I. 11 on, ae prenare

F (,') = --■-*', '+eVr+T*, /(J') = e.«în9,.

*(?')=— a - *y' + e vT+y"*. ?(?') = ".«« ?.-

> diluas mon Iror qu'un jMiul inlcgrsr (râa Blmiiloineul l'iiqualioa (a). Ponr relu.

Revenons sux formulea (39) et voyons comment on détermiDera la fin du choc. Dana le cas dea corps moua, il n'j a pas de difflcultc : le ohoc se terminera quand ta vitesse relative nonnale fo sera réduite à zéro. Mais il peut j avoir des corps élastiques dans lesquels le frottement n'est pas nul, par exemple deux billes d'ivoire dépoli. Dans ce cas, rien ne nous guidant, on peut revenir à l'ancienae hypothèse et supposer que, lorsque les corps se détondent après s'être

et par couséquenl :

□Q aura, en dilTârenliaDt,

et, sll'oa élimine Xtf»,aD Iruuvera: ,

Celle équBlion linAilre fera coDualIra > eo ronctioD de f*. On ilélerminera eeiuUe m ii ipoyea de la formule

X<ix =

i^-lf-h'-

où le* vtrinblea sont aépaiéM, ai enAa y par la rormute

L'Intéfiralion de l'équalion dilTiireuliGlIe est ainsi rameaâe a une aârio de quadralures. Si dans l'Aqustion (a) on rempla;ail Xifz par 49(0, f), on ■erall, par une mélliude analogue, ramena à l'iotégraÉion do l'âqunijou

L'Aquallon (a) comprend comme cas parliculiei les auivanles :

comprimés, ils reçoiveot une percussion normale égale k celle qui G^est développée dans la première partie du choc. Alors il eufBra de calculer la percussion normale relative au cas du cboc des corps mous et de prolonger le choc jusqu'à ce que la percussion normale aft pris nue valeur double de celle que l'on a ainsi calculée. Pour plus de netteté, nous traiterons toujours, dans ce qui va suivre, le cas du choc des corps mous.

D'après les hypothèses faites sur le sens de l'axe des 2, la percussion jNi^t sera toujours positive et la valeur initiale m, de ffl sera négative. Par suite, la première des formules (29) nous montre que f ,

positif; donc on connaîtra le sens de la variation de 9. Désignons par a la première racine de l'équation

que 9 atteindrait en variant dana le sens indiqué, et cherchons si le choc sera terminé avant que ç ait atteint la valeur a. L'équation qui définit la fin du choc est :

Si cette équation admet nne racine comprise entre zéro et a, il n'j aura pas de difficulté; les formules (25), (29) seront applicables jusqu'à la fin du choc, et elles feront connaître les percussions tangentielles et normales, et par conséquent la vitesse finale des deux corps. Je dis que ce cas se présentera toujours toutes les fois que la quantité que nous avons désignée par H sera positive pour ç =: 3. En effet, nous avons vu que l'expression

X (aX + JY 4- cZ) + Y (tt'X 4- à'Y -h e'Z) 4- Z (a'X + b'Y ■+■ c'Z)

est toujours positive, quelles que soient les quantités X, Y, Z. Faisons :

X — — /'cosç. Y — — /'Binç, Z=l;

on aura, en conservant les notations adaptées :

A' — /■(A' cos ? + A' sin ?) > 0,

KOTE XXI. • 575

ce qui, d'après les formules (25), équivaut il l'inégalité

dw — fdv > 0, et, par conséquent, (3X) w „, /(^p e^) > 0.

do Or, si f se rapproche de la racine a, ~ devient inflni positiT,

puisque noua avons vu que le ai^ne deif^ est toujours celui de A. Si donc H est positif dans le voisinage de la valeur a de ^, l'inté^

/Hrfç •— ^ deviendra iodnie positive, et il en sera de même de v,

qui a pour valeur :

(32) <e=zv^e^f' ^ .

Ainsi, si f variait de zéro k a, ? et par conséquente — e,, croîtraient indéfiniment, et, en vertu de l'inégalité (31), il en serait de mâma de V>. Donc, avant que f ait atteint la valeur x, to aura pris tel accroissement positif que l'on voudra, et, comme sa valeur initiale est négative, elle aura passé par zéro ou par toute autre valeur positive qui marquera la fln du choc.

