I. — Des percussions
Considérons un point matériel de masse 9», soumis à l'action de différentes forces. Soient Xy y, z les coordonnées de ce point à l'instant /, ^jc> ^fi ^4 les composantes de la vitesse au même instant, X„ Y,, Zj celles de l'une quelconque des forces qui agissent sur le point. On aura les équations :
ddj.
dv^
et, par conséquent, si l'on désigne par Vox» t^ui/, t^os les composantes
de la vitesse du mobile à Tinstant 0, on aura :
m D^ — m Vç^
= / X,dt-h ... + f X^dt, (2) mv„—mvç,,= ( Y^di-h ... + / Y^dt,
j Jo Jo
Ces équations peuvent s^interpréter de la manière suivante. Appelons, avec différents auteurs, impulsion de la force (X, T, Z) la quantité géométrique dont les composantes sont :
fXdt, lYdt, fzdt;
Jo Jo Jo
les équations (2) donneront lieu au théorème suivant :
L'accroissement géométrique de la quantité de mouvement du point matériel dans un intervalle de temps fini quelconque est égal à la somme géométrique des impulsions des forces qui agissent sur ce point pendant VintervalU de temps considéré.
Il résulte de ce théorème que si des forces agissent sur un point matériel, et si Ton connaît seulement leurs impulsions dans un intervalle de temps donné, on pourra déterminer Taccroissement géométrique de la quantité de mouvement du point sur lequel elles agissent, et par conséquent, si Ton connaît la masse et la vitesse initiale du point, on obtiendra en grandeur et en direction la vitesse finale. Mais il importe de remarquer que Von n'aura aucune notion sur la position de ce mobile à Vinstant final.
Imaginons maintenant que Pintervalle de temps pendant lequel les forces agissent devienne de plus en plus petit, mais que les impulsions de quelques-unes des forces conservent une valeur finie, ce qui exige que ces forces deviennent de plus en plus grandes : le changement de vitesse se produira dans un intervalle de temps de plus en plus court, mais il sera toujours fini. D'ailleurs, si Ton suppose que les impulsions des forces relatives à tout intervalle de temps compris dans celui que nous considérons demeurent inférieures à des grandeurs fixes^ les changements de vitesse du point matériel demeureront finis et le déplacement du point matériel deviendra de plus en plus petit quand Uintervalle de temps diminuera.
En effet, réduisons toutes les forces à une seule dont les composantes à rinstant 0 soient X9, Y^, Z9, et considérons la projection du mouvement sur Taxe des x par exemple. On a :
j? — iTç — »or^ = / ^Q / X^ ^0.
Nous supposons que Timpulsion 1 X^e^O demeure, quel que soit 0, inférieure à un nombre ûxe M. On aura donc, en valeur absolue :
X — Xq — VQ^.t < / M rfô
ou
a? — ^0 — ^ar^< M^,
et, par conséquent, x — x^ diminuera quand l'intervalle de temps deviendra de plus en plus court (^).
(1) NousiatroduisooSf od le voit, une condition qui, d'habitude, n'est pas énoncée explicitement : c'est que l'impulsion de la force dans udo partie quelconque de l'intervalle de temps considéré demeure inférieure à une grandeur fixe quand l'intervalle de temps diminue. Cette condition est toujours satisfaite dans les applications, car on n'y considère que des percussions dont la direction no varie pas sonsiblemont dans toute la durée de l'intervalle pondant lequel oile:$ agissent. Par exemple, dans le choc de deux corps, la force qui s'exerce au point de contact sur )'un des corps no peut agir que dans un sens déterminé, do manière à écarter les deux corps. Alors Tinté-
grale I Xq d^ conserve son signe et no cesse de croître ; elle demeure donc inférieure
à sa valeur finale, qui, par hypothèse, est finie.
