IV. — Du CHOC, EN TENANT COMPTE DU FROTTEMENT

JusquMcî j*ai négligé riiifluence du frottement qui se produit au contact. Les expériences du général Morin paraissent établir que, même dans ce cas, le frottement suit les lois ordinaires. Toutefois, dans la théorie des machines, on n^a eu k s^occuper que de problèmes relativement simples, pour lesquels il est facile de reconnaître à priori que la vitesse relative au point de contact des deux corps a une composante tangentielle dont la direction demeure constante pendant toute la durée du choc. Il n'y a donc alors qu^à introduire, en môme temps que les percussions normales appliquées aux deux corps, des percussions tangentielles égales à la valeur commune des percussions normales multipliée par le coefficient de frottement, et ayant une direction invariable pendant le choc, celle de la composante tangentielle de la vitesse relative au point de contact. Je citerai un travail de Poisson, Sur le/rotUment des corps qui tournent (Bulletin de Férussac, t. VI, p. 163) et les recherches de Coriolis sur le choc des sphères dans sa Théorie mathématique des effets du jeu de billard.

Si l'on se propose de traiter le problème général, la question devient beaucoup plus compliquée. On sait que, dans le cas ou il n^y a pas frottement, la vitesse relative au point de contact passe progressivement, pendant la courte durée du choc, d'une valeur à une autre, tout k fait différente en grandeur et en direction; il en est de même quand il y a frottement, et si Ton veut tenir compte rigoureusement des effets de cette force, il faudra, k chaque nouvel instant du choc, donner au frottement une direction nouvelle en sens inverse de la vitesse relative k cet instant. Cette direction de la vitesse relative dépend, d'ailleurs, du frottement <jui s'est produit aux époques antérieures du choc; on peut donc prévoir qu'il y aura une équation différentielle donnant la loi du phénomène et dont l'intégration constituera la principale difficulté du problème; et l'on reconnaît aussi que si Ton voulait, malgré le changement de la vitesse tangentielle relative au point de contact, conserver k ce frottement une direction constante, on pourrait commettre des erreurs du même ordre que les effets dont on veut tenir compte.

M. Phillips, dans un beau travail inséré au Journal de Uouvilk (t. XIV, l^^ série, p. 312), a le premier abordé la question à ce point de vue et intégré Téquation différentielle qui se présente dans cette théorie. Depuis, dans une Note insérée aux Comptes rendus des séances de t Académie des Sciences (t. LXXVni, p. 1645), j^ai obtenu les mêmes résultats par une méthode différente et à quelques égards plus simple. En étudiant de nouveau cette question pour présenter une étude complète de la théorie du choc, je me suis aperçu que, si les recherches que je viens de citer suppriment la principale difficulté de la question, elles ne donnent pas cependant la solution complète du problème ; car elles négligent ce fait capital que la vitesse relative tangentielle peut devenir nulle pendant la durée du choc. Nous avons repris l'étude de cette question dans le Bulletin des Sciences Mathématiques, en ayant égard aux circonstances qui avaient été négligées dans les recherches antérieures.

Prenons pour axe des z la normale commune aux deux corps au

point de contact, la partie positive do Taxe des z étant dirigée vers le

corps (M) . Les axes des x et des y seront dans le plan de contact. Le

point de choc du corps (M) a, par rapport au point de choc du corps (M'),

une vitesse relative dont nous désignerons par m la composante normale

et par v la composante tangentielle. Si la vitesse v fait avec Taxe des^

Tangle 9, les trois composantes de la vitesse relative suivant Oo?, Oy,

Oz seront :

V cos 9, V sin ç, w.

