eonçntence te coupent à angle droit, fa énAUs

tont normale» à une famille de tw/aces parallèles.

Appliquons ici cette remarqua et soit {d) une droite de la coogruence, tangente en flt„ m, respectivement aax surfEices (S,), (S,). Les deux développablea de la Gongruence qui contiendront la droite (ff), auront pour plans tangents; l'une, celle qui a son arête ds rebrousaement sur (SJ, le plan tangent en nt, it (S,); l'autre, le plan tangent en-m, à (S^. Pour qu'elles se coupent à angle droit, il sera nécessaire et sufBsant que les plans tangents en m^ et en m, soient rectangulaires.

Noua avons vu que cette condition est satisfaite dans le cas de deux surfaces homofocales du second degré. Noua retrouvons ainsi la proposition de M. Liouvillo :

les droites toMgtniet à deux surfaces fumofbeaUs sont Us normaUs d'vne famille de surfaces parallèles; en d'autres termes, deux suffiues kimofbcalis peuvent toujours être considérées comme fermant les deux nappes de la surface des centres de courbure d'une troisième surface.

Bevenons au cas général et considérons l'une des développablea dont fait partie la droite (d), par exemple celle qui est tangente en m, et dont l'arête de rebrouasement (G,) est sur (S,). Le plan osculateur en m, à cette arête de rebrouasement eat le plan tangent de la développable, c'est à dire le plan tangent en m, à (S,); il est donc perpendiculaire au plan tangent en m, à (2,). Par suite la courbe (0,), ajrant en chaque point son plan osculateur normal au plan tangent, sera une ligne géodésique de (S,), La même conclusion s'appliquerait à (S,). On voit donc que les arltes de reiroussemenl des dételoppables sont lignes géodésiçuet de celle des surfaces (S,), (S,), sur lesquelles elles sont tracées.

Ce résultat appliqué à deux aurfaces liomofocales montre immédiatement que l'on aurait pu obtenir par la géométrie l'intégrale première de l'équation dea lignes géodésiques. Proposons-noua en effet, étant donnée une surface du second degré (S), de trouver la ligne géodésique parfaitement déterminée qui, passant en un point m de la BurTace, y admet une tangente donnée miJi. Construisons la surface (S') homofocale à (S), tangente à m^ et considérons la. congruence formée par les tangentes communes à (S) et à (S'). Nous savons que lea développablea de cette congruence auront pour arêtes de rebrouasement dea lignes géodéaiques tracées soit sur (S), soit sur (S'). Donc les courbes de (S) dont les tangentes seront égialement

taogentes k (S'), seront des ligaea géodéaiqae^, et parmi elles doit se trouver évidemment celle que noua cfaerchone. Ainsi :

Let tangentts en lous les pointé d'une iiçne g'ol^tiqu [ratée tur «ne aurfîtee du tecond degré (3) tont tangentes à ((M <t«(» tur/'ace homo/ùcale (S').

Oette proposition conduirait à l'intégrale prarot^Fe que nous avons donnée dans le tome I. Uais pour obtenir l'inté^^rale finie, il faut employer les coordonnées elliptiques. On peut suivre d'ailleurs deui méthodes différentes.

Prenons les équations (3S) d'une ligne droite et écrivons>les comme il suit :

rfp dç, rf^i

kTirt * i/Pfe) * y Fis ~ '

Kfw KFfe) |/F(p,)

La droite étant tangente nus surfaces (£,), [i^), déterminons sa direction au point où elle touche la surface [k^), que nous supposerons âtre un ellipsoïde. Si noua faisons p = k^ dans les deux équations précédentes, elles deviennent :

La première exprime que I& droite est tangente à 1b surface; la seconde est- l'jéquation difFêrentielle des courbes de l'ellipsoïde (k^), tangentes ù la droite dans ses diverses positions, c'est à dire des lignes géodésiques de cet ellipsoïde. Comme les variables y sont séparées, on aura en intégrant :

C'est l'équation en termes finis de la ligne géodésiqne avec les deux constantes j, et C.

Qn obtiendrait le même résultat on donnant à {lia valeur constante li,

Digitizeû by ^lOOQ IC

dans l'équation de M. LiouTÏIIe :

ai, '

En effet cette équation représente une déreloppable formée par les tangentes communes aux surfaces {i,), {i,). On 8'asauro aisément qu'elle est tangente à la surface (i,). Donc son arête de rebrouaaement est sur la surface (i,) et elle est, comme on l'a tu, use des lignes géodésiques de cette sur&ce dont toutes les tangentes sont tangentes à la surface (i,).