Mais, si Ton se plare à un point de vue exclusivement théorique, il est aisé de trouver des forces qui, dans un temps très court, imprimeront des changements finis ou même nais de vitesse, tout en déplaçant le mobile d'une quantité finie. Considérons, par exemple, un point qui se meut en ligne droite et qui est soumis à l'action de la force dont l'expression à l'instant 0 est :
A0 = -rpf- Sin Tj, cos -m t
0 et T étant des constantes. On aura :
et par suite, si l'on appelle ti la vitesse initiale,
0? — a?„ — f?,6 = >p — g— sm -^r--
On se rapproche donc de plus en plus d^un état limite dans lequel le mobile, sans changer de position, éprouverait une modification brusque de sa vitesse. C'est cet état limite que Ton étudie dans la théorie des percussions, et il résulte immédiatement de ce qui précède que, pour déterminer le changement de vitesse du mobile, il suffit de connaître les impulsions des différentes forces auxquelles il est soumis. Ce sont ces impulsions auxquelles on donne le nom de percussions. Il est clair que les percussions provenant de forces finies, telles que la pesanteur, peuvent être considérées comme nulles.
Je ne m'arrêterai pas à discuter une objection que Ton adresse quelquefois à la théorie des percussions. Quelques auteurs, en s'appuyant sur ce qu*il n^existe pas de force rigoureusement instantanée,. préfèrent ne pas employer la notion des percussions et les théories qui déterminent leurs effets. Il n'existe pas de point géométrique ni de ligne droite dans la nature, et cependant nous trouvons utilité et intérêt à étudier ces abstractions. Il y a sans doute, quand on passe aux applications, à examiner les erreurs que l'on peut commettre en appliquant les théorèmes de la Science pure, mais cette question ne nous paraît «pas devoir être mêlée au développement de la Science elle-même.
On sait comment se mesurent et se représentent les percussions. Au fond, ce sont des quantités de mouvement, qu'il suffît de composer avec celles des points sur lesquels elles agissent. Je rappellerai rapidement
On a donc, pour 6 = T,
Si l'on suppose que lo temps T devienne de plus en plus pelil, e doroourant constant, on aura une force très (grande agissant ])endant un temps tr6s court, ne prûduisant aucun changement de vitesse et déplaçant le point d'une quantité quelconque c.
Mais il est facile du reconnaître que la condition énoncée dans le texte no so trouve plus remplie, puisque l'impulsion partielle
I Xq aO = Y 8in* .p
T ne demeure pas finie, pour 6 = -s P'ir exemple, quand T tend vers zéro. D'ailleurs, il
est aisé de reconnaître que la force change do sens au milieu de son action.
C'est une force do ce genre qu'une locomotive doit déployer pour exécuter une do ces opérations qui sont si fréquentes dans les gares et amener rapidement uu ou plusieurs wagons, sans vitesse, d'une position dans une autre.
les règles relatives à leur effet sur le corps solide et je présenterai en même temps quelques remarques nouvelles sur lei^ application.
Si le corps solide a un axe fixe, le produit du moment dMnertie relatif à cet axe par l'accroissement de la vitesse de rotation est égal à la somme des moments des percussions par rapport à cet axe.
Si le corps a un point fixe, désignons par p, q, r les composantes de la rotation suivant les trois axes principaux de ce point, et par A^ B, C les moments d'inertie relatifs à ces trois axes; les vitesses prendront des accroissements Ap, A^, Ar définis par les formules :
OÙ L, M, N désignent les sommes des moments des percussions par rapport aux trois axes.
Les formules précédentes peuvent être remplacées par une construction géométrique très élégante dont Poinsot a souvent fait usage. Soit 0 le point fixe. Supposons qu'on y transporte les quantités de mouvement de tous les points du système et que Ton compose les couples qui naissent de ces translations : le couple résultant sera le covkple des quantités de mouvement transportées en 0. Il est lié, comme on sait, d'une manière très simple à la rotation. 1° L'axe de rotation est le diamètre conjugué du plan de ce couple par rapport à l'ellipsoïde central du point 0, et il est du même côté de ce plan que l'axe du couple. 2^ Si G désigne le moment du couple, l la longueur du demidiamètre intercepté dans l'ellipsoïde par Taxe de rotation, et B la distance du centre au plan tangent à l'ellipsoïde à l'extrémité de l'axe de rotation, la vitesse angulaire de rotation a pour valeur :
On voit donc que, si l'on connaît le couple des quantités de mouvement, on aura immédiatement le mouvement du corps solide.
