B)(BH 4- DL
On reconnaît ainsi que les formules (22), (23), (24) conviennent à une herpolhodie; la vitesse aréolaire étant une fonction linéaire, et la vitesse totale une fonction du second degré, de p*.
Proposons-nous maintenant de définir la courbe décrite par l'extrémité de Taxe instantané dans Tespace. Les coordonnées de ce point sont;?', ç\ r', et Ton obtiendra par un calcul facile les expressions :
/ , dç rfô
' p' =z sin à sin G -— — cos à — > ^ ^ dt ^ dt
, , do d^
(25) <. q = cos (^sinO. -^ 4- sin tL — >
j dt dl
I , d'b ^ do
r' = 7- 4- cos e. -r»
dô dt
de ces composantes en fonction des angles d^Ëuler. On a d^abord :
\ p'^ 4- (?" -h r'« =p^ -hq' +r' = 2Du + 2H + n\ ^ ^ { r' =2L — (2B — 7t)«*-
Si l'on élimine «, on trouvera l'cquation d'une sphère ayant son centre sur la verticale, ce qui est conforme aux résultats déjà obtenus.
Pour définir complètement la courbe décrite par le pôle instantané, Dous considérerons sa projection sur le plan horizontal que nous rapporterons à des coordonnées polaires, avec le point fixe pour pôle, p' et (o' désignant ces coordonnées polaires, on aura évidemment :
I 0) z= arc tg — • \ P
Désignons par A et P les deux polynômes suivants :
^ A = 2Dî* + 2H 4- w« — [(2B — «) « — 2L]'; ' ^ * ^ ( P = (2B — «).tt« — 2L tt 4- n.
On aura :
et les deux premières formules (25) nous dQnoeront :
^ V . sin 0 ^:; P
(30) (o r= -— 6 — arc tg — - =z — 6 -f- arc tg -- •
^ ^ ^ ^ ^0 ' du
Jt Si l'on différentie cette formule en se servant de l'identité :
on trouvera :
rf(o' . P'A — PA'
P' et A' désignant les dérivées de P et de A par rapport à u,
La vitesse aréolaire p'* est ici une fonction du second degré de ».
dt
et par conséquent :
.-rv.N Q sin 6 <f'i;
(21) — arc tnr -= ? -H arc tg. — — — ^ .
La secon^le des équations (19) exprime que la courbe décrite dans le corps par rextrémité de la rotation est située dans un plan perpendiculaire à Taxe. La première équation (19) et Téquation (21) nous donnent le rayon vecteur p et Tangle polaire b) de cette courbe plane, en la supposant rapportée à des coordonnées polaires dont le pôle se trouve sur Taxe du corps. On a donc :
sin 0 d^
(22) p* = 2Dî« + 2H, (*) = — G — arc tg.
et, en différentiant cette dernière équation après avoir remplacé d^h et d^ par leurs valeurs :
(D» + H) ^ = (B — n) (Dtt -+- H) + BH + DL, ou encore :
(23) p« — = (B — n) p« + 2 (BH + DL).
Ces formules permettent de calculer la vitesse totale du pôle, qui est donnée par Téquation :
ds^
(24) -,- = D' (1 — tt«) + 2» (» — 2B) (Dm -h H) dl
— 4(n — 2B)(BH + DL).
On reconnaît ainsi que les formules (22), (23), (24) conviennent k une herpolhodic ; la vitesse aréolaire étant une fonction linéaire, et la vitesse totale une fonction du second degré, de p'.
Proposons-nous maintenant de définir la courbe décrite par l'extrémité de Taxe instantané dans Pespace. Les coordonnées de ce point sontp', g\ r\ et Ton obtiendra par un calcul facile les expressions :
/ do rfO
I »' = siu 6 sin 0 - - — cos d/ — > i '^ dt ^ dt
\ do d^
(25) = ^' = cos '^sinO. -^ -i- sin '^ — »
1 Qfv du
I , dà ^ do
r' = ^ -i- cos 0. -^»
dû dt
NOTE XIX. 5 il
de ces composantes en fonction des angles d^Ëuler. On a d'abord :
^ J»'* + q!^ 4- r'« =f ^-q^ + r* = 2Di* -H 2H + »», ^ ^ ( r' ==2L — (2B — 7t)»-
Si Ton élimine «, on trouvera Téquation d'une sphère ayant son centre sur la verticale, ce qui est conforme aux résultats déjà obtenus.
Pour définir complètement la courbe décrite par le pôle instantané, nous considérerons sa projection sur le plan horizontal que nous rapporterons à des coordonnées polaires, avec le point fixe pour pôle, p' et (o' désignant ces coordonnées polaires, on aura évidemment :
i u> = arc tg -; •
Désignons par A et P les deux polynômes suivants :
On aura :
et les deux premières formules (25) nous dqnneront :
sin (i do P
(30) 0)' = — d; — arc tg — - = — 6 -+- arc tg —
^ ^ ^ "^ d^ • ^ du
~dt Si Ton différentie cette formule en se servant de Tidentité :
on trouvera :
tf(o' . P'A — PA'
P' et A' désignant les dérivées de P et de A par rapport a «.