Si, au contraire, on a H < 0 pour 9 := a, il pourra se faire sans doute qu'il 7 ait encore une valeur de ^ comprise entre ç, et a. et annulant m, mais il pourra aussi arriver que ç atteigne la valeur a sans que m soit devenue nulle. En effet, dans ce cas, e deviendra nulU pour 9 = a et l'intégrale

r? A/piç

qui tendra vers une ^leur finie quand ip s'approchera de a, aura un maximum en valeur absolue. Si n^, par exemple, est supérieure à ce maximum, l'équation (30) n'aura pas de racine entre 7,, et a-

Toilà donc un cas tout aussi général que le précédent et qui avait été négligé, celui oii la vitesse relative tangentielle devient nulle avant la fin du cboc. Nous allons l'étudier d'une manière détaillée.

Et d'abord l'étude qui a été faite de questions analoguea (roulement

()ea sphères, des ejlindres) nous avertit qu'il peut se produire deux

espèces tout à fait différentes de mouvements :

Ou bien la vitesse relative tan^entielle continuera k demeurer nulle, et alors la force de frottement ne sent assujettie qu'à l'unique condition d'être inférieure à la force normale multipliée par le coefficient de frottement; en d'autres termes, la force appliquée à l'un des corps devra faire avec la normale commune un angle moindre que l'angle de frottemeiit. Ce sont là les lois du frottement quand il j a r^xtt relaiytia contact.

Ou bien la vitesse relative tangentielle reprendra des valeurs finies, et il reste à déterminer le mouvement qui pourra se produire dans ces conditions.

Examinons d'abord le premier cas. Soient N la composante normale de la force à un instant quelconque, 0, 0, ses composantes tangentielles. Puisque la vitesse tangentielle v doit demeurer nulle, il &ut que l'on ait:

ae + SB, + cN = 0,

Exprimons que la composante tangentielle est plus petite que /N; nous aurons l'inégalité :

f*Xi* — 6' — e; > 0,

et, par conséquent, en posant :

(33) K = p (aS' — S» )* — (ac' — ea')* — (*c' — ci')*,

il faudra que l'on ait :

Si cette inégalité n'est pas satisfaite, le mouvement précédent sera impossible. '

Examinons maintenant ce qui arrivera si l'on suppose que la vitesse tangentielle relative, après être devenue nulle, reprenne des valeurs

flaies. Alors l'équation différentielle

(A' cos ç — A 8in f) rfo = îi (A' ain ç + A co3 ç) di^, nous montre quo U seule solution possible sera :

A' cos ç — A ain ? ^ 0, dtf =. 0. Ainsi, dans le mouvement qui se produira, la direction et le sens de la vitesse relative demeureront constants, et f ne pourra être qu'une des racines de l'équation précédente.

Or cette équation admet quatre racines qui peuvent âtre toutes réelles. Nous sommes donc amenés & discuter jusqu'à cinq mouvements différents qui peuvent se produire : ceux, au nombre de quatre, qui correspondent à ces différentes racines, et celui pour lequel 1» vitesse tangentielle demeure nulle. Si deux de ces mouvements étaient possibles simultanément, on rencontrerait un fait très intéressant, mais qu'aucun des exemples traités et connus ne nous permet de prévoir. Nous allons en effet montrer, par une discussion détaillée, qu'il n'j a jamais indétermination, qu'il n'y a jamais à choisir entre deux ou plusieurs mouvements également possibles.

Nous développerons d'abord quelques remarques préliminaires.

1° Dans le cas oU la vitesse tangentielle reprend une valeur finie, on a, nous l'avons vu, ip == cbnst., et les formules (27) nous donnent sans ditBculté :

dv = Rîfd(, v = HJifdi.

Or, o etjNtff sont positifs; il faut donc que H le soit aussi. Ainsi, pour que le mouvement correspondant h une racine a de l'équation A = 0 soit possible, il faut que cette racine et rende la quantité H positive. Il suit de là que si la vitesse tangentielle est devenue nulle pour une certaine valeur a de 9, comme cette valeur 3 est une racine de i rendant H négative, la vitesse ne peut reprendre une valeur finie, ç étant égal a a.

2° Puisque le signe de H pour chaque racine de A a une grande importance, cherchons ii le déterminer. A cet effet, nous remarquerons l'identité fondamentale dans cette discussion :

H + A' = — a/'sin* ç — i'/cos' p + (S + a') ^sin 1; cos 9. A' désignant la dérivée de A par rapport ii ^.

Despeïrous. — Mécanique. II. __ 37

En vertu des inégalités (26), le second membre est toujoars négatif. Donc H est négative pour tonle raeiae de A qui rend la dérivée A' pùiHtet ou nalle. Telle e^t la proposiCioa qui rendra possible la discussion suivante.