Or, les formules précédentes peuvent se traduire comme il suit. Transportons toutes les percussions au point fixe et composons tous les couples qui naissent de cette translation : on obtiendra un couple résultant. H suffira de composer ce couple avec ce'ui des quantités de
mouvement antérieurement acquises pour avoir le nouveau couple des quantités de mollement.
Dans le cas où le corps solide est entièrement libre, désignons par m la masse du corps, par V^, Vy, Y^ les composantes de la vitesse du centre de gravité, par X, Y, Z celles de la résultante générale des percussions transportées au centre de gravité. On aura :
(4) mAV,= Y,
( wAV,zz= Z,
et ces équations s^inter^rëtent comme il suit : La nouvelle vitesse du centre de gravité sera la même que si la masse entière y était concentrée et toutes les percussions transportées parallèlement à elles-mêmes.
Quant au changement que subit la rotation autour du centre de gravité, on le déterminera en considérant ce centre comme un point fixe et en appliquant, soit les formules (3), soit la construction géométrique de Poinsot qui leur est équivalente.
La forme linéaire de toutes ces équations nous montre tout de suite : 1° que Ton obtiendra la nouvelle vitesse d'un point quelconque en composant la vitesse antérieure avec celle que détermineraient les percussions si elles agissaient sur le corps au repos; 2^ que Ton obtiendra le même résultat, soit en faisant agir simultanément les percussions, soit en les faisant agir successivement dans un intervalle de temps suffisamment court; 3° enfin que, si Ton multiplie les percussions par un nombre quelconque;?, les vitesses qu'elles déterminent sur le corps au repos sont toutes multipliées par p. Tous ces résultats s'étendent d'ailleurs, sans difficulté, au cas où le corps solide est soumis à des liaisons d'une nature quelconque, et les composantes de la vitesse que prend un point quelconque sont toujours des fonctions linéaires des composantes des percussions qui agissent sur le corps solide.
Nous remarquerons, en terminant, que les constructions géométriques données précédemment permettent de résoudre d'une manière simple certaines questions. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trouver les percussions qui, appliquées *k un corps solide libre, lui impriment au début une rotation. On reconnaîtra aisément que les lignes d'action de ces percussions doivent être perpendiculaires à leur
polaire par rapport à Tellipsoïde central du centre de gravité ; elles forment donc un complexe bien connu et qui a été étudié par divers géomètres.
Considérons, en effet, une percussion P appliquée à un corps solide. Elle imprimera au centre de gravité une vitesse de translation qui lui sera parallèle. Quant à la rotatfon autour du centre de gravité, nous avons vu qu^elle commence autour de la droite qui est le diamètre conjugué du plan passant par la percussion P et le centre de gravité. Pour que le mouvement initial soit une rotation, il faut que la translation imprimée au centre de gravité soit normale à l'axe de rotation ; c^est-à-dire que la ligne d^action de la percussion P soit une droite perpendiculaire au diamètre conjugué, par rapport à Pellipsoïde central du centre de gravité, du plan passant par cette droite et par le centre de gravité ; ou, ce qui est la même chose, il faut que cette ligne d^action soit une droite perpendiculaire à sa polaire par rapport à Tellipsoîde central du centre de gravité. «
IL — Des forces vives dans la théorie des percussions.
Reprenons les équations relatives à Teffet des percussions sur un point matériel :
{v^-v,,)=^£zdt.
Multiplions-les par v^ •+■ t^ox» ^y + t^oy, v, 4- Voz et ajoutons-les. Nous aurons, en désignant par Vq, v les vitesses initiale et finale,
Le second membre de cette formule a une signification géométrique très simple. Si la force (X, Y, Z) agissait, pendant toute la durée de
son action, sur un mobile animé de la vitesse constante dont les composantes sont :
son travail élémentaire serait :
et son travail total dans Pintervalle de 0 à ^ serait précisément Tintégrale qui figure dans le second membre de la formule (6). Nous avons donc la proposition suivante :
Thborkme I. — Quand des percussions agissent sur un point matériel^ la variation de force vive est égale à la somme des travaux que produiraient les forces d" ou proviennent ces percussions si, pendant toute la durée de leur action, le point matériel conservait une vitesse constante égale à la somme géomélrique de ses vitesses initiale et finale.
