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;Wt COURS DE MÉCANIQUE.

OU, en désignant par x et y les coordonnées de M :

|/u — c)* H-- y* 1/(0? 4- c)' + if

on auia donc à considérer Téquation aux dérivées partielles snivante :

\ d xj \ dy ) ( K(.r - cr)* -h if V(x + c)' 4- y' ^

Il suflira de trouver une solution contenant les deux constantes C et II, et en désignant par c et h deux nouvelles constantes, le mouvement sera doni>é parles deux intégrales :

qui fourniront x et y en fonction des quatre constiintes C, c, II, h et du temps /.

Pour trouver une telle solution de l'équation (1), il convient de faire un changement de variables; on sait que, par un point quelconque M(j;, ?/), on peut faire passer une ellipse et une liy])erbole ayant pour foyers les deux points C et C Soient 2a et 2;j. les longueurs des axes transvei'ses de ces deux courbes ; on aura :

1 ri" I- :v i = 1; 1^' > f"

(4) \ , , t}> à > lA*.

On tire de ces équations :

Nous inlroduii'ons, au li(Mi des cooi^lonnées x et y, les

variables X et ix, que Ton nomme les coorcloimées elliptiques du point M.

Il faut voir ce que devient l'équation (2), quand on y introduit a et ;x; on déduit aisément de Ç)) :

r/X c dx ç j/*^î ^.t dy

</H __ X ^ IX l^X' — c' dji d\x ~~ c- f/j? ^. i/^îTZTjj,.» ^'y '

et, en résolvant ces deux écpiations par rapport ^ 7~ ^t ^ :

' dy "^ dK d[L

d'où on tire, après réductions :

On trouve ensuite, en ayant é^^ai'd à (5) :

^ {X - cO' + y' = (X - ;x)«,

rt a'

A — JJL A -h ;;.

Kn tenant compte de (0) et (7), l'équation (2) devient :

= 2 j fl (X + ji.) -f- fl' (X - ;x) 4- C (X' — ix') |.

Nous chercherons une sohition de cette équation, de la forme :

Ij étant une fonction de X seul, M ne déi)endant «pie de ;/.;

yîX) COURS DE MÉCAMgL'K.

eu substituant dans (S), il viendra :

H-2;x(rt — a') — 2C:i,».

Les deux membres de cette écjuation doivent être égaux quels que soient /. et ;x, considérées comme variables irnUipendanles; le premier meml)r(! ne dépend que de X, le second (pie de ;x; donc, ces deux membres sont égaux ii une constante H. Nous aurons donc :

(X« c'-) (jf\- ^'« (« -f- «') - ^<^>>' = H,

(c d'où :

[c* - ;x') (^—Y- iv^ («-«') + «Cix» = - H;

On a donc :

-i-2X(rt -H a') -h 2Ca' ,.

■fv-

^ -H.iM»-,')-iC,.

Cette fonction H contient deux constantes arbitraires C et H, elle vérilie identiquement Téqualion (8); elle vérifierait réquation (2), si Ton y remplaçait a et ;x par leurs valeurs en X e{y\ c'est donc bien la solution chei'cbée; les intégrales du mouvejnent seront, en vertu des éipiations (3) :

-' yv—r V\\ 1 t'f. {(i + a') 4- i. C'a'

c» KH -H 2X (rt -+- a') + 2GX*

Kc^^^* |/^^H'^"2|* (rt — rt') — 2C|*'

Ces équations feront connaître X et ^ en fonction de t, et des quatre constantes C, c, H et /t; la dernière peut s'écrire :

J>. Kx» c' KH + 2X (a + a')