SUR UN PROBLÈME ANALOGUE AU PRÉCÈDENT

Les intégrales du problème précédent ont été données pour la première fois par Lagrange, dans la première édition de la Mécanique Analytique qui a paru en 1788. II est intéressant de remarquer que la méthode de Lagrange s'applique, avec de très légères modifications, dans le cas beaucoup plus étendu oîi le solide de révolution, que l'on suppose toujours fixé par un point de son axe, est soumis à l'action d^une ou de plusieurs forces extérieures dont le potentiel dépend uniquement de l'angle que fait l'axe du corps avec une droite fixe. C'est ce qui aurait lieu, en particulier, si le corps était soumis à l'action d'un autre solide de révolution dont l'axe viendrait passer par le point fixe.

Pour le montrer, rapportons le corps à un système d'axes OiP, Oy, 0 ^ mobiles avec lui et dirigés de telle manière que l'axe des ^ coïncide avec l'axe du corps. Étudions le mouvement de ces axes mobiles par rapport à un système d'axes fixes OX, OY, OZ; OZ étant la droite fixe dont il a été question plus haut. Le potentiel des actions extérieures sera donc une fonction f{u) de u, u désignant le cosinus de l'angle 0 que fait O^r avec OZ. Ce potentiel dépendant exclusivement de w, la résultante des actions extérieures sur le corps rencontrera nécessairement OZ et G j. Par conséquent les deux premières intégrales de Lagrange subsisteront sans modification et Ton aura encore, en employant les trois angles d'Eulcr, et conservant les notations de la Note précédente :

d^ ^2Bu'-2L

^^^ ' -'^ 2B« — L ^^ 2B — 2Lî*

= M 4- «. - - - - - = Il — 2B 4-

\ dt

1 — tt- I — ?*'

Despeyrous. — Mécanique, II. î^

Quant à Téquation des forces vives, elle prendra la forme :

Et si Ton remplace p et q par leurs expressions en fonction des angles d'Euler, on aura :

(^) g = 2pj:«](i-«.)--i(B«-L)..

La solution du problème sera ainsi ramenée aux quadratures. , Comme application on pourra étudier le mouvement d'une sphère homogène ûxée par un point quelconque de sa masse et soumise à l'action d'un point qui l'attire suivant la loi de Newton.

Des propositions générales que nous avons fait connaître, une seule s'applique encore au cas actuel. Si Ton considère le corps dont la position à l'instant t est déterminée par les valeurs

des angles d'Euler, le mouvement de ce corps sera le même que si dans les formules primitives on supposait :

ce qui revient à admettre que Tellipsoïde central du point fixe est une sphère.

Le mouvement relatif à cette hypothèse jouira encore de la propriété de réciprocité que nous avons signalée : Lorsqu'on a déterminé le mouvement des axes mobiles par rapport aux axes fixes, le mouvement inverse des axes fixes par rapport aux axes mobiles sera un de ceux que le même corps pourrait prendre, si les circonstances initiales étaient changées.