Multiplions maintenant les équations (5) par Vx^ v^, Vj. respectivement et ajoutons-les. Nous obtiendrons une équation que Ton mettra aisément sous la forme suivante :
( mvl — mv^ = m [{v^ — v^J)^ + (v„ — v^yY + {^z — O'J
^"^^ I -22 f\^^. + Ye^, + Zv,) dt.
Cette équation, interprétée comme la précédente, conduit à cette nouvelle proposition :
Théorème II. — La perte de force vive est égale à la force vive due à la vitesse perdue moins le double de la somme des travaux que produiraient les forces si le point matériel conservait^ pendant toute la durée de leur action, une vitesse constante et égale à la vitesse finale.
Enfin, si Ton employait comme multiplicateurs ^or, t?oyi »©«, on aurait de même Téquation :
qui s^interprète comme il suit :
Théorèmb III. — Le gain de force vive est égal à la force vive due à la vitesse gagnée (ou perdue), augmentée du double des travaux que produiraient les forces si, pendant toute la durée de leur action, le point matériel conservait une vitesse constante et égale à la vitesse initiale.
Il est aisé de reconnaître que cette dernière proposition est un simple corollaire des deux précédentes, mais il peut y avoir <][uelque intérêt à en faire usage.
Considérons maintenant un système composé d^un nombre quelconque de points matériels. Écrivons les équations analogues à réquation (6) pour chacun des points et ajoutons toutes ces équations. Nous aurons :
Swo' — Zmvl
= 22 io ^^"^^ ^""^ ■*" ""^^^ ^^^^ ^""^ "^ ""^^^ "^ ^"^^ ^""^ "^ ""^'^^^
les sommes «qui figurent dans le premier membre s^étendant à tous les points matériels, et celle qui fîgure dans le second à toutes les forces. Cette équation conduit au théorème suivant :
Théorème IV. — La variation de la force vive totale d'un système est égale à la somme des travaux que produiraient les percussions^ tant intérieures qu'extérieures, si chacun des points d'application de ces percussions conservait, pendant toute la durée de leur action, une vitesse constante égale à la somme géométrique de ses vitesses initiale etflnale.
De même, l'équation (7) nous conduira à la suivante :
Zmv^ - Zmvl = 2m [{v, - v)' + (^ - O' + (^ - O']
-2 22 f\^v, + ^vy + ^v:)dt,
ce qui donne le théorème suivant :
Théorème V. — La perte de force vive du système est égale à la force vive due aux vitesses perdues, diminuée du double de la somme des travaux que produiraient les percussions, tant intérieures qu'extérieures, si chacun de
leurs points d'application conservait, pendant toute la durée de leur action, une vitesse constante, ('gale à sa vitesse finale.
Toutes les propositions précédentes s^appliquent aux forces ag^issant pendant un temps quelconque. Mais, si le système matériel est un corps solide et si les forces agissent pendant un temps très court, c^est à dire sont de véritables percussions, il est aisé de démontrer que les termes correspondants aux percussions intérieures se détruisent deux à deux et disparaissent des équations (9) et (10). Soient, en effet, fff, m* deux points du corps solide entre lesquels s^exerce une force (X, Y, Z). Appelons v^^, v^, ... les vitesses du point m, et ^ôxi ^x9 ••• celles du point m'. Les termes qui proviennent de la force (X, Y, Z) dans les équations (9) et (10) sont composes des deux expressions :
i (r, - r; )Jxdt + {V, - r; )fYdt + (r, - v', )jzdt,
( (^x - v',:)jxdt + (v,, - v,,)JYdt H- {f>, - vi:)jzdt.
Les deux points m, m! étant maintenus, par hypothèse, à une distanco invariable, les vitesses initiale et finale satisfont aux conditions :
,,„. i («-^') (Px - fi ) + (y-y'X"» - »; ) + («-OC».- fi )=o,
x^ y y t, x\y\ z' désignant les coordonnées des deux points. D^aillours, la percussion étant dirigée suivant la droite qui joint les deux points, » on a :
Çxdt = \{x - a?'), CYdt = 'k{y — y'), \Zdt = \{z — z'),
et, par conséquent, les deux expressions (11) sont nulles, en vertu des formules (12). Ainsi les percussions intérieures disparaissent dans les formules (9) et (10).
