IV. — Du CHOC, EN TENANT COMPTE DU FROTTEMENT
Jusqu'ici j*ai négligé rinfiuence du frottement qui se produit au contact. Les expériences du général Morin paraissent établir que, même dans ce cas, le frottement suit les lois ordinaires. Toutefois, dans la théorie des machines, on n'a eu à s'occuper que de problèmes relativement simples, pour lesquels il est facile de reconnaître à priori que la vitesse relative au point de contact des deux corps a une composante tangentielle dont la direction demeure constante pendant toute la durée du choc. Il n'y a donc alors qu'à introduire, en môme temps que les percussions normales appliquées aux deux corps, des percussions tangentielles égales à la valeur commune des percussions normales multipliée par le coefficient de frottement, et ayant une direction invariable pendant le choc, celle de la composante tangentielle de la vitesse relative au point de contact. Je citerai un travail de Poisson, Sur le frottement des corps qui tournent (Bulletin de Férussac, t. VI, p. 163) et les recherches de Coriolis sur le choc des sphères dans sa Théorie mathématique des effets du jeu de billard.
Si Ton se propose de traiter le problème général, la question devient beaucoup plus compliquée. On sait que, dans le cas ou il n'y a pas frottement, la vitesse relative au point de contact passe progressivement, pendant la courte durée du choc, d'une valeur à une autre, tout
à fait différente en grandeur et en direction; il en est de même quand il y a frottement, et si l'on veut tenir compte rigoureusement des effets de cette force, il faudra, à chaque nouvel instant du choc, donner au frottement Une direction nouvelle en sens inverse de la vitesse relative à cet instant. Cette direction de la vitesse relative dépend, d'ailleurs, du frottement <3ui s'est produit aux époques antérieures du choc; on peut donc prévoir qu'il y aura une équation différentielle donnant la loi du phénomène et dont l'intégration constituera la principale difficulté du problème; et l'on reconnaît aussi que si l'on voulait, malgré le changement de la vitesse tangentielle relative au point de contact, conserver à ce frottement une direction constante, on pourrait commettre des erreurs du même ordre que les effets dont on veut tenir compte.
M. Phillips, dans un beau travail inséré au Journal de liouvilk (t. XIV, 1^« série, p. 312), a le premier abordé la question à ce point de vue et intégré Téquation différentielle qui se présente dans cette théorie. Depuis, dans une Note insérée aux Comptes rendus des séances de P Académie des Sciences (t. LXXVIII, p. 1645), j'ai obtenu les mêmes résultats par une méthode différente et a quelques égards plus simple. En étudiant de nouveau cette question pour présenter une étude complète de la théorie du choc, je me suis aperçu que, si les recherches que je viens de citer suppriment la principale difficulté de la question, elles ne donnent pas cependant la solution complète du problème ; car elles négligent ce fait capital que la vitesse relative tangentielle peut devenir nulle pendant la durée du choc. Nous avons repris l'étude de cette question dans le Bulletin des Sciences Mathématiques, en ayant égard aux circonstances qui avaient été négligées dans les recherches antérieures.
Prenons pour axe des z la normale commune aux deux corps au
point de contact, la partie positive de Taxe des z étant dirigée vers le
corps (M) . Les axes dos x et des y seront dans le plan de contact. Le
point de choc du corps (M) a, par rapport au point de choc du corps (M'),
une vitesse relative dont nous désignerons par w la composante normale
et par v la composante tangentielle. Si la vitesse v fait avec Taxe des x
Tangle 9, les trois composantes de la vitesse relative suivant Ox, Oy,
0^ seront :
V cos 9, V sin 9, w.
