A = L, 2K' — 2PA 4- Q = 2L» — H

2 (* - û) (A — 6) (« — c) == 2 (L» — PL* + QL — P)

Par conséquent, u^ désignant celle des racines de l'équation (11),

qui est égale a - - — — > on a :

« • rw 2L* - BD — LH'

Dtt, = 2V - H'

Les autres racines w,, «, s'exprimeraient de même en fonction de b et de c. Ce résultat peut être énoncé comme il suit :

Pour obtenir t équation qui donne les carrés des axes principaux a, b, c, on efectuera dans l'équation (11) la substitution linéaire :

r équation en a fera connaître les carrés des trois axes principaux. Comme l'équation (11) a ses racines réelles, par la nature même du problème, il en sera de môme de l'équation aux axes principaux. La question que nous nous étions proposée, est ainsi complètement

et il ne reste plus qu'à substituer ces valeurs dans l'équation :

«* — P^* -h Qa? — R = 0 ;

a, b^ c seront les racines de cette équation.

Il est préférable, pour déterminer a, ^, c et pour reconnaître la réalité des racines de Téquation précédente, de raisonner de la manière suivante :

L'équation à laquelle satisfait la variable u, qui est le cosinus de Tangle de la verticale avec Taxe du corps, a été déjà donnée dans le texte (p. 253). Si nous faisons les changements nécessités par nos nouvelles notations (*), cette équation devient ici :

(8) ^ = 2 (1 — tt*) {Du + H' — 2B») — 4 (Bw — L)«

= 2(1 — «*)(D» -h H') — 4B» — 4L*4- 8BL«.

On peut évidemment la former d'une autre manière, en partant de

Pexpression donnée plus haut pour u. Si l'on différentie en effet cette

dp expression et si l'on remplace a , .,., — , ... par leurs valeurs, on

trouvera :

^du ^ (« — ^) (^ — c) (c — a)

D'autre part on peut exprimer ;o', (,', r' en fonction de u, en faisant usage de l'intégrale des aires, de l'intégrale des forces vives et de l'expression donnée pour u en fonction dejp, ç, r. On trouve ainsi :

;?*2fl — a -4- ûw q^ __26h— g + Qt» r* __2ch - y + U»

et si l'on porte ces valeurs dans l'équation précédente, il viendra : (10) --^ z=(a--2flA — Ûm)(&— 2^A--Ûtt)(Y — 2c*.— Û«).

C; II faut remplacer n par 2B, faire C = A ol poser :

du Cette équation devra donner pour — la même valeur que Péqua-

dt

tion (8). C'est ce qu'il serait aisé de vérifier en se servant des

formules (4) et (6). Mais au lieu de faire cette vérification qui n'offre

aucune difiîcuUé, nous conclurons que ^es racines de l'équation

complètement connue :

(11) 2 (l — w*) {pu -h H') — 4B' — 4L» -h SBLu = 0,

sont exprimées en fonction des axes par les formules :

a — 2ah g — 2^A -; — 2ch D 1) D

Or on a, par suite de la définition de a (p. 515) :

2 — 2aA =z 2A» — 2? A + Q — 2 ^ ^-\ -,

et les formules (2) et (6) nous donnent ;

A = L, 2h^ — 2Pi4 4- Q = 2V — H',

2 (A - û) (A — 6) (« — c) =: 2 (L» — PL' -H QL — P)

Par conséquent, u^ désignant celle des racines de l'équation (U),

a — 2aà qui est égale à - — -- — » on a :

or, rxr 2L* - BD — LH'

Du^ = 2V — H'

Les autres racines w,, w, s'exprimeraient de même en fonction de 6 et de c. Ce résultat peut être énoncé comme il suit :

Pour obtenir t équation qui donne les carrés des axes principaux a, b, c, on eJTectuera dans l'équation (11) la substitution linéaire :

L* équation en a fera connaî're les carrés des trois axes principaux. Comme l'équation (II) a ses racines réelles, par la nature même du problème, il en sera de môme de l'équation aux axes principaux. La question que nous nous étions proposée, est ainsi complètement

résolue. Les quantités a\ b', c' seront connues, puisque nous avons leurs expressions en a, 6, c. Au reste nous pouvons obtenir aisément leur détermination directe. En effet les équations qui servent de basA à tous nos calculs ne changent pas, si Ton remplace

fl, 6, c, B, L, a', d\ c,

par

Par suite on voit que Ton aura, pour obtenir a\ i\ c\ à effectuer dans réquation (II), la substitution :

(12) -> Du = 2B' - H' - gB'-LD~BH>^

En terminant cet article nous signalerons une conséquence évidente des résultats précédents. Quand on a observé le mouvement du corps par rapport aux axes fixes, le mouvement inverse des axes fixes par rapport au corps représente aussi un de ceux que le même corps pourrait prendre si les conditions initiales étaient convenablement choisies.