La démonstration précédente n'est pas absolument irréprochable, parce qu'elle suppose que les distances des différents points soient
demeurées les mêmes pendant toute la durée des percussions. Il est aisé de reconnaître à priori que cette condition n^est pas nécessaire et qu'il suffît, pour que les théorèmes aient lieu, que les distances mutuelles des différents points redeviennent les mêmes après les percussions. En effet, dans ce cas, les théorèmes du mouvement du centre de gravité et des moments permettent de trouver le nouveau mouvement du corps solide, et par suite la variation de force vive. Or l'application de ces théorèmes est indépendante des déformations passagères qui peuvent se produire pendant Taction des percussions. On voit donc qu^il en sera de même de la variation de la force vive, et, par suite, les expressions que nous avons trouvées en supposant les distances invariables doivent subsister dans tous les cas, pourvu que les distances reprennent leurs valeurs initiales quand les percussions ont cessé leur action. Nous allons, du reste, en nous servant seulement des équations ordinaires, obtenir une vérification des propositions précédentes.
Pour cela reprenons les équations (3) et (4), que nous écrirons :
A {p -A) = 2 (y,Z, - ^, Y,) = L, B (^ — ^o) =2 {z,Xi — x,Z,) = M, C(r-ro) =2(^,Y,-y,X,)=N,
^ij Va ^i désignant les coordonnées du point d*application de la percussion (X^, Y^, Z,) par rapport aux trois axes principaux du centre de gravité.
En multipliant ces équations par V^ H- V^^, .,., p ■+■ p^, ... respectivement et en les ajoutant, on a :
wV« -f. A/7* 4- B^' -{- Cr* — m\l - kp] — Bg] — CrJ = X (V, + V,J + Y (V, + V J 4- Z (V, + V J -h L (/? + /?o) -*- M (|7 + ^o) + N (r H- r^).
Le premier membre représente la variation de force vive. D'autre part, si Ton appelle 9?^, ..., Tj^, ... les composantes des vitesses initiale et finale du point d'application (or^, y,, Zi) de la percussion
(X,, Y„ Z,), on a :
^% = Voy + ''o^.' — Po^i> ^ii, = Vy + r^i —P^iy 0?.. = '^oz -^PoVi — ^o^o »ûr = V, + pifi — qxi,
et Ton obtient, par un calcul facile :
vx, {y^ + t;?,) + Y, (!?,, + ©?,) 4- Z, (p^ + v%) = X (V, + V J + Y (V, + V J + Z (V, + V^ 4- (/? -t- /?o) L + (^ -*- ^o) M + (r + fp) N.
En comparant à Téquation (13), on a :
et cette équation ne diffère de Téquation (9) qu'en ce que les termes provenant des actions intérieures ont disparu. Nous avons donc la proposition suivante :
THéoRÈME VI. — Quand des percussions agissent sur un corps solide, la variation de force vive est égale à la somme des travaux qu'eUes prodmir raient si leurs points d'application conservaient, pendant toute la dur^ de leur action, une vitesse constante égale à la somme géométrique de leur vitesse initiale et de leur vitesse finale.
On vérifiera de la même manière Téquation suivante :
( A;?» 4- B^; -h CrJ + mW\ — Aj»« — B^* — Cr' — mV» (16) =k{p -p.y 4- B (^ - q,Y 4- C (r - r,y + m{Y — V,)«
qui ne diffère de Tcquation (10) qu'en ce que les termes provenant des percussions intérieures ont disparu et qui conduit au théorème suivant :
Théorème VII. — La perte de force vive éprouvée par le corps solide est égale à la force vive due aux vitesses perdues moins le double de la somme des travaux que produiraient les percussions si les points sur lesquels elles agissent conservaient, pendant toute la durée de leur action, une vitesse constante égale à leur vitesse finale.
Il est bon de remarquer que si le corps solide est soumis à des liaisons, sMl a, par exemple, des points fîxes, ou des points assujettis à demeurer sur une surface fixe, ou des surfaces assujetties à passer par des points fixes, etc., les termes provenant dans les équations précédentes des percussions de liaison seront tous nuls, pourvu que Ton néglige le frottement. Par exemple, sMl y a- un point fixe, la percussion que le corps reçoit de Tobstacle fixe, s^exerçant sur un point dont la vitesse est et demeure nulle, ne donnera de terme dans aucune des équations (14) ou (15).