Désignons par N la force normale qui s^exerce à Tinstant t sur le corps (M). La force de frottement aura, suivant Ox^ Oy, les deux composantes :

— /"N cos <p, — /"N sin ç,

/* désignant le coefficient du frottement. Par suite, les trois composantes de la percussion reçue par le corps (M) depuis le conunencement du choc seront :

— /• / N cos 9 tf ^, —fi N ?in 9 dt, j ^dt,

et le corps (M') aura reçu dans le même temps des percussions égales et contraires. Cela posé, d'après les lois de l'effet des percussi<5ns, les composantes de la vitesse relative des deux corps seront des fonctions

linéaires de ces percussions, et Ton aura :

pcosçzziPoCOsçq— fl/" / Ncosçtf^ — bf j Nsin^c/^ + c 1 Nrf^,

(25) t?sin(p=t?Qsin9o,— d'/ 1 Ncosçrf^ — *'/* l Nsinçi^H- c' / Nrf^,

Jo * Jo J

^o> ?o) ^^0 désignant les valeurs initiales de 9, 9, ^. Quanta a, d, c, ..., ce sont des constantes que Ton détermine sans difficulté et qui dépendent de la forme et de la position relative des deux corps : a, a', a' sont les composantes de la vitesse relative qui serait imprimée aux points en contact par deux percussions égales à Tunité dirigées suivant Taxe des X et appliquées l'une au corps (M), l'autre au corps (M'), la première ayant le sens de la partie positive de l'axe des x, l'autre ayant le sens contraire; ô, b\ b\ c, c', c" ont des définitions analogues relativement k des percussions dirigées suivant Oy et Oc. Il n'y a donc aucune relation entre ces neuf constantes, qui, dans le cas des corps libres, dépendent de vingt paramètres. Il est vrai que les équations précédentes ne supposent nullement les corps libres et qu'elles ont lieu d'une manière absolue, quelle que soit la nature des liaisons. Mais, dans la discussion, nous pourrons les supposer quelconques; il nous suffira seulement de montrer que, dans tous les cas, elles satisfont à des inégalités, dont nous aurons à tenir grand compte dans notre discussion. Nous allons d'abord indiquer quelles sont ces relations d'inégalité. Si deux corps (M), (M') sont en repos, et qu'en un de leurs points de contact on leur applique respectivement deux percussions P, — P égales et contraires, il est facile de montrer que la vitesse relative que prendra le point de contact de (M) par rapport au point de contact de (M') aura toujours une projection positive sur la percussion P appliquée au corps (M). En effet, nous savons que la percussion P

imprime à son point d'application une vitesse dont la projection sur P

p est - > ;jL étant le paramètre de la ligne d'action par rapport au corps (M) .

De même la percussion — P imprime au point du corps (M') ou elle

est appliquée une vitesse dont la projection sur — P sera H — ->

\fj étant le paramètre de la ligne d^action par rapport au eorps (M');

et par conséquent la projection de cette vitesse sur P sera r * ^

projection de la vitesse relative sur P, étant la différence des projections des deux vitesses absolues, sera :

et, par conséquent, sera toujours positive.

Diaprés cela, revenons aux deux corps (M), (M') supposes au repos, et appliquons à Torigine au corps (M) une percussion quelconque dont les composantes sont X, Y, Z, en appliquant au corps (M') la percussion égale et contraire. La vitesse relative qui sera imprimée par ces deux percussions sera définie par les formules :

Vj,z= a X -^ b Y -h cZ,

cette vitesse étant toujours celle du point de (M) par rapport au point de (M'). La projection de cette vitesse sur la percussion appliquée au corps (M) devant être positive, nous devrons avoir :

Xv, 4- Yv, + Zv, > 0, et par conséquent :

aX* -f- J' Y* + c'Z* + (c' + b') YZ + (c -H a") XZ + {b 4- a') X Y > 0.

Ainsi, les constantes a, b\ c* doivent satisfaire à toutes les inégalités qui expriment que l'expression précédente est positive, quelles que soient X, Y, Z. Par exemple, on aura :

^on i a>0, b' > 0, c' > 0,

^ ^ ( {b -b a'Y — Ub' <0.

Nous aurons à faire usage de ces inégalités.