Cela résulte évidemment de ce que, pour tous les mouvements d^un même corps, les constantes a, by c, h ou a\ b\ c\ A' sont assujetties uniquement à vérifier la relation :

û* = D» = (ab -h ac -h bcf — 4 abc (a -4- ^ -*- c — A)

Les propositions précédentes donnent donc la représentation géométrique, complète et aussi simple que possible, du mouvement d^un corps pesant, dans le cas où Tellipsoîde dMnertie du point par lequel il est fixé est une sphère. Les recherches de Lagrange et de Poisson ont fait connaître la solution du problème dans le cas, beaucoup plus étendu, ou Tellipsoïde d^inertie de ce point fixe est de révolution autour de la droite qui joint ce point au centre de gravité. Mais nous allons voir qu^on peut ramener très aisément la solution du problème dans cette hypothèse k celle du cas particulier que nous venons d^étudier.

Prenons en effet dans le corps (B) un système d^axes' fixes rectangulaires tel que l'axe des z soit Taxe de révolution de Tellipsoïde d'inertie du point Îlia O. Soient A. la valeur commune du moment d'inertie par rapport aux axes des x et des ^, C le moment d'inertie par rapport à Taxe des ^, et enfin /?, q^ r les composantes de la rotation du corps par rapport aux trois axes considérés. Les trois intégrales de Lagranpre sont les suivantes :

(13) l Kp,a' 4- Bq.à' 4- Onu = 2AL,

p^ 4- q^ = 2Dw 4- 2H;

ff, L, H désignant les constantes arbitraires et a', V ^% les cosinus des angles de 0^ avec la verticale.

Considérons un corps auxiliaire (B') qui serait animé par rapport au corps (B) d'une rotation constante

autour de 0^. Pour ce corps les composantes de la rotation totale seraient à chaque instant :

Si l'on détermine n^ par la condition :

(14) A», = C«, les équations (13) pourront s'écrire :

(15) \ kp a' -h Bq V -h A«i tt = 2AL,

Ce sont encore les intégrales du mouvement de Lagrange, mais

relatives au cas où l'ellipsoïde du point Îltj^ est une sphère. Si nous

remarquons que Ton a :

nous pourrons énoncer la proposition suivante :

Étant donné un corps pesant de révolution (B), Jlxé par un point de son

axe et abandonné dans des conditions initiales quelconques à V action de la pesanteur, désignons par n la projection constante de la rotation sur faxe; un corps auxiliaire (B'), animé par rapport an premier d'une vites'e de rofation constante

autour de Itixe de réooUUlo.i, prendra le même mouvement qu'un corps pesant pour l que' l'e'UpsoUe dit point fixe serait une sphère, le centre de gravité se trouvant sur l'axe. Par conséquent le mouvement du corps (B'), lié d'ii'fc manière si simple à celui de (B), pourra se représenter par le roulement d'un cône ayant pour base une herpolhodie (H') sur un cône ayant pour base une autre herpolhodie (H).

Nous pouvons déduire des remarques précédentes une proposition énoncée et démontrée par Jacobi dans un Mémoire posthume dont les fragments ont été publiés par M. Weierstrass. (Voir le t. II de la nouvelle édition des Œuvres de Jacobi.)

Pour cela il nous suffira d'appliquer les propositions de la Note précédente, qui nous ont permis de définir le mouvement de (B').

Si nous introduisons, en même temps que les deux, cônes avant pour base les herpolliodies (II), (H'), le cône (C) déjà défini, ayant pour base la polhodie (P), qui roule à la fois sur les deux cônes précédents, nous obtiendrons la proposition suivante :

Dans le cas où Tellipsoïde central du point fixe est une sphère, il existe un système (C), mobile autour de 0 et jouissant de la double propriété suivante : Son mouvement absolu est celui d'un corps solide qui ne serait soumis à aucune force ; ou, plus exactement, c'est un mouvement de Poinsot, pour lequel le plan invariable est horizontal ; son mouvement par rapport au corps pesant est encore un mouvement de Poinsot, pour lequel le plan invariable est perpendiculaire à la droite qui contient le point fixe et le centre de gravité.

Dans le cas général, cette proposition subsiste dans ses points essentiels et devient le théorème de Jacobi, tel qu'il a été énoncé par M. Halphen dans une note récemment parue aux Comptes rendus de t Académie des Sciences, t. C.