D^apre:^ cela, si une seule percussion agit sur un corps solide au repos, la force vive imprimée au corps sera, en vertu du théorème VI et de Péquation (14), égale au produit de cette percussion par la projection, sur sa direction, de la vitesse que prend son point d'application. Il faut donc que cette projection soit positive et, par conséquent, que le point d'application cède sous l'action de la percussion qui lui est appliquée. C'est là un résultat conforme à notre expérience de tous les jours; mais le théorème précédent, qui le met en évidence, nous conduit, en outre, à la considération d*un élément nouveau qui se rapporte aux droites d'un corps solide et que nous allons définir.
Concevons une droite D et supposons qu'une percussion égale à l'unité ait cette droite pour ligne d'action. Soit A le point de D où elle est appliquée. Elle communique à ce point A une vitesse dont la projection sur la percussion et par co.nséquent sur la droite est
positive; nous désignerons cette projection par -> et il est clair
qu'elle demeurerait la même si l'on faisait glisser la percussion sur la droite D ; car on sait qu'alors le mouvement imprimé au corps demeure le même, et d'autre part, dans ce mouvement, les projections sur la droite des vitesses de tous les points de cette droite sont égales. Nous appellerons cette quantité p., essentiellement positive, le paramètre de la droite. Quand on l'aura déterminée, on saura que toute percussion égale àP et dirigée suivant la droite déterminera en son point d'application
une vitesse dont la projection sur la percussion sera positive et égale à - .
Cherchons quelle est la valeur du paramètre dans les cas principaux que l'on a à considérer.
r)00 COURS DE MÉCANIQUE.
P Supposons d'abord le corps libre, et soit une percussion agissant
suivant une droite XX' {flg, 277). Désignons par M la masse du corps.
La percussion P imprimera d'abord à tous les points une vitesse de
translation égale à — ; elle produira, en outre, une rotation autour du
diamètre GL, conjugué au plan G XX' dans Tellipsoïde central du centre de gravité G. Appelons p la distance GH du centre de gravité
à la droite XX'. Le mo- *^' ment G du couple qui résulte de la translation de la percussion en G sera Vpy et, par conséquent, la vitesse de rotation autour de GL sera donnée par la formule :
où l désigne la longueur du demi-diamètre GL de Tellipsoïde central autour duquel s^efPèctue la rotation, et B la distance GK du centre au plan tangent à Textrémité de ce diamètre. Nous pouvons d^ai Heurs décomposer cette rotation en deux autres, Tune co' dirigée suivant GK
et égale à w X - ou P^B*, l'autre w' dirigée dans le plan XX' et dont
nous n'avons pas besoin de connaître la valeur.
D'après cela, la vitesse d'un point quelconque de XX', par exemple du pied H de la perpendiculaire abaissée de G, se compose de trois
vitesses : P la vitesse de translation dont la projection sur la droite
P XX', prise dans le sens de la percussion, est — ; 2^ la vitesse due à
la rotation w', vitesse qui est dirigée suivant XX' et qui a pour valeur lù'p ou Pp*S*; 3° la vitesse due à la rotation w^ qui, étant normale à XX', donne une projection nulle. On voit donc que la projection sur lu direction de la percussion de la vitesse imprimée au point H, projection qui conserve la même valeur pour un point quelconque de XX', est :
On a donc dans ce cas, pour le paramètre, de la droite XX', Texpression très simple :
Le paramètre, généralement inférieur à la masse, lui devient égal quand la droite passe au centre de gravité.
' Si le corps a un point fixe, ]es raisonnements sont les mêmes; seulement il n^j a pas à tenir compte de la vitesse de translation, et Ton a :
le centre de gravité étant remplacé par le point fixe.
Enfin, si le corps a un axe fixe, soient XX' (Jlg, 978) la ligne
d^action de la percussion, 0 Tangle qu^elle fait avec Taxe a a', et d sa plus courte X' distance à Taxe. Désignons par co la vitesse angulaire imprimée et par MA' le moment dMnertie par rapport à aa' . On aura :
M;i«(o=Pisine.