Après ces remarques préliminaires, reprenons les équations (25) et différentions-les. Si nous posons :

A = c — afcos^ — b fsin Oy A' =z c' — a'fcos 9 — ^Ysin ç, A.'^ c' — aYcos 9 — b'fsin 9,

nous aurons :

.g.^. ( cos^dv — c sin 9 (^9 = AN (?^,

( sin (^ dv -{- V cos ^ df^ = A' Nrf/,

ce qui donne :

dv A' sin o -h A cos © ,

— = '■ : do.

V A' cos 9 — A sin o '

vd^

1^ dt =

A' cos ç — A sin o Posons, pour abréger,

H =: A' sin 9 4- A cos 9, A =: A' cos 9 — A sin 9.

Nous obtiendrons :

et, V une fois connu, on déduira de Texpression de ^di

I y dl =1:/ ——-^ 0 cos 9 = Pq cos ^0 "^' / — r

ijo J(f^ A * • J(f. A

. xM'xr . hvco^odo . . r?A.'vdo (29) / Ncos9ef/= / -ï — ^» t?8in9=:zPQSin9j,-i- / -^

I r.T . . r?vsmodo * r?A'vdo

I Nsin9rf/=/ ~ — -y W = W^ -h 1 — --^•

Jo Jf. A Jy, A

Ces quadratures donnent la solution complète de la question; elles feront connaître les diverses circonstances du choc tant que la vitesse v ne deviendra pas nulle, auquel cas on ne connaîtrait plus la direction du frottement.

On peut interpréter géométriquement les formules précédentes. Construisons dans le plan tangent la courbe auxiliaire, lieu du point dont les coordonnées h Tinstant t sont :

X = f j 'S cos o dty p =z f I N sin 9 dt,

Jo ' Jo

On voit que le rayon vecteur de cette courbe représente en grandeur et en direction la percussion tangentielle. L*arc de la courbe, compté

à partir de l'origine, à pour valeur :

= ff^di,

et par conséquent il est égal à la percussion normale multipliée par le coefficient de frottement. Si Ton différentie d'ailleurs les formules qui donnent x et y, on trouvera :

dp

— = tang ç.

dx

La direction de la tangente à cette courbe auxiliaire est donc la même que celle de la vitesse relative tangentielle à Pinstant /. On peut donc énoncer la proposition suivante :

// existe une courbe située dans k plan de contact, passant au point de contact et donnant la loi du choc. Son rayon vecteur représente la percusHon tangentielle due au frottement; sa tangente a la direction de la vitesse relative et son arc, compté à partir de l* origine, est égal au produit du coefficient de frottement par la percussion normale reçue par chacun des co}^s depuis le commencement du choc.

Il résulte des formules (25) que cette courbe satisfait à l'équation différentielle

dy Vq sin 9,, — a'x — J'y 4- c's

dx Vq jcos 9^ — ax — ôy 4- es

et par conséqijient les recherches précédentes peuvent être considérées comme donnant l'intégrale de cette équation (}).

{*) Considérons d'une manière générale l'équalion diffërentielle

où y' désigne -— et X une fonction de la seule variable w. Il est aisé de reconnaître

qu'nilo comprend, comme cas particulier, celle qui a été considérée dans le texte. Il siiilU, on effet, pour retrouver celte dernière équation, de prendre :

F ry') = - a' - ^'y' + «' v/F+T"*. / (y') = ^ 8in 9,,

*ï»(y')=— <» — *y' +c\/r-|-y«, ?(y') = <'. cosç,.

Nous allons montrer qu'on peut intégrer très simplement réquation (a). Pour cela.