â° Formons l'équation qui donne les quatre valeurs de H; on a :

A = A' cos ç — A sin ip ^ 0, A' sin o + A cos ç ■= H,

et, par conséquent,

cos ^ sm ç ou, en développant,

c — {fl/+ H) cos ç — î^sinç ::= 0, c' — a'fcos If — {b'f + H) sin ? = 0,

ce qui donne, en éliminant 7, lea' — fflc' — « 7I + l"^* — *"= + Yf

:=QaS'-J«')^-y(«-H5') + ^]r- L'équation développée est :

f -h 2 [(« + 5') (aJ' — Ja') p — c {cb' — Se') 4- c' (ca' — ac'j] -r + f^ (ai' — Sa')' — (ca' — flc')' — {eb' — Se')' = 0.

Le dernier terme de cette équation est la quantité que nous avons désignée par E.

Ces remarques &ites, nous pouvons commencer la discussion.

1° Supposons d'abord que l'équation A ^^^^ 0 n'ait pas de racine réelle. Alors les quatre valeurs de H sont imaginaires et la quantité K est positive, puisqu'elle est le dernier terme de l'équation précédente, dont lea quatre racines sont imaginaires. Si, au début du choc, la vitesse

tangeotielle cat nulle, elle demeurera uécesaii ire ment nulle, R étant positif et aucun dea quatre autres - mouvements n'étant réel. Si au contraire elle n'est pas nulle, elle ne le deviendra jamais, et les formules (29) seront applicables jusqu'à la fin du choc.

2° Si l'équation A =: 0 a deux racinea réelles, pour une de cea racines In dérivée A' aéra positive, et, par conséquent, la valeur correapon dente de H sera négative. Si lea deux valeurs réelles de H sont négatives, le dernier terme de l'équation (3i) en H aéra positif, et, par auite, si la viteaae c devient nulle h un instant du choc, elle ne pourra que le demeurer. An contraire, si une seule valeur de H est négative, K sera aussi négatif; et, ai la vitesse d devient nulle avant la fin du choc, elle ne pourra paa le rester; mais il se produira le mouvement dans lequel ç prend une valeur égale à la racine de A pour laquelle oq a H > 0. .

3° Enfin, si l'équation A = 0 a ses quatre racines réelles, il y en aura deux rendant A' positive, et, par conséquent, deux au moins pour ùigiuilei <m aura H < 0.

Si l'on a K < 0, il 7 a un nombre impair de valeurs de H négatives ; il y en a donc alors trois. Ainsi, il existe trois valeurs de o pour lesquelles la vitesse t> peut devenir nulle; mais, K étant négatif, cette vitesse ne pourra rester nulle, et il se produira le mouvement dans lequel ç prendra une valeur égale à l'unique racine de A pour laquelle on a H > 0.

Si l'on a E > 0, noua allons montrer que l'équation (34) n'a que des permanences, et par conséquent que les quatre valeurs de H sont négatives. Mais,* pour simplifier le calcul, nous admettrons que l'on ait choisi les axes de telle manière que c' soit nulle. Cela revient à faire passer le plan d,es xi par la direction de la vitesse relative qui serait imprimée par Isa deux percussions égales et contraires, dirigées suivant Oa.

On a, dans le cas qui nous occupe :

/* (aft' — btt'Y — c' (a" + 6'') > 0.

Rappelons les inégalités

(a' + S)» — iai' < 0, a > 0, »' > 0,

qui donnent :

(a' S)» < 4 («S' — Sa'),

et par conséquent :

al,' — btt' > 0.

Si nous nous reportons à l'équation (34), nous voyons immédiatement que le coefficient de H' est positif. Il reste à démontrer qu'il en est de mdme des coefficients de H et de H'. Nous emploierons pour cala les deux inégalités : f

{ai' — »«')*

. L=(tf -f- S')((iJ' — Jfl')/» — c'J'.

Le coefficient de f étant positir, remplaj^ns f* par sa limite inférieure. Noua aurons :

Bemplaçons encore a par sa limite inTérieure, et nous aurons :

44' L(o*' ~ia') , „ , „ ,„.

ce qui démontre que L est positif.

Plissons au coefficient de — ■ On a, en le désignant par L, :

L. = /" [{a + S')' + 2 («S' — Sa')] — c' et, en remplaçant f* par sa limite inférieure :

L, iab' —ba'y , , .„,.

+ 4at' (a'* + 5'*) + (a" + *") (S" — j» — 2ba').

i l'oQ remplace dans le second terme a p&r sa limite inférieure.

