I. — Des percussions

Considérons un point matériel de masse m^ soumis à l'action de différentes forces. Soient x, y, z les coordonnées de ce point à l'instant /, 9x9 9y) ^2 les composantes de la vitesse au même instant, X„ Y,, Zj celles de l'une quelconque des forces qui agissent sur le point. On aura les équations :

dv^ m -- =X^ -h ... -hX„,

(l) .; «»^^^'? = Y,+ ... -HY„,

et, par conséquent, si l'on désigne par t?ox> Voyy Vq. les composantes

de la vitesse du mobile il Tinstant 0, on aura :

mP;^ — mvQ^=: I X^dt -h ... 4- / X^^^ (2) mv„—mv^,= j Y.dt-^- ... + / Y^dt,

ï Jo Jo

--mVf^zzzI Z^dù-\' ... -h I Z^dt.

Jo Jo

Ces équations peuvent sMnterpréter de la manière suivante. Appelons, avec différents auteurs» impulsion de la force (X, T, Z) la quantité géométrique dont les composantes sont :

mv^

fXdt, f Ydt, jZdi;

Jo Jo Jo

les équations (2) donneront lieu au théorème suivant :

L* accroissement géométrique de la quantité de mouvement du point matériel dans un intervalle de temps fini quelconque est égal à la somme géométrique des impulsions des forces qui agissent sur ce point pendant V intervalle de temps considéré.

Il résulte de ce théorème que si des forces agissent sur un point matériel, et si Ton connaît seulement leurs impulsions dans un intervalle de temps donné, on pourra déterminer Taccroissement géométrique de la quantité de mouvement du point sur lequel elles agissent, et par conséquent, si Ton connaît la masse et la vitesse initiale du point, on obtiendra en grandeur et en direction la vitesse finale. Mais il importe de remarquer que Von n'aura aucune notion sur la position de ce mobile à Vinstant final.

Imaginons maintenant que Tintervalle de temps pendant lequel les forces agissent devienne de plus en plus petit, mais que les impulsions de quelques-unes des forces conservent une valeur finie, ce qui exige que ces forces deviennent de plus en plus grandes : le changement de vitesse se produira dans un intervalle de temps de plus en plus court, mais il sera toujours fini. D'ailleurs, si Ton suppose que les impulsions des forces relatives à tout intervalle de temps compris dans celui que nous considérons demeurent inférieures à des grandeurs fixes, les changements de vitesse du point matériel demeureront finis et le déplacement du point matériel deviendra de plus en plus petit quand rintervalle de temps diminuera.

En effet, réduisons toutes les forces à une seule dont les composantes à Tinstant 8 soient X^, Yq, Zq, et considérons la projection du mouvement sur Taxe des â; par exemple. On a :

0? — i-o — ^Qr^ = I ^^ 1 X^ ^0.

Nous supposons que l'impulsion i X^rfO demeure, quel que soit 0, inférieure à un nombre fixe M. On aura donc, en valeur absolue :

X — x^ — v^jt < / M rfO

X'-x^--v^t< Ut,

et, par conséquent, x — x^ diminuera quand l'intervalle de temps deviendra de plus en plus court {}).

(1) Nous introduisons, on le voit, une condition qui, d'habitudo, n'est pas énoncée explicitement : c'est que l'impulsion de la force dans uuo partie quelconque de l'intervalle de temps considéré demeure inférieure à une grandeur fixe quand l'intervalle de temps diminue. Cette condition est toujours satisfaite dans les applications, car on n'y considère que des percussions dont la direction nu varie pas sensiblement dans toute la durée de l'intervalle pendant lequel elle^s agissent. Par exemple, dans le choc de deux corps, la force qui s'exerce au point de contact sur l'un des corps ne peut agir que dans un sens déterminé, do manière à écarter les deux corps. Alors Tinté-

grale I Xo <f 0 conserve son signe et no cesse de croître ; elle demeure donc inférieure

à sa valeur finale, qui, par hypothèse, est finie.

Mais, si l'on se place à un point de vue exclusivement théorique, il est aisé do trouver des forces qui, dans un temps très court, imprimeront des changements finis ou même nuls de vitesse, tout en déplaçant le mobile d'une (juantité finie. Considérons, par exemple, un point qui se meut e'n ligne droite et qui est soumis à l'action do la force dont l'expression à l'instant 0 est :

A0 = rpj- sin >n- cos „,- »

« et T étant des constantes. On aura :

W = "f*" ""^ T" ^°* T" ' et par suite, si l'on appelle r* In vitesse initiale,

9x — r, = ïp flin' ,p »

ft cO c . 267C ^ — a:„ — r,0 = ^ — 2^ sin -tJ,-»

de la vitesse du mobile ii Tinstant 0, on aura :

l Jo Jo

j Jo Jq

\ mV: — mVf^^=l Z^dù -^^ ... -h j Z^dC.

Ces équations peuvent sMnterpréter de la manière suivante. Appelons, avec différents auteurs, impulsion de la force (X, Y, Z) la quantité géométrique dont les composantes sont :

fXdt, fYdùy fzdt;

Jo Jo Jo

les équations (2) donneront lieu au théorème suivant :

L'accroissement géométrique de la quantité de mouvement du point matériel dans un intervalle de temps fini quelconque est égal à la somme géométrique des impulsions des forces qui agissent sur ce point pendant VintervaUe de temps considéré.