Revenons aux formules (29) et voyons comment on déterminera la fin du choc. Dans le cas des corps mous, il n'y a pas de difficulté : le choc se terminera quand la vitesse relative normale w sera réduite k zéro. Mais il peut y avoir des corps élastiques dans lesquels le frottement n'est pas nul, par exemple deux billes d'ivoire dépoli. Dans ce cas, rien ne nous guidant, on peut revenir à Tancienne hypothèse et supposer que, lorsque les corps se détendent après s'être

posons:

f(y')+/?(y')Xrf« = >.

et par couséquent :

/(y')+/F(y')Xrf<r=XO(y');

on aura, en diffàrenliant,

^ rfy' + F (y') xrf» = e (y-) rf> + > /|, rf,'.

et, si l'oQ élimine X da, on trouvera :

Cette équation linéaire fera connaître X OQ fonction do y'. On déterminera ensuite a au moyen de la formule

où les variables sont séparées, et enfin p par la formule

dy = y' dœ,

L'intép;ration de l'équation difTérentieilo est ainsi ramenée à une série de quadratures. Si dans l'équation (a) on remplaçait Xda par <fç(d;, y), on serait, par une méthode analogue, ramené à rintégratiou du l'équation

ç(ir,y) = F(y').

L'équation (a) comprend comme cas particulier les suivantes :

et

ad^ + F(y') ■\-cJiBdi __ , ..

Cette demiôro équation, correspondante au cas où Ton prend X =â}, équivaut à une relation assez générale entre la tangente et l'aire d'un segment de la courbe cherchée.

à partir de l'origine, a pour valeur :

= ff^di,

et par conséquent il est égal à la percussion normale multipliée par le coefficient de frottement. Si Ton différentie d'ailleurs les formules qui donnent x et y, on trouvera :

dp

Tx = '^"^ ^-

La direction de la tangente à cette courbe auxiliaire est donc la même que celle de la vitesse relative tangentielle à l'instant /. On peut donc énoncer la proposition suivante :

// existe une courbe située dans le plan de contact, passant au point de contact et donnant la loi du choc. Son rayon vecteur représente la percussion tangentielle diie au frottement; sa tangente a la direction de la vitesse relative et son arc, compté à partir de torigine, est égal au produit du coefficient de frottement par la percussion normale reçue par chacun des co)^s depuis le commencement du choc.

Il résulte des formules (25) que cette courbe satisfait à l'équation différentielle

dy v^ sin Çq — a'x — J'y 4- c' s

dx t?o cos 9^ — ax — by -{- es

et par conséqijient les recherches précédentes peuvent être considérées comme donnant l'intégrale de cette équation {}),

(1) Considérons d'une manière générale l'équation différentielle

V(FTT7«My"n^'^~ ^ ^^'^*

où y' désigne -- et X une fonction de in seule variable œ. Il est aisé de reconnaître

qu'nllo comprend, comme cas particulier, celle qui a été considérée daos le texte. Il sullli, on effol, pour retrouver celle dernière éffualion, rie prendre :

F ry') = - a' - ^'y' + 'î' \^T+y^ f (y') = r, sin 9,. «l>(y')=— a — ^y' + c N/HFy'^ ? (y') = «• cos ç,.

Ncms allons monlrcr qu'on peut inlcgrer très simploraonl l'équalioa (a). Pour cola.

Revenons aux formules (29) et voyons comment on déterminera la fin du choc. Dans le cas des corps mous, il n^j a pas de difficulté : le choc se terminera quand la vitesse relative normale fv sera réduite à zéro. Mais il peut y avoir des corps élastiques dans lesquels le frottement n'est pas nul, par exemple deux billes d'ivoire dépoli. Dans ce cas, rien ne nous guidant, on peut revenir à Tancienne hypothèse et supposer que, lorsque les corps se détendent après s'être

posons:

<p(y')+/?(y')Xrf<r = ).,

et par couséquent :

/(y')+/F(y')Xrf»=>0(y');

on aura, on différentiant,

^<^y' + P(y')Xrf<»=9(y)rfx + x^rfy',

et, si l'on élimine X da, on trouvera :

dy' dy

Cette équation linéaire fera conaallro X on fonction do y\ On déterminera ensuite a au moyen do la formule

où les variables sont séparées, et enfin y par la formule

dy = y' dœ.

