BA^ = M

( CAr = N,

ou L, My N désignent les sommes des moments des percussions par rapport aux trois axes.

Les formules précédentes peuvent être remplacées par une construction géométrique très élégante dont Poinsot a souvent fait usage. Soit 0 le point fixe. Supposons qu'on y transporte les quantités de mouvement de tous les points du système et que Ton compose les couples qui naissent de ces translations : le couple résultant sera le couple des quantités de mouvement transportées en 0. 11 est lié, comme on sait, d'une manière très simple à la rotation. P L'axe de rotation est le diamètre conjugué du plan de ce couple par rapport à l'ellipsoïde central du point 0, et il est du même côté de ce plan que Taxe du couple. 2^ Si G désigne le moment du couple, l la longueur du demidiamètre intercepté dans l'ellipsoïde par Taxe de rotation, et o la distance du centre au plan tangent à l'ellipsoïde à l'extrémité de l'axe de rotation, la vitesse angulaire de rotation a pour valeur :

On voit donc que, si l'on connaît le couple des quantités de mouvement, on aura immédiatement le mouvement du corps solide.

Or, les formules précédentes peuvent se traduire comme il suit. Transportons toutes les percussions au point fixe et composons tous les couples qui naissent de cette translation : on obtiendra un couple résultant. U suffira de composer ce couple aoec ce'ui des quantités de

mouvemenù antémurement acquises pour avoir le nouveau couple des quantités de mo^pement.

Dans le cas oii le corps solide est entièrement libre, désignons par» la masse du corps, par Vx, V^, V. les composantes de la vitesse du centre de gravité, par X, Y, Z celles de la résultante générale des * percussions transportées au centre de gravité. On aura :

(4) mAV,= Y,

( wAV, = Z,

et ces équations sMnterj^rètent comme il suit : La nouvelle vitesse du centre de gravité sera la même que si la masse entière y était concentrée et toutes les percussions transportées parallèlement à elles-mêmes.

Quant au changement que subit la rotation autour du centre de gravité, on le déterminera en considérant ce centre comme un point fixe et en appliquant, soit les formules (3), soit la construction géométrique de Poinsot qui leur est équivalente.

La forme linéaire de toutes ces équations nous montre tout de suite : 1® que Ton obtiendra la nouvelle vitesse d'un point quelconque en composant la vitesse antérieure avec celle que détermineraient les percussions si elles agissaient sur le corps au repos; 2^ que Ton obtiendra le même résultat, soit en faisant agir simultanément les percussions, soit en les faisant agir successivement dans un intervalle de temps suffisamment court; 3^ enfin que, si Ton multiplie les percussions par un nombre quelconque p, les vitesses qu'elles déterminent sur le corps au repos sont toutes multipliées par^. Tous ces résultats s'étendent d'ailleurs, sans difficulté, au cas où le corps solide est soumis à des liaisons d'une nature quelconque, et les composantes de la vitesse que prend un point quelconque sont toujours des fonctions linéaires des composantes des percussions qui agissent sur le corps solide.

Nous remarquerons, en terminant, que les constructions g-éométriques données précédemment permettent de résoudre d'une manière simple certaines questions. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trouver les percussions qui, appliquées *à un corps solide libre, lui impriment au début une rotation. On reconnaîtra aisément que les lignes d'action de ces percussions doivent être perpendiculaires à leur

polaire par rapport à Tellipsoïde central du centre de gravité; elles forment donc un complexe bien connu et qui a été étudié par divers géomètres.

Considérons, en effet, une percussion P appliquée a un corps solide. Elle imprimera au centre de gravité une vitesse de translation qui lui sera parallèle. Quant à la rotation autour du centre de gravité, nous avons vu qu^elle commence autour de la droite qui est le diamètre conjugué du plan passant par la percussion P et le centre de gravité. Pour que le mouvement initial soit une rotation, il faut que la translation imprimée au centre de gravité soit normale à Taxe de rotation ; c'est-à-dire que la ligne d'action de la percussion P soit une droite perpendiculaire au diamètre conjugué, par rapport à Pellipsoïda central du centre de gravité, du plan passant par cette droite et par le centre de gravité ; ou, ce qui est la même chose, il faut que cette ligne d'action soit une droite perpendiculaire à sa polaire par rapport à l'ellipsoïde central du centre de gravité.