Désignons par N la force normale qui s'exerce a P instant t sur le corps (M). La force de frottement aura, suivant Ox, Oy, les deux composantes :
— /"N cos 9, — fN sin 9,
/'désignant le coefficient du frottement. Par suite, les trois composantes de la percussion reçue par le corps (M) depuis le commencement du choc seront :
— f I N cos 9 (f ^, — fi N pin 9 dt, j Ndt,
et le corps (M') aura reçu dans le même temps des percussions égales et contraires. Cela posé, d'après les lois de Peffet des percussions, les composantes de la vitesse relative des deux corps seront des fonctions
linéaires de ces percussions, et Ton aura :
rco8ç = p^,cos9ç— a/" i Ncosçt?^ — bf j '^sinodt-hc j^dt,
(25) ' vsin(^=VQsin^Q^--a' f I Ncos^rf^ — b' f j Nsin<prf/-|-c' I Ni^,
—«7/ ^cosodt—b'fj Nsin<p(ff + c'JN(f/,
Jo ' Jo J
fg, 9o, n^o désignant les valeurs initiales de o, ^, n^. Quanta a, ^, c, ..., ce sont des constantes que Ton détermine sans difficulté et qui dépendent de la forme et de la position relative des deux corps : a, 0', a' sont les composantes de la vitesse relative qui serait imprimée aux points en contact par deux percussions égales à Tunité dirigées suivant Taxe des X et appliquées Pune au corps (M), Tautre au corps (M'), la première ayant le sens de la partie positive de Taxe des x^ Tautro ayant le sens contraire; ft, b\ ô', c, c\ c" ont des définitions analogues relativement à des percussions dirigées suivant Oy et Oz. Il n'y a donc aucune relation entre ces neuf constantes, qui, dans le cas des corps libres, dépendent de vingt paramètres. Il est vrai que les équations précédentes ne supposent nullement les corps libres et qu'elles ont lieu d'une manière absolue, quelle que soit la nature des liaisons. Mais, dans la discussion, nous pourrons les supposer quelconques; il nous suffira seulement de montrer que, dans tous les cas, elles satisfont à des inégalités, dont nous aurons à tenir grand compte dans notre discussion. Nous allons d'abord indiquer quelles sont ces relations d'inégalité. Si deux corps (M), (M') sont en repos, et qu'en un de leurs points de contact on leur applique respectivement deux percussions P, — P égales et contraires, il est facile de montrer que la vitesse relative que prendra le point de contact de (M) par rapport au point de contact de (M') aura toujours une projection positive sur la percussion P appliquée au corps (M). En effet, nous savons que la percussion P imprime a son point d'application une vitesse dont la projection sur P
P est - > ;ji. étant le paramètre de la ligne d'action par rapport au corps (M) .
De même la percussion — P imprime au point du corps (M') ou elle
P est appliquée une vitesse dont la projection sur — P sera H — ;-♦
jj.' étant le paramètre de la ligne d'action par rapport au corps (M');
et par conséquent la projection de cette vitesse sur P sera • La
projection de la vitesse relative sur P, étant la différence des projections des deux vitesses absolues, sera :
et, par conséquent, sera toujours positive.
D'après cela, revenons aux deux corps (M), (M') supposés au repos, et appliquons à Torigine au corps (M) une percussion quelconque dont les composantes sont X, Y, Z, en appliquant au corps (M') la percussion égale et contraire. La vitesse relative qui sera imprimée par ces deux percussions sera définie par les formules :
v^=aX-h b Y -h cZ, v^^za'X-b b'Y -h c'Z, V, = a'X -+- b'Y -h c'Z,
cette vitesse étant toujours celle du point de (M) par rapport au point de (M'). La projection de cette vitesse sur la percussion appliquée au corps (M) devant être positive, nous devrons avoir :
Xv^ 4- Yv„ 4- Zv, > 0, et par conséquent :
aX* H- J'Y' 4- c'Z* 4- {c' -h b') YZ 4- (c4- O XZ 4- (ô 4- a') X Y > 0.
Ainsi, les constantes a, b* , c" doivent satisfaire à toutes les inégalités qui expriment que l'expression précédente est positive, quelles que soient X, Y, Z. Par exemple, on aura :
.ogx ( a > 0, ô' > 0, c' > 0,
^ ^ { (b + ay — 4«ô' < 0.
Nous aurons à faire usage de ces inégalités.