La vitesse aréolaire p'* — est ici une fonction du second degré de ».
dt
La courbe plane, projection de la route décrite 8ur la sphère par le pôle instantané, est donc, en général, une courbe transcendante de nature plus complexe qu^ane herpolhodie.
Si Ton cherche Parc de la courbe sphérique, on trouvera, comme il fallait s*j attendre, la valeur déjà donnée par la formule (24).
La courbe sphérique décrite par le pôle dans Tespace est ainsi
complètement définie.
Si Ton fait :
cette courbe se réduit à une herpolhodie, conformément aux résultats déjà établis ; et la vitesse du pôle instantané est alors donnée par la formule très simple
qu^on pourrait déduire immédiatement des théorèmes généraux de la mécanique (*).
Nous terminerons ce sujet en donnant une constniction directe et purement géométrique de la route décrite par le pôle instantané dans Pespace.
Considérons tous les mouvements pour lesquels les constantes B, D, H, L ont la même valeur. Si les corps correspondants ont au début le même axe de rotation, il résulte des formules (17) que cet axe leur demeurera commun dans tout le mouvement ; et le mouvement de chacun d^eux par rapport à Tun quelconque des autres se réduira à une rotation constante autour de Taxe. Étudions les courbes décrites
(') En effet Irs trois équations des moments dos quantités de mouvement peuvent être énoncées géométriquement do la manière suivante :
Si Ion construit d un instant quelconque le couple des quantités de moutetnent trantforfées en un point, la titesse de r extrémité de Taxe de ce couple est égale d chaque instant en grandeur, direction et sens^ d l'axe du couple résultant de tous les couples qui naissent de la translation des forces au même point.
Eu appliquant ici ce Ihéorômo au point fixe et remarquant que l'axe du couple résultant de la translation du poids a pour grandeur:
AO sin 0, on a:
A ^- = AD sin 6.
Ce qui est l'équation même du texte.
dans Tespace par les pôles instantanés des rotations relatives à ces différents mouvements. Il faudra, pour cela, faire varier n dans les formules (25).
Soient j?'„ g\, r[ les\aleurs dep', ç' , r' relatives à l'hypothèse
Dans ce cas la courbe décrite par le pôle est, nous le savons, une herpolhodie (H) qui, d'après les formules (26), sera située dans le plan
* Comme elle demeure en contact avec une, autre herpolhodie dont le
plan est perpendiculaire à Taxe de révolution, sa tangente sera nécessairement perpendiculaire à cet axe.
Prenons maintenant une valeur quelconque de n. Les formules (25) nous donnent : *
ip' =p\ -}-(»-- 2B) sin '^ sin G, q' = gl -h {n — 2B) cos tS^ sin 6, r' = r[ -t- (» — 2B) cos 0.
Nous savons que, pour chaque valeur de n, cette courbe se trouve sur la sphère définie pur les formules (26) et dont Téquation est, en remplaçant y, g' , r' par X, Y, Z,
D'autre part les relations (34) nous montrent, ce qui est évident par la géométrie, qu'à un instant quelconque, tous les pô!es correspondants à des valeurs différentes de n se trouvent placés, à des distances invariables les uns des autres, sur une même droite qui est parallèle à l'axe commun de révolution et, par conséquent, normale à rherpolhodie (H). Or le mouvement de cette droite est défini par la condition que deux de ses points décrivent les sphères correspondantes, qu'un autre point demeure dans le plan de Therpolhodie (H) ; et enfin qu'elle soit normale à la trajectoire de l'un quelconque de ses points, par exemple'de celui qui décrit un plan. On s'assure aisément qu'il n'y a entre les deux sphères, le plan et les segments de la droite
d*autre relation que la suivante : Le plan est perpendiculaire k la ligne des centres des deux sphères. De la cette curieuse proposition qui se ramène d^ailleurs aisément à celles qui ont été démontrées à la fin de la Note précédente :
Si trois points d*une droite invariable sont assujettis, les deux premiers à demeurer sur deux sphères différentes, le troisième à rester dans un plan perpendiculaire à la ligne des centres des deux sphères; si de plus la droite se déplace de manière d demeurer tangente à la trajectoire d'un de ses points, ce qui définit complètement son mouvement à partir d'une position donnée, le point de la droite assujetti à rester dans un plan décrira une herpolhodie ; tous les autres décriront des courbes sphériques, gui seront les routes du pôle dans l'espace, pour le mouvement d'un corps pesant de révolution.
Telle est la définition directe et géométrique, que nous vpulions obtenir, de la route décrite par le pôle dans le problème qui nous occupe, aussi bien que de Plierpolbodie de Poinsot. Nous signalerons en terminant 'e théorème suivant de cinématique qui se ra'tache directement k la proposition précédente et dont la démonstration n'off*re aucune difficulté :
Si trois points dune droite invariable sont assujettis à demeurer sur trois sphères dont les centres soat en ligne droite, tous les autres points de la droite décrivent des sphères; et, en écartant un cas exceptionnel où la droite fait un angle constant avec la ligne des centres, il y a toujours un point de la droite qui décrit un plan.
Rémarquons que cette proposition donne le mojen de décrire un plan k Taide d'un système articulé comprenant quatre tiges seulement.