' + ô6')' + (a'* + ft")',

et, par conséquent, L, est eacore positiT.

Ainsi, toutes les fois que Téquation A = 0 aura ses quatre racines réelles et que K sera positif, lea quatre valeurs de H seront négatives. Alors, pour quatre valeurs de f, la vitesse o pourra devenir nulle; mais, quand elle le sera devenue, elle restera nulle jusqu'à la fin du choc.

En réaumé, il n'y a jamais d'indétermUalion dam le mouvement. ' Bans le cas où la vitesse 0 demeurera nulle, il faudra substituer aui équations (29) les suivantes :

1 0 = ff9 +Se, +cN, (35) j 0=a'6+J'e,+c'N,

( w= tri + n'O -i-à\ + c'N,

qui serviront jusqu'à la fin du choc; te', désigne la valeur qu'a n au moment oii la viteaae 0 devient nulle.

J'indiquerai, en terminant, un exemple asseï simple qui met en évidence la plupart des cas de la discussion précédente; c'est celui d'un corps solide de révolution qui vient rencontrer obliquement un plan fixe.

SUR LES RAPPORTS DE LA TH£0RIE DES MOMENTS D'IKERTIE AVEC CELLE DES SDRF&CE3 HOHOFOCÀLES.

Od a vu, dans le texte, comment la détermination des axes et des moments principaux d'inertie relatifs à un point donné ae ratCaclie à la considération d'un système de âurfaces homofocales du second degré. Les rapports entre la théorie des moments d'ioertie et celle des surfaces homofocales du second degré soDt nombreux et importants; depuis Dupin et Binet ils ont été l'objet de travaux variés, parmi lesquels il faut citer ceux de O. Hesse, exposés dans les VorUiungeit Uber analgliicAe Geomelrle des JtaamiH nous nous proposons d'indiquer ici la méthode que nous avons suivie, il y a dnjà longtemps, dans notre enseignement de la Sorbonnç ot de l'Ëcolo normale.

Cette méthode repose tout entière sur l'attribution d'un coefficient spécial, non seulement à chaque droite, mais il chaque point et à chaque plan de l'espace.

Nous appellerons moment d'inertie du corps par rapport k uq point O la somme des produits des masses des molécules par le carré de leur distance au point O. Pour sbré^r, nous donnerons à ce moment d'inertie le nom de paramèire du point.

Le momeot d'inertie par rapport à un plan (P) sera de même la somme des produits des masses des molécules par le carré de leur

distance au plan (P), Ce moment d'inertie recevra également le nom

de paramilre du plan.

Enfin le moment d'inertie p^r rapport à une droite sera appelé

ptfaittèlre de la droite.

Nous conaidèrerons simiilcauémeut ces trois systèmes de paramètres' Si le corps est rapporté à un Bjstème d'axes rectaa^l aires, le

paramètre de l'origine sera :

2m(ir' + y' + s'),

m désignant la masse d'un point matériel quelconque du corps etm, y, t se? coordonnées. Le paramètre de l'axe des i sera, avec les mêmes notations :

Ceux des plans coordonnés des y;, des xi et des x}/ sont respectj* vement : .

Zmx^, 2»ty', 2m*'.

De ces expressions si simples, relatives k un système arbitraire d'axes rectangulaires, résultent les théorèmes suivants :

£e paramètre d'un point queUonqw est égnl à la tomme det paramitrei de trois plans rectangitlairet quelconques se coupant en ce point. Par conséquent, ti un triidre trirectangle se meut de telle manière que ton sommet reste fixe, la somme des paramitt-es de ses trois faces demeure ca tlante.

Le paramètre itune droite quelconque est égal à la somme des paramètres de deux plant rectangulaires quelconques se coupant suivant cette droite. Par conséquent si un dièdre droit tourne autour de son arête qui reste Jlxe, la somme des paramèt-es de set deux /aces demeurera constante.

Si on considère une droite et un pian perpendiculaires, le paramètre de leur point d'intersection est égal à la somme des paramètres de la droite et du plan. Par conséquent si un plan et une droite, assujettie à rester perpendiculaire au plan, tournent autour de leur point commun, la tomme des paramètres de la droite et duplan reste constante.

Nous signalerons également les propositions suivantes dont la démonstratiod est très facile.

Le paramètre d'un point quelconque est égal au paramètre du centre de

çraeité, augmenlé da produit de la masse totale par -le carré de la dislance des detu points.

Le paramètre d'un plan e-.t égal au paramètre du plan pmUèle mené par le centre de gravité, attgmealé da produit de la masse par It carré de la distance des deux plans.