Après ces remarques préliminaires, reprenons les équations (25) et differentions-les. Si nous posons :
K =. c — afcos 9 — ô/'sin 9, A' = c' — a'fcos o — b'fsin 9, A'=:c' — aYcos 9> — yfsiïiOy
NOTE XXI. 57d
nous aurons :
.nmx ( cos ^ dv — V sin ç (f ç = AN dC^
( sin (^ dv -{- V ces ç cf^ = A' N (f ^,
ce qui donne :
dD A' sin 0 4- A cos 9
V A' cos ç — A sin o
vd^
doj
Nrf^z=
A' cos 9 — A sin o Posons, pour abréger,
H = A' sin 9 4- A cos ç, A = A' cos 9 — A sin 9.
Nous obtiendrons :
(28) v = vy'f'^ ,
et, V une fois connu, on déduira de Texpression de^dC:
j N dl =1 — r^j ccos9 = PqCOS9o4- I — —^y
r^r.^^ TxT . r?rco39(f5 . nMvdo
(29) I Ncos9i^= / -i — ^» csin9=^p^,sin9o-h / -y
jjo Jft, A ' Jtp, A
' TxT . nosino(fo * r?k'vdo
I Nsinç^/^l -^ — ^> ^e? = w?o 4-/ -*
Jo Jf. A Jy, A
Ces quadratures donnent la solution complète de la question; elles feront connaître les diverses circonstances du choc tant que la vitesse v ne deviendra pas nulle, auquel cas on ne connaîtrait plus la direction du frottement.
On peut interpréter géométriquement les formules précédentes. Construisons dans le plan tangent la courbe auxiliaire, lieu du point dont les coordonnées à Tinstant t sont :
X =z f I N cos 9 rf/, y = /" 1 N sin 9 de,
Jo Jo
On voit que le rayon vecteur de cette courbe représente en grandeur et en direction la percussion tangentielle. L^arc de la courbe, compté
à partir de l'origine, a pour valeur :
= ff^di,
et par conséquent il est égal à la percussion normale multipliée par le coefficient de frottement. Si Ton différentie d'ailleurs les formules qui donnent (c et y, on trouvera :
dy
- = tang ç.
La direction de la tangente h cette courbe auxiliaire est donc la même que celle de la vitesse relative tangentielle à l'instant l. On peut donc énoncer la proposition suivante :
// exisle une courbe située dans le plan de contact, passant au point de contact et donnant la loi du choc. Son rayon vecteur représente la percussion tangentielle due au frottement; sa tangente a la direction de la vitesse relative et son arc, compté à partir de Vorigine, est égal au produit du coefficient de frottement par la percussion normale reçue par chacun des corps depuis le commencement du choc.
Il résulte des formules (25) que cette courbe satisfait à réquation dififérentielle
dy Vq sin ^^ — a'x — b'y -+- c's
dx Vq JC09 <^Q — ax — by -i- es
et par conséqi^ent les recherches précédentes peuvent être considérées comme donnant l'intégrale de cette équation (^).
(<) Considérous d'une munièro générale l'équalion différentielle
r(y')-H/F(y')Xrf^
où y' désij^ne -j- et X une fonction de la seule variable a. Il est aisé de reconnaître
(lu'nllo comprend, comme cas parlicuiicr, celle qui a été considérée dans lo texte. Il sullli, ou clTel, pour retrouver cotte dernière éijuation, de prendre :
X = l, Hy') = y\
F (y') = - a- - ^'y' + .' v/^+y^ / (y') = ^ «n 9.. 4» (y ')=--— (i - ày' + e \/r-f7'a, ? (y') — ^ cos ç,.
Nous allons montrer qu'on peut intégrer très simplement Téquation (a). Pour cela.
Revenons aux formules (29) et voyons comment on déterminera la fin (lu choc. Dans le cas des corps mous, il n^y a pas de difficulté : le choc se terminera quand la vitesse relative normale w sera réduite à zéro. Mais il peut y avoir des corps élastiques dans lesquels le frottement n^est pas nul, par exemple deux billes d^ivoire dépoli. Dans ce cas, rien ne nous guidant, on peut revenir à Tancienne hypothèse et supposer que, lorsque les corps se détendent après s^étre
posons:
et par conséquent :
/(y')+/F{y')Xrf«=xe(y');
on aura, en dilTéren liant,
^ ««y' + F (y') Xrf-» = » (y') rfX + > ^ rfy-, et, si l'on élimine X âXt on trouvera :
Cette équation linéaire fera connaître X oQ fonction do y'. On déterminera ensuite w au moyen de la formule
où les variables sont séparées, et enûn y par la formule
dy = y' dœ.