L'inlé$;ration de l'équation difTérenticUe est ainsi ramonée à une série do quadratures. Si dans l'équation (a) on remplaçait \dap par<ff (â7, y), on serait, par une méthode analogue, ramené à l'intégraiiou de l'équation

L'équation (a) comprend comme cas particulier les suivantes :

aaf-\'by + C8-hF(y') __ ,,.

a'M- à'y + c's + ^W)"'^^ ^ et

aw* + F(y') -\-j Jwdy . ,.

Cette dernière équation, correspondante au cas où Ton prend X =:â;, équivaut à une relation assez générale entre lu tangente et l'uiro d'un segment de la courbe cherchée.

comprimés, ils reçoivent une percussion normale égale à celle qui s'est développée dans la première partie du choc. Alors il suffira de calculer la percussion normale relative au cas du choc des corps mous et de prolonger le choc jusqu'à ce que la percussion normale ait pris une valeur double de celle que Ton a ainsi calculée. Pour plus de netteté, nous traiterons toujours, dans ce qui va suivre^ le cas du choc des corps mous.

D'après les hypothèses faites sur le sens de Taxe des z^ la percussion JN^/ sera toujours positive et la valeur initiale w^ de w sera

négative. Par suite, la première des formules (29) nous montre que 9,

do

partant de la valeur o^, devra varier de telle manière que -^ soit

positif; donc on connaîtra le sens de la variation de 9. Désignons par a la première racine de l'équation

que 9 atteindrait en variant dans le sens indiqué, et cherchons si le choc sera terminé avant que 0 ait atteint la valeur a. L'équation qui définit la fin du choc est :

(30) fv = Q = w^+ \ —

Si cette équation admet une racine comprise entre zéro et 2, il n'j aura pas de difficulté; les formules (25), (29) seront applicables jusqu'à la fin du choc, et elles feront connaître les percussions tangentielles et normales, et par conséquent la vitesse finale des deux corps. Je dis que ce cas se présentera toujours toutes les fois que la quantité que nous avons désignée par H sera positive pour ç = a. En effet, nous avons vu que l'expression

X (aX + bY -\- cZ) + Y (a'X + J'Y -♦- c'Z) -♦- Z (a'X + d'Y 4- e'Z)

est toujours positive, quelles que soient les quantités X, Y, Z. Faisions :

X = — fcosf^y Y =z — /^sinç, Z = l;

on aura, en conservant les notations adoptées :

A' — / (A' cos 9 4- A' sin 9) > 0,

ce qui, d'après les formules (25), équivaut à l'inégalité

dw — fdv > 0, et, par conséquent,

(31) IV — IV, — f(v — f o) > 0.

do Or, si 9 se rapproche de la racine a, -^ devient infini positif,

puisque nous avons vu que le signe de i^ est toujours celui de A.

Si donc H est positif dans le voisinage de la valeur a de 9, Tinté-

rUdo grale I — -^ deviendra infinie positive, et il en sera de même de 9,

qui a pour valeur :

(32) v=Voe

Ainsi, si 9 variait de zéro à a, v et par conséquent t) — fp croîtraient indéâniment, et, en vertu de Tinégalité (31), il en serait de même de w. Donc, avant que 9 ait atteint la valeur a, w aura pris tel accroissement positif que Ton voudra, et, comme sa valeur initiale est négative, elle aura passé par zéro ou par toute autre valeur positive qui marquera la fin du choc.

Si, au contraire, on a H < 0 pour 9 = a, il pourra se faire sans doute qu'il y ait encore une valeur de 9 comprise entre 9^ et a et annulant w, mais il pourra aussi arriver que 9 atteigne la valeur a sans que w soit devenue nulle. En effet, dans ce cas, v deviendra nulle pour 9 = <x et l'intégrale

•/fo

qui tendra vers une valeur finie quand 9 s'approchera de a, aura un maximum en valeur absolue. Si ^r^, par exemple, est supérieure à ce maximum, l'équation (30) n'aura pas de racine entre 9^ et a.

Voilà donc un cas tout aussi général que le précédent et qui avait été négligé, celui oîi la vitesse relative tangentielle devient nulle avant la fin du choc. Nous allons l'étudier d'une manière détaillée.