En eSTet, la proposition précédente s^applique sans modification au

corps auxiliaire (B') dont la rotation par rapport à (6) est :

Il suit de là que le mouvement du système (C) par rapport à (B) s'obtiendra en composant le mouvement de (C) par rapport à (B'), qui est un mouvement de Poinsot, avec une rotation constante :

autour de la perpendiculaire au plan invariable de ce mouvement. Or nous avons vu que la combinaison de ces deux mouvements donnera encore un mouvement de Poinsot, Nous obtenons ainsi dans toute sa généralité la belle proposition de Jacobi, dont Ténonc' le plus simple est le suivant :

Si fan considère le mouvement U plus général d'un corps pesant de révolution flxé par un point de son axe^ il existe un système auxiliaire (C) gui est anlm^\ et par rapport aux axes fixes, et par rapport au corps mobile d'un motcement de Poinsot. Les constantes relatives à ces deux mouvements sont diférenles; les plans invariables sont, le plan horizontal pour le premier mouvement, et le plan perpendiculaire à Vaxe pour le second.

Si nous conservons les notations de l'article I, nous voyons que la rotation absolue du corps (B'), h un instant donné, a pour composantes relatives aux axes principaux de (C) :

Pour obtenir la rotation de (B), il suffira de composer la rotation précédente avec celle qui a pour valeur :

C — A et dont la direction est perpendiculaire à l'axe de (B), Les comportantes

de cette rotation seront, par conséquent :

et Ton en déduira, pour les composantes de la rotation de (B), les expressions :

Ces formules vont nous permettre de définir complètement, -et d'une manière directe, le mouvement de (B).

D^abord Pextrémité de Taxe de rotation décrit dans le corps une herpolhodie. La proposition est évidente dans le cas du mouvement de (B'). Pour passer de là au mouvement de (B), il faut composer la rotation précédente avec une rotation constante dont l'axe est parallèle à Taxe de (B'), ce qui ne fait que transporter parallèlement à ellemême la courbe décrite par Textrémité de Taxe de rotation; puis introduire une rotation constante du rayon vecteur, ce qui, nous l'avons vu, ne change pas la définition de l'herpolhodie. Ainsi, /a cowhe décrite dans le corps par V extrémité de Taxe de rotation est, dan^ tous les cas, une herpolhodie.

D'autre part nous avons les composantes de la rotation totale et nous pouvons en déduire que la projection de cette rotation sur la verticale, aussi bien que le carré de la rotation, sont des fonctions linéaires de p*, ^', r* et sont par conséquent liées par une relation linéaire. En d'autres termes :

Vextrémité de la rotation décrit dans V espace une courbe située sur une sphère ayant son centre sur la verticale.

Par suite :

Dans le cas général le mouvement peut se représenter par le roulement d'un cône, ayant pour base une herpolhodie, sur une sphère ayant son centre sur la verticale du point Jlxe, ce roulement s'efectuant avec une vitesse égale au rayon vecteur.

Nous allons retrouver ces résultats et définir la courbe sphérique en reprenant l'étude des équations données dans le texte.

Si Ton pose :

ces équations données à la page 253 du texte prennent la forme

suivante :

dé 2Bi» — 2L do 2Btt' — 2Li»

dt 1 — tt* dt 1 — w*

-^ =z 2 (l - «») (Dtt 4- H) — 4 (Btt — L)«. /

Elles mettent d'abord en évidence la proposition que nous avons démontrée .à l'article III. Si Ton considère le corps auxiliaire (B'), pour lequel les angles d'Euler ont les valeurs :

et (^' =^ -h (21

on aura :

di^' 2B — 2Lu

dt ^ 1 — %'

C'est la valeur que Ton obtiendrait en faisant dans les formules (yi) :

c*est a dire en supposant que n soit nul, ou que l'ellipsoïde central du point fixe soit une sphère.

Appelons maintenant p, ^, r les composantes de la rotation relatives aux axes du corps, p\ q\ r' les composantes do la même rotation relatives aux axes fixes. Les formules établies dans le texte nous donnent :

^ p^ -H^» = 2Dtt-+-2H,

dà df^

/? = sin 9 sin 0 — î- — cos o. —y

^ zz: cos ç sm 0. — ^ 4- sm ? -— » ^ dt ^ dt

et par conséquent :

.*v,\ Q sin 6 rf6

(21) — arc tg: - = 5 -H arc tg. — '- .

La seconde des équations (19) exprime que la courbe décrite dans le corps par Textrémité de la rotation est située dans un plan perpendiculaire à Taxe. La première équation (19) et Téquation (21) nous donnent le rayon vecteur p et Tangle polaire o) de cette courbe plane, en la supposant rapportée à des coordonnées polaires dont le pôle se trouve sur Taxe du corps. On a donc :

sin 0 d^

(22) p*=2Da-h2H, w = — o — arc tg. — — — ^.

et, en différentiant cette dernière équation après avoir remplacé d^ et d^ par leurs valeurs :

(Dtt + H) ^ = (B — «) (Di* -I- H) -H BH + DL, ou encore :

(23) p' £i' = (B — «) p' + 2 (BH + DL).

Ces formules permettent de calculer la vitesse totale du pôle, qui est donnée par Téquation :

(24) -,- = D* (1 — tt») 4- 2» (« — 2B) (Du + H) di