L'inté<];ration de l'équation différentielle est ainsi ramonée à une série do quadratures. Si dans l'équation (a) on remplaçait Xda par d^(a^ y), on serait, par une méthode analogue, ramené à l'intégration de l'équation
L'équation (a) comprend comme cas particulier les suivantes :
am-\-by + ei-^¥(y') . ..
a'of + à'y + c'« + 4» (y') — " ^^ ' et
am^ + F(y') +e/wdy . ,.
Cette dernière équation, correspondante au cas où Ton prend X =â^, équivaut à une relation assez générale entre la tangente et l'aire d'un segment de la courbe cherchée.
comprimés, ils reçoivent une percussion normale égale à celle qui s^est développée dans la première partie du choc. Alors il suffira de calculer la percussion normale relative au cas du choc des corps mous et de prolonger le choc jusqu^à ce que la percussion normale ait pris une valeur double de celle que Ton a ainsi calculée. Pour plus de netteté, nous traiterons toujours, dans ce qui va suivre, le cas du choc des corps mous.
D*après les hypothèses faites sur le sens de Taxe des ^, la percussion) N^/ sera toujours positive et la valeur initiale ^^ de w sera
négative. Par suite, la première des formules (29) nous montre que 9,
do
partant de la valeur o^, devra varier de telle manière que -^ soit
positif; donc on connaîtra le sens de la variation de 9. Désignons par a la première racine de Péquation
que cp atteindrait en variant dans le sens indiqué, et cherchons si le choc sera terminé avant que 9 ait atteint la valeur a. L^équation qui définit la fin du choc est :
(30) fv = 0 = w^+ I — —
Si cette équation admet une racine comprise entre zéro et a, il n*y aura pas de difficulté; les formules (25), (29) seront applicables jusqu^à la fin du choc, et elles feront connaître les percussions tangentielles et normales, et par conséquent la vitesse finale des deux corps. Je dis que ce cas se présentera toujours toutes les fois que la quantité que nous avons désignée par H sera positive pour 9 = a. En effet, nous avons vu que l'expression
X (aX 4- ôY + cZ) + Y (a'X + b'Y + c'Z) -h Z (a'X -h b'Y 4- c'Z)
est toujours positive, quelles que soient les quantités X, Y, Z. Faisons :
X = — /"cosç, Y = — /"sinç, Z = l;
on aura, en conservant les notations adoptées :
A' — /"(A' cos ? -f- A' sin ç) > 0,
ce qui, d'après les formules (25), équivaut à Tinégalité
dip — fdv > 0, et, par conséquent,
do Or, si ? se rapproche de la racine a, — devient infini positif,'
puisque nous avons vu que le signe de d^ est toujours celui de A.
Si donc H est positif dans le voisinage de la valeur a de ç, Tinté-
rUdo grale 1 ^ deviendra infinie positive, et il en sera de même de o,
qui a pour valeur :
(32) V =VQe
Ainsi, si o variait de zéro à a, © et par conséquent t? — t?^, croîtraient indéfiniment, et, en vertu de Tinégalité (31), il en serait de même de w. Donc, avant que ç ait atteint la valeur a, w aura pris tel accroissement positif que Ton voudra, et, comme sa valeur initiale est négative, elle aura passé par zéro ou par toute autre valeur positive qui marquera la fin du choc.
Si, au contraire, on a H < 0 pour 9 = a, il pourra se faire sans doute qu'il y ait encore une valeur de 9 comprise entre 9^ et a et annulant w, mais il pourra aussi arriver que 9 atteigne la valeur a sans que w soit devenue nulle. En effet, dans ce cas, v deviendra nulle pour cp = a et l'intégrale
qui tendra vers une valeur finie quand 9 s'approchera de a, aura un maximum en valeur absolue. Si rv^^y par exemple, est supérieure à ce maximum, l'équation (30) n'aura pas de racine entre 9^ et a.