La vitesse du pied B de la plus courte
Fie' 27Ô
distance sera
Pd*sine
Uk'
i et sa projection sur
P(^» sin» e
On aura donc ici :
l d^ sin* 0
Mi'
Nous nous bornerons à ces trois cas principaux. Pour les autres, nous nous contenterons de rappeler que le paramètre \k est essentielle* ment positif.
in. — Du CHOC DBS CORPS.
Le cboc des corps a été Tobjet de nombreuses recherches. Poisson, Despeyrous. — Mécanique. II. 36
dans le Tome II de sa Mécanique, commence par traiter le choc des corps mous et il obtient la solution complète du problème en ajoutant aux douze équations fournies par les principes du centre de gravité et des moments une équation nouvelle qui exprime qu'à la fin du choc les vitesses normales au point de contact des deux solides sont égales. Puis il passe de là au cas des corps élastiques, en remarquant que le choc peut alors se décomposer en deux parties séparées par Tinstant de la plus grande compression. Dans la première, le phénomène est le même que si les deux corps étaient dépourvus d^élasticité. Dans la seconde les corps reviennent à leur forme primitive, et il admet quMls reçoivent une percussion égale à celle qui s^est développée à leur contact pendant la première partie du choc. Il est aisé d^établir que la force vive totale reprend sa valeur à la fin du choc, ce qui fournit une espèce de vérification de Thypothèse de Poisson.
En 1838, dans le Résumé des Leçons données à V École des Ponts et Chaussées, Navier a remarqué que, si l'on fait abstraction des vibrations communiquées par le choc aux molécules des deux corps, la force vive totale doit reprendre la même valeur. Cette remarque lui a permis d^obtenir la percussion totale qui se produit au contact des corps, et par conséquent de donner la solution complète de la question.
En 18*74, M. Resal a adopté la marche proposée par Navier, dans une Note importante qui figure aux Comptes rendus des séatices de V Académie des Sciences (t. LXXVIII).
Toutes ces différentes solutions sont analytiques; elles reposent sur la considération de treize équations du premier degré et ne laissent pas voir la signification géométrique très simple des résultats. Je me suis proposé, en 181(4, de donner une solution purement géométrique de cette question, et je vais indiquer ici les résultats que j*ai obtenus.
Soient (M), (M') deux corps solides se choquant en un point A. L'effet du choc peut se représenter par deux percussions égales et contraires, dirigées suivant la normale en A aux deux surfaces en
contact, l'une jNfi?^ appliquée au corps (M), l'autre — jNtf/ appliquée
au corps (M'). Soient w^, w les composantes suivant la normale au point de choc de la vitesse initiale et de la vitesse finale du point de (M) qui se trouve en A, et soient w'oj w' les mêmes quantités relatives au corps (M').
Si nous appliquons successivement le théorèijie YI aux deux corps (M), (M'), nous aurons :
I 2m' {mv^ — mvl)= — {w' + TPo) I Nrf/,
2m9 2m' désignant les forces vives des corps (M), (M') respectivement. Il est à remarquer que ces équations, qui ont évidemment lieu pour des corps libres, sont encore vraies si les corps ont des points fixes ou sont assujettis à d^autres liaisons, car nous avons vu que les percussions de liaison ne peuvent introduire aucun terme dans les. seconds membres des équations générales (14) et (15), et les formules (i"?) ne sont que Inapplication particulière de Téquation (14).
En ajoutant les deux équations précédentes, on aura, pour la variation totale de la force vive, la formule :
(18) Zmv^ ■— Zmvl = (w — w' -}- w^ — wi)l^dt,
qui va nous donner la solution complète de la question.
Supposons d^abord que les corps soient parfaitement élastiques et que la perte de force vive doive être nulle; il faudra que Ton ait :
Donc, Teffet du choc dans le cas des corps parfaitement élastiques est de changer de signe la composante normale de la vitesse relative des deux points de choc sans changer la grandeur de cette composante. Tel est le résultat très simple auquel conduit immédiatement notre théorie.
Cela posé, décomposons le choc en deux parties par la condition
que les intégrales x'^dt relatives à ces deux parties soient égales.