En effet, réduisons toutes les forces à une seule dont les composantes à Tinstant 6 soient Xq, Yq, Z9, et considérons la projection du mouvement sur Taxe des x par exemple. On a :

0? — iFo — ^od = I ^^ I X^ ^0.

Nous supposons que IMmpulsion / XQdd demeure, quel que soit 0, inférieure à un nombre fixe M. On aura donc, en valeur absolue :

X — Xq — v^J < / M rfO

x — x^'-v^Ki M^,

et, par conséquent, x — x^ diminuera quand l'intervalle de temps deviendra de plus en plus court {}),

(1) Nous introduisons, on le voit, une condition qui, d'habitude, n'est pas énoncée explicitement : c'est que l'impulsion de la force dans une partie quelconque de l'intervalle de temps considéré demeure inTérioure à une grandeur fixe quand l'intervalle de temps diminue. Cette condition est toujours satisfaite dans les applications, cor on n'y oonsidôre que des percussions dont la direction ne varie pas sensiblement dans toute la durée de l'intervalle pendant lequel elles agissent. Par exemple, dans le choc de deux corps, la force qui s'exerce au point de contact sur l'un des corps ne peut agir que dans un sens déterminé, do manière à écarter les deux corps. Alors l'intégrale I Xo <f 0 conserve son signe et ne cesse de croître; elle demeure donc inférieure

à sa valeur finale, qui, par hypothèse, est finie.

Mais, si l'on se place à un point de vue exclusivement théorique, il est aisé de trouver des forces qui, dans un temps très court, imprimeront des changements finis ou môme nuls de vitesse, tout en déplaçant le mobile d'une quantité finie. Considérons, par exemple, un point qui se meut en ligne droite et qui est soumis à l'action de la force dont l'expression à l'instant 0 est :

Aq = -ipj- sin ->p- cos -rn »

^ et T étant des constantes. On aura :

dtx 4c7r . 6w 6ir

et par suite, si l'on appelle r* la vitesse initiale,

Vx — r, = m ®^° T *

. cO c . 267C io — a?» — fj,0 = rj, — 2"^ ^^° ~T^*

On se rapproche donc de plus en plus d^un état limite dans lequel le mobile, sans changer de position, éprouverait une modiâcation brusque de sa vitesse. C'est cet état limite que Ton étudie dans la

théorie des percussions, et il résulte immédiatement de ce qui précède

que, pour déterminer le changement de vitesse du mobile, il suffit de connaître les impulsions des différentes forces auxquelles il est soumis. Ce sont ces impulsions auxquelles on donne le nom de percussions. Il est clair que les percussions provenant de forces finies, telles que la pesanteur, peuvent être considérées comme nulles.

Je ne m^arrêterai pas à discuter une objection que Ton adresse quelquefois à la théorie des percussions. Quelques auteurs, en s*appujant sur ce qu*il n'existe pas de force rigoureusement instantanée, préfèrent ne pas employer la notion des percussions et les théories qui déterminent leurs effets. Il n'existe pas de point géométrique ni de ligne droite dans la nature, et cependant nous trouvons utilité et intérêt à étudier ces abstractions. Il j a sans doute, quand on passe aux applications, à examiner les erreurs que Ton peut commettre en appliquant les théorèmes de la Science pure, mais cette question ne nous paraît «pas devoir être mêlée au développement de la Science elle-même.

On sait comment se mesurent et se représentent les percussions. Au fond, ce sont des quantités de mouvement, qu'il suffit de composer avec celles des points sur lesquels elles agissent. Je rappellerai rapidement

On a donc, pour 6 = T,

Si l'on suppose (ïuo lo temps T dovionno ilc plus eu plus pelil, e demeurant consîAnt, on aura une force très f^ramie a^issiiut ))undant un temps très court, ne produisant aucun changement de vitesse et déplaçant le point d'une quantité quelconque c.

Mais il est facile de reconuaitro que la condition énoncôc dans le texte ne so trouve plus remplie, puisque l'impulsion partielle

J^ Xe rf9 = Ç- 8in. ?r"

T no demeure pas finie, pour 0 = -4 P'ir exemple, quand T tend vers zéro. D'ailleurs, il

est aisé de reconnaître que la force clianijo de sons au milieu de son aclion.

C'est uno force de ce genre ([u'une locomotive doit déployer pour exécuter une de ces opérations (|ui sont si fréquentes dans les gares et amener rapidement uu ou plusieurs wagons, sans vitesse, d'une position dans uno autre.

les règles relatives à leur effet sur le corps solide et je présenterai en même temps quelques remarques nouvelles sur leiy application.

Si le corps solide a un axe fixe, le produit du moment d^nertie relatif à cet axe par l'accroissement de la vitesse de rotation est égal à la somme des moments des percussions par rapport à cet axe.

Si le corps a un point fixe, désignons par p^ q, r les composantes de la rotation suivant les trois axes principaux de ce point, et par A, B, C les moments d'inertie relatifs à ces trois axes; les vitesses prendront des accroissements ^p, A<7, Àr définis par les formules :