Ces deux propositions sont analoi^ues k celle qui a été donnée, relativement à la droite (p. ITT) et qu'on peut énoncer comme il suit :

Le paramètre d'une droite est égal au paramètre de la droite parallèle menée par U centre de gravité, augmenté du produit de la masse par le carré de la dislance des deux droites.

Nous allons d'abord considérer tous les plans passant par une droite et Dotis étudierons comment varient leurs paramètres. Supposons que cette droite ait été prise pour axo des «. L'équation de l'un quelconque des plans qui la contiennent sera :

(1) us + ty = 0,

et le paramètre P de ce plan aura pour expression :

en posant pour abréger,

(3) 2ma* ^= a, 'Lmxy = b, Zmy* ^ c.

Il résulte de la formule (2) qu'il y a en ^néral deux plans correspondants à une valeur donnée, P,, du paramètre. Si l'on suppose qne l'on ait pris les plans bissecteurs de ces deux plans pour plans des xe et des y^, la constante b sera nulle, et la formule (2) prendra la forme :

(4) P ^ - j ■■ — ~ z= d cos' i + c sin' i,

i désignant l'angle du plan avec le plan des yt dont le paramètre est a. La formule (4) noua permet de reconnaître comment varient les paramètres des différents plans passant par la droite. Il est clair que I'

passera par toutes tes va'eurs intermédiaires eiitre a et c et qu'il obtiendra une même valeur p pour les deux plans correspondants aux valeurs de i défluies par l'équation

d'où l'on déduit :

Bans le cas exceptionnel où a sera égal à c, tes paramètres de tous les plans passant par la droite seront les mêmes. En réunissant ces résultats nous obtenons le tlieorèrae suivant :

Si nous considéroiu toas les plaiu postant par une droite, deux plans de mime paramètre admtUent loiyoars tes mimes plans bissecteurs (P,), (P,). Soient p„ p, tes paramilrts de ces deux plans. Le paramètre d'un plan (P) faisant l'angle i avec (P,) sera donné par lajbrmule

(5) p =p^ cos' i + p, sin' i,

eipar conséquent lorsque i variera de 0 à i:, p passera deux Ji>it par toutes les valeurs comprises entre p, et p^.

Imaginons maintenant que l'on considère les plans ou les droites assujettis seulement à passer par un point aie 0. Prenons pour axes coordonnés les axes principaux du point O et posons :

On a vu que l'on a :

'î.myz = "^mxi ^^ Zmxy =. 0.

Le paramètre p d'un plan quelconque passant par 0 et représenté par l'équation

vx -\- vy + We =: 0,

sera donné par la formule :

^ {ux + P^ + wa)' au' + 00* 4- yw'

angles du plan avec les plans des y i, des xi

et des xy, la formule précédante peut encore s'écrire :

1^) p ^ a cos* t + p cos' i' + f coa' i'.

Il résulte de l'équation (6) que tous les plaas de paramètre donné p dcTront satisfaire â l'équation :

(a —p) «« + (3 p) p» + (y p) w» = 0, et par conséquent qu'ils envol opperont le cône :

Noua pouvons donc énoncer la proposition suivante ;

Tout la plant de mène paramètre passant par un poàtt donné O enveloppent un cône du teeond degré. Zei cd/tet correepondant* aux divertet vaieurt du paramitre sont homoficaux. >

Considérons maintenant les droites passant par le point 0. Si lea équations

représentent une telle droite, son paramètre rs aura pour expressioD :

et lea droites de même paramètre cr engendreront un cane dont l'équation sera évidemmeut :

(10) (g + Y — a) »* + (a + V — o) y' + (i + P ~ ct) e' = 0.

Les cOnes correspondants aux dilTérentes valeurs de js seront homocycliques. Mais il e^t clair que l'on pourrait les obtenir d'uue autre manière. Si l'on élève en effet des perpendieulaires en O à tous les plans de même paramètre passant en ce point 0, il résulte de l'un des théorèmes énoncés à l'article I que toutes ces perpendiculaires auront le même paramètre. Par conséquent, tous lea cOnes représentéd par l'équation (9) seront supplémentaires dçs cAnes boqioFoçsux repré*

sentes par l'équation (8). Les focales de cea derniers cOnes seront, par suite, perpendiculaires aux plans cycliques des premiers. Ainsi :

TouUt les droiles de mime paramètre postant par hh point engendrent «» cdne du tecond degré. Les cônes correspondants aux diverses valeurs dit paramètre sont homocycli^Mi et sont les suppUmenlaires des cônes homo- /Ocaux, enteloppes des plans de même paramètre. •

Ea rapprochant les uns des autres les résultats donnés dans cet article, on retrouverait les principales propositions relatives aux cônes du second degré. Nous nous dispenserons de les développer, car nous les obtiendrons plus loin sous une forme plus générale. Noua discuterons cependant une question relative aux paramètres des plans passant par une droite quelconque.