Les percussions imprimées aux corps solides, dans les deux parties du choc ainsi divisé, ont par hypothèse même grandeur, et elles agissent suivant la même droite. Donc, diaprés les règles connues de Teffet des percussions, les vitesses gagnées par les points de Tun quelconque des solides sont les mêmes en grandeur et en direction pour ces deux
parties du choc. Cetta remarque permet de déterminer les composantes normales des vitesses des points des deux corps placés en A, à la un de la première partie du choc ; car soit u la composante normale de la vitesse du point de choc de (M), on devra avoir :
Wq — u = u — w,
équation qui exprime que la composante normale de la vitesse varie de la même quantité dans les deux parties du choc. Donc :
Si u' désigne la quantité analogue à u pour le corps (M'), on aura de même :
Si l'on tient compte de Téquation (19), on aura :
Ainsi, quand l'intégrale J N^^ a acquis la moitié de sa valeur
définitive, les vitesses normales des deux points de choc sont égales. Si le choc cessait à cet instant, on serait dans le cas des corps mous. Donc, si^ dans le cas des corps parfaitement élastiques, on sépare le choc en deux parties par Vinstant où les vitesses normales des deux points de choc sont égales, les percussions relatives à ces deux parties du choc sont égales. En d*autres termes, la percussion dans le cas des corps élastiques est double de celle qui se produit quand les corps sont mous. C'est le point que Ton admettait dans la théorie de Poisson.
Dans le cas des corps mous, le théorème YII trouve son application immédiate; les points en contact ayant la même vitesse normale dans les deux corps après le choc, les travaux des deux percussions, tels quMls doivent être évalués dans cette proposition, sont égaux et de signes contraires. On voit donc que, dans ce cas, la force vive perdue est égale à la force vive due aux vitesses perdues. C'est le théorème bien connu de Carnot, théorème qui n'a d'ailleurs d'autre avantage
que de montrer quMl y a perte de force vive, sans apprendre à en mesurer la grandeur.
Pour étudier le choc d^une manière plus complète et comprendre tous les cas, nous allons chercher les formules qui relient les vitesses Wy w' y à un instant quelconque du choc, à la percussion qui s'est produite jusqu'à cet instant, et, en faisant ensuite les hypothèses particulières, nous retrouverons tous les cas.
Désignons par [jl, \)J les paramètres de la normale au point de choc
par rapport aux corps (M), (M') respectivement. La percussion i^di appliquée au corps (M) donnera au point de choc la vitesse normale :
résultante de la vitesse initiale w^ et de celle qu'imprimerait la
percussion au corps partant du repos. De même la percussion — l ^dô
appliquée au corps (M') donnera au point de choc de ce corps la vitesse normale :
' z= n?i — i Ç^dt.
Les équations précédentes nous conduisent aux deux suivantes :
(22) [kw + [k'to' = \LWç^ + [x' tPo
et
Introduisons les vitesses relatives :
W = w — n>', W^ = Wç — wi.
L'équation précédente s'écrira :
Si nous substituons la valeur dejNef/ dans la formule (18), nous
aurons :
(24) Imv^ — Zmvl = -^ p •
Quant à la variation de force vive pour chaque corps, elle sera donnée par les formules (17), qui deviennent :
ÏM'Mo* — cî)=-(fp'4-wJo)
Ces formules ne difèretil en rien de celles gui seraient relatives au choc de deux sphères de masses {jl, [x^ Il est donc inutile de les discuter en détail. On obtiendra le choc des corps mous en faisant W = 0 et celui des corps élastiques en posant W = — W^.
Cela nous conduit à dire un mpt d*une hypothèse bien connue de Newton, relative aux corps imparfaitement élastiques. Newton admet que pour ces corps le choc sera terminé quand on aura :
W = ~ tfWo,
e étant une fraction positive qui dépend de la nature des deux corps. On voit que cette hypothèse comprend comme cas extrêmes celles qui répondent au choc des corps mous {e = 0) et au choc des corps parfaiteiBent élastiques {e = 1). Il est aisé de reconnaître quelle sera la perte de force vive. Si nous nous reportons à la formule (24), nous trouvons pour l'expression de cette perte :
On peut donc caractériser Tliypothcse de Newton en disant quV//^ conduit à une perte de force vive qui est une fraction déterminée, (I — e^)^ et toujours la même, de celle qui se produit dans le choc des corps mous.