Et d'abord l'étude qui a été faite de questions analogues (roulement

(les sphères, des cjlindres) nous avertit qu'il peut se produire deux espèces tout à fait différentes de mouvements :

Ou bien la vitesse relative tangentielie continuera à demeurer nulle, et alors la force de frottement ne sera assujettie qu*a Tunique condition d'être inférieure à la force normale multipliée par le coefficient de frottement; en d'autres termes, la force appliquée à Tun des corps devra faire avec la normale commune un angle moindre que Tangle de frottement. Ce sont là les lois du frottement quand il y a repos relatif dM contact.

Ou bien la vitesse relative tangentielie reprendra des valeurs finies, et il reste à déterminer le mouvement' qui pourra se produire dans ces conditions.

Examinons d'abord le premier cas. Soient N la composante normale de la force à un instant quelconque, 0, 0, ses composantes tangentielles. Puisque la vitesse tangentielie v doit demeurer nulle, il faut que Ton ait :

ae 4- Jô, + <?N == 0, a'OH- J'e, -h <:'N = 0, ce qui donne :

Exprimons que la composante tangentielie est plus petite que /N ; nous aurons Tinégalité :

/^N* — e* — oj > 0,

et, par conséquent, en posant :

(33) K = /' {ab' — baf — (ad — ca^ — (bc' — c6')\

il faudra que Ton ait :

Si cette inégalité n'est pas satisfaite, le mouvement précédent sera impossible.

Examinons maintenant ce qui arrivera si Ton suppose que la vitesse tangentielie relative, après être devenue nulle, reprenne des valeurs

finies. Alors réquation différentielle

(A' cos 9 — A s\n (^) dv = V (A' sin 9 -h A cos ç) do,

nous montre que la seule solution possible sera :

A' cos 9 — A sin 0 = 0, do =^ 0,

Ainsi, dans le mouvement qui se produira, la direction et le sens do la vitesse relative demeureront constants, et 9 ne pourra être qu'une des racines de Téquation précédente.

Or cette équation admet quatre racines qui peuvent être toutes réelles. Nous sommes donc amenés à discuter jusqu^à cinq mouvements différents qui peuvent se produire : ceux, au nombre de quatre, qui correspondent à ces différentes racines, et celui pour lequel la vitesse v^ tangentielle demeure nulle. Si deux de ces mouvements étaient possibles simultanément, on rencontrerait un fait très intéressant, mais qu'aucun des exemples traités et connus ne nous permet de prévoir. Nous allons en effet montrer, par une discussion détaillée, qu''il n'y a jamais indétermination, qu'il n'y a jamais à choisir entre deux ou plusieurs mouvements également possibles.

Nous développerons d'abord quelques remarques préliminaires.

P Dans le cas où la vitesse tangentielle reprend une valeur finie, on a, nous l'avons vu, 9 = const., et les formules (27) nous donnent sans difficulté :

(/p = HNrf/, v = }îj^dt.

Or, ^etjNi/sont positifs; il faut donc que H le soit aussi. Ainsi,

pour que le mouvement correspondant à une racine a de l'équation A = 0 soit possible, il faut que cette racine a rende la quantité H positive. Il suit de là que si la vitesse tangentielle est devenue nulle pour une certaine valeur a de 9, comme cette valeur a est une racine de A rendant H négative, la vitesse ne peut reprendre une valeur finie, 9 étant égal à a.

2** Puisque le signe de H pour chaque racine de A a une grande importance, cherchons à le déterminer. A cet effet, nous remarquerons Tidentitc fondamentale dans cette discussion :

H 4- A' = — a/* sin* 9 — b' f cos- 9 4- (ô 4- a') fsia 9 cos 9.

A' désignant la dérivée de A par rapport à 9. Despeyhous. — Mécanique. II. 37

En vertu des inégalités (26), le second membre est toujours négatif. Donc H est négative pour toute racine de A qui rend la dérivée A' positive au nulle. Telle est la proposition qui rendra possible la discussion suivante.