Si l'on mène par cette droite doux plans de mâme paramètre, ils seront tangents à l'un des cAnes homofocaux représentés par l'équation (8), Nous avons vu, au début de cet article, que leurs plans bissecteurs sont fixes et correspondent à ces voleurs du paramètre pour lesiiuels les deux plans de même paramétre viennent se confondre. Noua sommes ainsi conduits au tliéorème suivant :

Si, par une droite Jlxe, on mène des plans tangents aux câttes homofocaux représealés par l'équation (8), les plans bissecteurs de ces couples de plans tangents demeurent Jtses; par conséquent, deux des cônes homo/oca:ix passent par la droite, s'y coupent à angle droit; et de plus les paramètres de ces deux cônes donnent les limites extrêmes entre lesgaelles varie le paramètre d'unplan passant par ia droite.

Étudions maintenant la loi de la variation des paramètres de tous les plans de l'espace. Si l'on rapporte le corpa aux axes principaux du centre de gravité, on aura :

Zmyi ^ ^mxg i= Imxy ^ 0, ^mx ^ 2i»y = Swï =0.

Pour plus de simplicité, nous supposerons que les unités aient été choisies de telle manière qug la maa^e totale du corps soit égale a 1

et nous poserons :

Swi' ^ a, Zm]/' ^ 6, Zmz* ^= c. Soit:

réquation d'un pian quelconque. Le paramètre * de ce plan sera déSni par réquation :

(121 1 — ■*■ ^"^"^ "ï* "^ '"^ "+" J"^' at' + ftr' H- c»' +y' «' + f ' -(- îp' *' + s' -+- w*

Tous les plans de même paramètre k satisferout par suite à l'équation

■ et par couBéquent ils envelopperont la surface dont l'équation en coordonnées poDctueUea est :

La forme de cette équation donne immédiatement le théorème suivant :

Tous Us plans de mfme paramili-e enveloppeiil une turftce d» teend degré, admeilant pour centre unique le centre de gravité et pour axes la axes principaux du corps. Toutes les sur/Mes corretpondanles aux dieertes oaleurs du paramètre sont homo/ocales.

A-i moyen de ce théorème on peut résoudre très simplement la question examinée dans le texte (p. 185) et, étant donné un point quelconque M de l'espace, déterminer les axes principaui et les moments principaux relatifs il ce point.

Considérons en effet exclusivement des plans passant par M. Ceux qui sont de paramètre k sont tangents à la surface homofocale de même paramètre. Le théorème démontré a l'article II nous conduit donc à cette proposition fondamentale et bien connue que les cdnes Je même sommet, circonscrits it une série do surfaces homofocales, sont homorocaux. L'équation (8) de ces cOnes montre de plus que trois d'entre eux se réduisent à des plans qui sont les plans principaux du point M, et cela pour les valeurs x, 3i Y ^^ *■■ *-*' '^ ^^^^ circonscrit

à une surrace ne peut ae réduire à un plan double que si la surface vient passer par son sommet. Nous Tojona donc que trois des surfaces repréâenlées par l'équation, (14), correspondantes à des valeurs réelles de a, viendront passer p&r le point U, et que leurs trois plans tangents seront les plans principaux de ce point. Elles se couperont par conséquent k angle droit. On retrouve ainsi la propriété fondamentale des surfaces homofocales.

Soient it„ f„ «, les coordonnées du point M. Les racines de l'équation

seront les valeurs de a, 3i T- Si on les désigne par p, p,, p, le plan tangent h la surface (p,) aura p, pour paramètre. Par conséquent les paramètres des trois axes principaux seront :

p,+ p, pour la normale à la surface (p), P + P. — (P,).

Ces résultats concordent, on le reconnaîtra aisément, avec ceux qui ont été donnés à la page 189, Le paramètre du point M sera :

ou, en calculant la somme des racines de l'équ&tion (15) :

On voit que, conformément à une proposition de l'article I, le paramètre du point H est égal à celui du centre de gravité, augmenté du carré de la distance des deux points.