Voilà donc un cas tout aussi général que le précédent et qui avait été négligé, celui ou la vitesse relative tangentielle devient nulle avant la fin du choc. Nous allons l'étudier d'une manière détaillée.
Et d'abord l'étude qui a été faite de questions analogues (roulement
■éd
des sphères, des cylindres) nous avertit quMl peut se produire deux espèces tout k fait diiférentes de mouvements :
Ou bien la vitesse relative taogentielle continuera à demeurer nulle, et alors la force de frottement ne sera assujettie qu*à Tunique condition d'être inférieure à la force normale multipliée par le coefficient de frottement; en d'autres termes, la force appliquée à Tun des corps devra faire avec la normale commune un angle moindre que Tangle de frottement. Ce sont là les lois du frottement quand il y a repos relatif 2L\x contact.
Ou bien la vitesse relative tangentielle reprendra des valeurs finies, et il reste à déterminer le mouvement qui pourra se produire dans ces conditions.
Examinons d'abord le premier cas. Soient N la composante normale de la force à un instant quelconque, 0, O^ ses composantes tangentielles. Puisque la vitesse tangentielle v doit demeurer nulle, il faut que Ton ait :
aO -h Jô, + cN = 0, a'e-l-ô'e, -hc'N=:0, ce qui donne :
ab'-^ba' ' * ab' —bal
Exprimons que la composante tangentielle est plus petite que /'N ; nous aurons Pinégalité :
/^N« — 0» — Oî > 0,
et, par conséquent, en posant :
(33) K = /» {ab' — bay — (ac' — ca')» — {bc' — cVf,
il faudra que Ton ait :
Si cette inégalité n'est pas satisfaite, le mouvement précédent sera impossible.
Examinons maintenant ce qui arrivera si Ton suppose que la vitesse tangentielle relative, après être devenue nulle, reprenne des valeurs
finies. Alors l'équation différentielle
(A' cos 9 — A sin 9) rft? = t> (A' sin 9 -+- A cos ç) (f ç,
nous montre que la seule solution possible sera :
A' cos 9 — A sin 9 = 0, (f9 =. 0.
Ainsi, dans le mouvement qui se produira, la direction et le sens do la vitesse relative demeureront constants, et 9 ne pourra être qu'une des racines de Téquation précédente.
Or cette équation admet quatre racines qui peuvent être toutes réelles. Nous sommes donc amenés à discuter jusqu'à cinq mouvements différents qui peuvent se produire : ceux, au nombre dô quatre, qui correspondent à ces différentes racines, et celui pour lequel la vitesse ^ tangentielle demeure nulle. Si deux de ces mouvements étaient possibles simultanément, on rencontrerait un fait très intéressant, mais qu'aucun des exemples traités et connus ne nous permet de prévoir. Nous allons en effet montrer, par une discussion détaillée, qu'il n'y a jamais indétermination, qu'il n'y a jamais à choisir entre deux ou plusieurs mouvements également possibles.
Nous développerons d'abord quelques remarques préliminaires.
1° Dans le cas où la vitesse tangentielle reprend une valeur finie, on a, nous l'avons vu, 9 =: const., et les formules (27) nous donnent sans di faculté :
Or, t7etjNi^sont positifs; il faut donc que H le soit aussi. Ainsi,
pour que le mouvement correspondant à une racine a do l'équation A = 0 soit possible, il faut que cette racine a rende la quantité H positive. II suit de là que si la vitesse tangentielle est devenue nulle pour une certaine valeur a de 9, comme cette valeur a est une racine de A rendant H négative, la vitesse ne peut reprendre une valeur finie, 9 étant égal à a.
2^ Puisque le signe de H pour chaque racine de A a une grande importance, cherchons à le déterminer. A cet effet, nous remarquerons Tidentitc fondamentale dans cette discussion :
H 4- A' = — afsui^ 9 — b'f COS' 9 4- (ô -f- a') /"sin 9 cos 9.
A' désignant la dérivée de A par rapport à 9. Despeyrous. — Mécanique. II. 37
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