B)(BH -4- DL

On reconnaît ainsi que les formules (22), (23), (24) conviennent à une herpolhodie; la vitesse aréolaire étant une fonction linéaire, et la vitesse totale une fonction du second degré, de p*.

Proposons-nous maintenant de définir la courbe décrite par l'extrémité de Taxe instantané dans Tespace. Les coordonnées de ce point sont y, g\ r', et Ton obtiendra par un calcul facile les expressions :

/ do rfO

p* = sin tj; sin 0 - - — cos ^ — >

do rfO

(25) * ^' = cos f!/ sin 0 . ■— -h sin 'J^ — >

^ ^ 1 ^ dt ^ di

I , d^ ^ do

r= ^ -i- cos 0. -^ »

dt dt

de ces composantes en fonction des angles d*Euler. On a d^abord :

( p'* + ç" -+- r'« =p' + q^ +r' = 2Du + 2H + n\ ^ ^ ( r' =2L — (2B — «)i*.

Si Ton élimine u, on trouvera Téquation d*une sphère ayant son centre sur la verticale, ce qui est conforme aux résultats déjà obtenus.

Pour définir complètement la courbe décrite par le pôle instantané, nous considérerons sa projection sur le plan horizontal que nous rapporterons à des coordonnées polaires, avec le point ÛTe pour pôle, p' et (I)' désignant ces coordonnées polaires, on aura évidemment :

I 0) = arc tg -: • V P

Désignons par A et P les deux polynômes suivants :

( A = 2Di* -I- 2H -+- «' — K2B — n) M — 2L]»; ^ ' ^ ( P = (2B — m).w» — 2L tt 4- «.

On aura :

et les deux premières formules (25) nous dqnneront :

,^ , , sin 0 rfî P

(30) 0) = — 'i^ — arc tg — - = — C; 4- arc tg --- •

^ ^ </0 du

Si Ton différentie cette formule en se servant de Tidentité :

on trouvera :

/o«v ^«»>' T P'A — PA'

^ ^ dt 2A

P' et A' désignant les dérivées de P et de A par rapport à «.

disi

La vitesse aréohiire p'* est ici une fonction du second degré de u.

dt

La courbe plane, projection de la route décrite sur la sphère par le pôle instantané, est donc, en général, une courbe transcendante de nature plus complexe qu^une herpolhodie.

Si l'on cherche l'arc de la courbe sphérique, on trouvera, comme il fallait s'y attendre, la valeur déjà donnée par la formule (24).

La courbe sphérique décrite par le pôle dans l'espace est ainsi

complètement définie.

Si l'on fait :

cette courbe se réduit à une herpolhodie, conformément aux résultats déjà établis; et la vitesse du pôle instantané est alors donnée par la formule très simple

qu'on pourrait déduire immédiatement des théorèmes généraux de la mécanique (*).

Nous terminerons ce sujet en donnant une construction directe et purement géométrique de la route décrite par le pôle instantané dans l'espace.

Considérons tous les mouvements pour lesquels les constantes B, D, H, L ont la même valeur. Si les corps correspondants ont au début le même axe de rotation, il résulte des formules (17) que cet axe leur demeurera commun dans tout le mouvement; et le mouvement de chacun d'eux par rapport à l'un quelconque des autres se réduira à une rotation constante autour de l'axe. Étudions les courbes décrites

(') Eu effet les trois équations des moments des quantités de mouvement peuvent être énoncées géométriquement do la manière suivante :

Si Ion construit d un instant quelconque le couple des quantités dé moutement transforfées en un point, la vitesse de Vextrémiti de l'axe de ce couple est égale d chaque instant en grandeur^ direction et sens, à l'axe du couple résultant de tous les couples qui naissent de la translation des forces au même point.

En appliquant ici ce théorème au point fixe et remarquant que l'axo du couplo résultant de la translation du poids a pour grandeur:

AD sin 0, on a:

A ^- = AD sin 6.

Ce qui est l'équation môme du texte.

dans Tespace par les pôles instantanés des rotations relatives à ces différents mouvements. II faudra, pour cela, faire varier n dans les formules (25).

Soient/?',, q\, r[ lesValeurs dep', q\ r' relatives à l'hypothèse

Dans ce cas la courbe décrite par le pôle est, nous le savons, une herpolhodie (H) qui, d'après les formules (26), sera située dans le plan

Comme elle demeure en contact avec une. autre herpolhodie dont le plan est perpendiculaire a Taxe de révolution, sa tangente sera nécessairement perpendiculaire à cet axe.

Prenons maintenant une valeur quelconque de n. Les formules (25) nous donnent :

p* = p\ H- (« — 2B) sin (î; sin ô, ^' = q[ -\- (« — 2B) cos ^ sin 0, r' = r\ H- (» — 2B) cos 0.

Nous savons que, pour chaque valeur de », cette courbe se trouve sur la sphère définie par les formules (26) et dont Téquation est, en remplaçant I?', q\ r' par X, Y, Z,

Zd — n

D'autre part les relations (34) nous montrent, ce qui est évident par la géométrie, qu'à un instant quelconque, tous les pôles correspondants à des valeurs différentes de n se trouvent placés, à des distances invariables les uns des autres, sur une même droite qui est parallèle à Taxe commun de révolution et, par conséquent, normale à l'herpolhodie (H). Or le mouvement de cette droite est défini par la condition que deux de ses points décrivent les sphères correspondantes, qu'un autre point demeure dans le plan de Therpolhodie (H) ; et enfin qu'elle soit normale à la trajectoire de l'un quelconque de ses points, par exemple'de celui qui décrit un plan. On s'assure aisément qu'il n'y a entre les deux sphères, le plan et les segments de la droite

d*autre relation que la suivante : Lo plan est perpendiculaire à la ligne des centres des deux sphères. De là cette curieuse proposition qui se ramène d*ailleurs aisément k celles qui ont été démontrées à la fin de la Note précédente :

Si trois points d'une droite invariable sont assujettis, les deux premiers à demeurer sur deux sphères diférentes, le troisième à rester dans un plan perpendiculaire à la ligne des centres des deux sphères; si de plus la droite se déplace de manière à demeurer tangente à la trajectoire d'un de ses points, ce qui définit complètement son mouvement à partir d'une position donnée, le point de la droite assujetti à rester dans un plan décrira une herpolhodU ; tous les autres décriront des courbes sphériques, gui seront les routes du pâle dans l'espace, pour le mouvement d*un corps pesant dt révolution.

Telle est la définition directe et géométrique, que nous vpulions obtenir, de la route décrite par le ])ôle dans le problème qui nous occupe, aussi bien que de Therpolliodie de Poinsot. Nous signalerons en terminant 'e théorème suivant de cinématique qui se ra* tache directement à la proposition précédente et dont la démonstration n'ofi^re aucune difficulté :

Si trois points d'une droite invariable sont assujettis à demeurer sur trois sphères dont les centres sont en ligne droite, tous Us autres points de la droite décrivent des sphères; et, en écartant un cas exceptionnel àù la droite fait un angle constant avec la ligne des centres, il y a toujours un point de la droite gui décrit un plan.

Remarquons que cette proposition donne le mojen de décrire un plan à Taide d'un système articulé comprenant quatre tiges seulement.