D'après l'expression que nous venons de donner du paramètre d'un point quelconque, nous vojons que le lieu des points de même paramètre sera une sphère ayant pour centre le centre de gravité du corps. D'après cela, considérons trois surfaces homofocales de paramètres ii, Ap k,. Si un trièdre tri-rectangle a ses faces respectivement tangentes à ces trois surfaces, le paramètre de son sommet qui, d'après une proposition de l'article I, est égal è la somme des

paramètres des trois faces, sera constant et égH h

Par conséquent le lieu de ce sommet sera une sphère concentrique aux trois surfaces. Ce théorème est dû à M. Cliasles qui Ta donné dans V Aperçu hisloriçue. Si l'on suppose que les trois surfaces coïncident on retrouve le théorème de Moage, relatif au trièdre tri-rectang'le circonscrit à une surface unique.

Considérons maintenant deux surfaces hûmofocales de paramètres if et i,, et menons-leur deux plans tangents parallèles. D'après une proposition donnée à l'article I, les paramètres de ces deux plans seront:

.1 désignant le paramètre du plan parallèle mené par le centre de gravité atd, d' les distances du centre de gravité à ces deux plana. Comme on a :

Jt, — A,7=d" — d\

on peut énoncer le théorème suivant :

La di0rence des carrés des distanoet du centre i deux plant taitgenU parallèlei, menis à deux sar/àces homo/icales, est contlante et égale â la (UféTence des carrés des paramètres de ces sur/acet.

Nous allons obtenir d'autres conséquences, d'une démonstration moins facile, en étudiant les rapports d'une ligne droite avec les surfaces h omo focales.

Menons par cette droite deux plans tangents à l'une quelconque des surfaces homofocales. Ces plans auront le même paramè'tre et nous avons vu que leurs plans bissecteurs seront toujours les mêmes, quelle que soit la valeur du paramètre, c'est à dire quelle que soit la surface homofocale à laquelle ils sont tangents. Lorsque ces deux plans se confondront, ils devront coïncider avec l'un ou l'autre de leurs deux plans bissecteurs. Ils ne peuvent d'ailleurs se confondre que si la surface homofocale à laquelle ils sont tangents devient ello-mêms tangente à la droite. Cette remarque nous donne la proposition suivante :

Étant donnée une droite quelconque, il y a deux turfœet h&aui/beala

rielUt tangtuUs à la droiU et Itt plant iangenlt â ces deux iur/acet en leur point de contact atee la droite sont rectangulaires. Ces deux plans sont les plans bisiecU»rs du dièdre gue Von peutjbrmer en menant par la droite des plans tangent» à toute autre sur/ace du systhne Aovto/ocal.

Il résulte des développements donnés k l'tirticle T que le théorème précédent ne peut se trouver en défaut que lorsque tous les plans passant par la droite ont le même paramètre. Alors tous ces plans sont tangents à une même surface homofocale, et par conséquent la droite est une génératrice rectiligne de cette surrace.

Soit M nn point de la droite. Rapportons-la aux trois axes principaux de ce point. Soient p, p^, f, les paramètres des surraces passant en M. L'équation du cône de sommet M circonscrit à la surface (A) sera :

Soient i,i', i' les angles que fait la droite avec les normales aux surfaces (p), (p,), (p,) respectivement. L'équation en i :

, , cos' i coa' i' cos' i' (16) ~— + , + ^ i = 0,

déterminera les deux cAnes passant par la droite ; c'est à dire elle fera connaître les paramètres des deux surfaces homofocale^ tangentes à la droite. Si on désigne par i, et A, ces paramètres, on aura :

Ces deux équations permettent de déterminer i, i', i'. On en déduit :

-pO

(p. — p)(pl— Pi)

Ou peut, en atilîsant les formules précédentea, obtenir dea réaultats très importants, rslativemeiit aux droites pour lesquelles A, et ^l^ ont la même valeur, c'est à dire qui sont tangentes à deux surfaces bomofocales déterminées. Mais, pour cela, il est essentiel de rappeler quelques formules relatives au système de coordonnées elliptiques.