A la vérité, la propriété de l'arête de rebroussement d'être géode- Bique résulte exclusive ment des considérations géométriques que nous venons de développer. Mais la méthode de M. Liouville permettrait d'obtenir une démonstration directe. Posons en effet :

ai, 2 " di, 2 '■ ' Les valeurs de 6, 6„ B, données plus haut nous permettent d'exprimer dp, i/p„ dp, et par conséquent dt en fonction de dS, dQ^, dQ,. On trouve ainsi :

(43) if = de- + ^^--'^'-^;-y'^l^--'-''dei

Si l'on fait p = A„ on a l'élément linéaire de la suifoce (k,) sous la forme :

di^ = rfe* + (4, — pi^ (*, — p.) dQ\.

Un théorème bien connu de Gauss montre immédiatement que les lignes

6, = const.

sont des géodésiques de cette surface.

En partant des relations établies entre la théorie des moments d'inertie et celle des surfaces homofocales, on peut démontrer les

relations métrtquea Ie3 plus importantes relatives aux surfaces homofocales et en particulier celles qui servent de baae aux beaux Mémoires de M. Chssles sur les ligues géodésiques et sur l'attraction des ellipsoïdes. Nous nous contenterons ici de donner quelques indicatious sur l'assemblage ou compUice des droites pour lesquelles le paramètre a une valeur donnée.

Nous allons d'abord indiquer une définition géométrique de ce complexe. Soit (rf) une droite de paramètre k et soient i„ i, les paramètres des deux surfaces homofocales tangentes à la droite. Les plans tangents (/>,), (p,) aux pointa de contact m,, m, de ces deux surfaces seront rectangulaires et par conséquent le paramètre de la droite sera égal à la somme de leurs paramètres. On aura donc :

D'autre part les plans bissecteurs des plans (;>,) et ^p^) étant également inclinés sur ces deux plans, auront le même paramètre, et comme ils sont d'ailleurs rectangulaires, la somme de leurs paramètres devra être encore égale à k. Le paramètre de ces deux plans

sera donc égal à -■ Nous obtenons ainsi le théorème suivant :

le complexe dei dr&He» de mime paramitre k est fyrmi par Ut interlecti^Ht de deux plans tangents reclangttlairet quelconques à la surface de

paramitre - ■

Remarquons d'ailleurs qu'on peut généraliser cette définition géométrique.

Si l'on mène à deux, surfaces homofocales fises quelconques de paramètres k„ k, deux plans tangents rectangulaires, les intersections de ces plans engendrent le complexe ybrmé par les droites de paramètre A, + k,.

Nous allons indiquer les propriétés les plus simples du complexe précédent.

D'abord, toutes celles de ses droites qui passent par vit point M de tespaee y engendrent «s cane, ayant ses plans cycliques perpendiculaires aux deux génératrices reetilignes de tAyperSoloSde Aomo/ocal qui passe en M.

Nous avons en effet obtenu, k l'article II, l'équation de ce cdne. Si l'on désigne par p, p,, p, les paramètres des surfaces passant en M et si on les rapporte aux normales à ces trois surfaces, cette équation

prendra la forme :

Étudions de même les droites du complexe qui ae trouvent dans un plan (P). Soit h le paramètre de ce plan. Si par une des droites du complexe située dans le plan, on mène un plan (?') perpendiculaire à (P), le paramètre de (P') sera évidemment i — A et sera par conséquent constant. Par suite les plans (P') seront tous tangents ii la surface homofocale de paramètre k — A et la droUet du complexe situées dmt le plan (P) envelopperont une eonigut, giU sera la trace tw le plan (?) du cyUmlre perpendiculaire d ce plan, i^eonscrit d la surface de paramètre k — A.

Il resterait à étudier la surface des singularités du complexe, c'est à dire le lieu des points pour lesquels le cane du complexe se décompose en deux plans et l'enveloppe des plans pour lesquels la conique du complexe se décompose en deux points. Cette surface des singularités est une aurfoce des ondes. Cette propriété, que j'avais communiquée k Paînvin, est devenue, pour cet excellent et regretta géomètre, le point de départ de belles études qu'on pourra lire dans le Sulletin des Sciences mathématigiies {1'° série, t. Il) et dans les NonttîUt Annales de Uat&étnatiques (2" série, t. XI).