Reprenons l'équation :

qui représente les surfaces enveloppes des plans de même paramètre. Noua avons vu qu'il en passe trois par un point quelconque de l'espace. C'e^t ce que montre d'ailtoura aisément la discussion de l'équation ■précédente où l'on considère x, y, t comme données et k comme une inconnue à déterminer. Si Ton suppose et, b, c rangés par ordre de grandeur décroissante, elle admet trois racines réelles; l'une que nous désignerons par p, supérieure ii a\ l'autre que nous appellerons p„ comprise entre a et A; la troisième que nous désignerons par p„ comprise entre b et c. Ces trois racines correspondent respectivement à un ellipsoïde, à un fayperboloïde à une nappe et k un hyperbololde à deux nappes. Par suite, si l'on décompose la système des surfaces bomofocales en trois familles composées, la première des ellipsoïdes, la seconde dos hyperboloïdes k une nappe et la troisième des hjperboloîdes à deux nappes, nous pourrons dire qu'il passe une surface de cbacune des trois familles par tout point de l'espace. C'est ce que montrerait d'ailleurs aisément la discussion des Tonnes successives que prend la surface appartenant à une famille donnée, quand le paramètre qui la détermine prend toutes les valeurs possibles. Par exemple les ellipsoïdes (p) commencent à être confondus avec la portion du plan des yz comprise à l'intérieur de la focale elliptique réelle; ils grandissent ensuite indéfiniment et leurs trois axes dépassent toute grandeur donnée. Il passe donc un ellipsoïde et un seul par cbaque point de l'espace.

Lorsqu'on emploie le système de coordonnées elliptiques, on substitue

aux coordonnées x, y, t d'un point les paramètres p, p,, p, das trois surfaces homofocales qui passent par ce point. 11 est Trai qu'à un systËme de valeurs de p, p,, p, correspondent les huit points d'intersection des trois surfaces homofocales correspondantes; mais ces points soDt placés symétriquement par rapport aux trois plans principaux et des considérations très simples de continuité permettent, dans chaque question, de reconnaître le point auquel se rapportent les valeurs trouvées des cooordonnées elliptiques.

Si Ton se reporte à l'équation (19) eu 7 regardant lE, y, t comme les coordonnées d'un point quelconque et k comme un paramètre variable, elle admettra pour racines les coordonnées elliptiques p, pi, p. du point considéré. On pourra donc écrire l'identité :

' ^ ' II — a H — i » — ô (J — o)(* — »)(i — c)

qui devra avoir lieu pour toutes lea valasTS de i. En décomposant le Becoad membre en fractions simples, on obtiendra les yaleura de «*, y', «*. On trouve ainsi :

rail ) ^ - (»-p)(»-p,)(i-p.)

■ (' - p) (" — p.) (g — Pt'

Si l'on posait, pour abréger,

lea valeurs de c, y, s pourraient a'écrire :

Proposons-nous maintenant de trouver l'expression de la distance de deux points infiniment voisins dans le système des coordonnées Despetrous. — Mécanique. II. 38

elliptiiiaes. Les formulée (21) nous donnent :

2(p-c) '^^ 2(p,-e) *■' 2{p,-<:) On en déduit par un calcul facils :

i.- =i.' + i,' + i.' = ; ^-E^iû^jpiiL' ip.

' (P — Pi) (f — f fil)

. \ (p. — p) (f ■ — p.) j . . 1 (p. — p) (pi — Pt)

4 Ap.) '■ î fW

ou encore :

La forme seule de cette expression montre immédiatement que les surfaces faomofocales sa coupent à angle droit. Les trois termes qui la composent sont les carrés des projections de l'élément dt sur les normales aux trois surfaces (p), (p,), (p,) respectivement. Si donc on désigne, comme nous Tarons déjit fait, par t, S , i' les angles de l'élément ds avec ces trois normales, on aura :

(85) i/- »=• i' = iMdf' = (p.-p)(p.-p.) ''pi , l «pj '' (p.-«)(p.-<)(p,-«)

Avant d'indiquer quelques applications ds ces formules, examinons comment on déterminera la direction de la normale à une surface définie par une équation en coordonnées elliptiques.

Soit :

l'équation de cette surface en coordonnées cartésiennes; elle prendra

NOTE xxir. 595

la forme :

(26) /•(;., y, «) = e(p,p„pO.

si l'an introduit les coordonnées elliptiques. On surs en la différentiant :

<)6 . à» . àe .

OU, en se servant des formulés (25) ;

j/M^o.si-|«^/ZM eos,-^l/44=!

Dans cette relation, i, >', i' se rapportent k une tangente quelconque (le la sur&ce proposée. D'autre part cette équation exprime que la tangente est toujours perpendiculaire à la direction définie par lea fonnules :

ces^

•si'

^e./rfp) £i|//(pil àe./f{p,)

àp V f'(p) àp,y ç'(p.) (Jp.V ç'(p,)

Doncy,>',i' sont les angles que fait la normale a la surface (6) avec les normales aux trois surfaces liomofocales (p), (p,), (p,). Si l'on pose, pour abréger,

\dp; y'(p) \deJ ?'(p,) Vp,/ ?'(p,)

on aura : •

Vie

iii/ZS2