3^ Formons Téquation qui donne les quatre valeurs de H ; on a :

A = A' cos ç — ' A sin ç = 0, A' sin 9 + A cos ç -= H, et, par conséquent,

COS 9 sin 9 ou, en développant,

c — (af 4- H) cos ç — bfsm ç == 0, c' — «Y cos 9 — {b'f 4- H) sin 9 = 0,

ce qui donne, en éliminant 9,

^ca' - ae' - c' ?)'+ (eb' - àe' + 'jj

= [(as- - ba') 4- ^ (« -H >') -+- ^J r-

Uéquation développée est :

-f- 2 [(a 4- b') {ab' ^ba')P — c {cb' — bc') 4- c' (ca' — ac')] ^ 4- r {ab' - J(i')' - (^«' — «<?')• - (<^*' — àc'y = 0.

Le dernier terme de cette équation est la quantité que nous avons désignée par K.

Ces remarques faites, nous pouvons commencer la discussion.

1^ Supposons d^abord que l'équation A = 0 n'ait pas de racine réelle. Alors les quatre valeurs de H sont imaginaires et la quantité K est positive, puisqu'elle est le dernier terme de Téquation précédente, dont les quatre racines sont imaginaires. Si, au début du choc» la vitesse

tangentielle est nulle, elle demeupera nécessairement nulle, K étant positif et aucun des quatre autres mouvements n^étant réel. Si au contraire elle n*est pas nulle, elle ne le deviendra jamais, et les formules (29) seront applicables jusqu'à la fin du choc.

2^ Si réquation A = 0 a deux racines réelles, pour une de ces racines la dérivée 1' sera positive, et, par conséquent, la valeur . correspondante de H sera négative. Si les deux valeurs réelles de H sont négatives, le dernier terme de Téquation (34) en H sera positif, et, par suite, si la vitesse v devient nulle à un instant du choc, elle ne pourra que le demeurer. Au contraire, si une seule valeur de H est négative, K sera aussi négatif; et, si la vitesse v devient nulle avant la fin du choc, elle ne pourra pas le rester; mais il se produira le mouvement dans lequel 9 prend une valeur égale à la racine de A pour laquelle on a H > 0.

3° Enfin, si Téquation A = 0 a ses quatre racines réelles, il y en aura deux rendant A' positive, et, par conséquent, deux au moins pour lesquelles on aura H < 0.

Si Ton a E < 0, il y a un nombre impair de valeurs de H négatives ; il j en a donc alors trois. Ainsi, il existe trois valeurs de 9 pour lesquelles la vitesse .9 peut devenir nulle; mais, E étant négatif, cette vitesse ne pourra rester nulle, et il se produira le mouvement dans lequel 9 prendra une valeur égale à Punique racine de A pour laquelle on a H > 0.

Si Ton a E > 0, nous allons montrer que Péquation (34) n'a que des permanences, et par conséquent que les quatre valeurs de H sont négatives. Mais, pour simplifier le calcul, nous admettrons que Ton ait choisi les axes de telle manière que c' soit nulle. Cela revient à faire passer le plan des xz par la direction de la vitesse relative qui serait imprimée par les deux percussions égales et contraires, dirigées suivant O2.

On a, dans le cas qui nous occupe :

r {ab' — ba'Y — e^ (a'* + b'*) > 0,

Rappelons les inégalités

(«• 4- by — 4ai' < 0, a > 0, ô' > 0,

qui donnent :

(a' — *)* < 4 {ab' — ba'),

et par conséquent :

aV — ha* > 0.

Si nous nous reportons à féquation (34), nous voyons immédiatement que le coefficient de H' est positif. Il reste à démontrer qu^il en eât de môme des coefficients de H et de H*. Nous emploierons pour cela les deux inégalités :

{aV — ôa')» '

Le coefficient de 2 — est :

L = (a + V) {ah' — ho:) p — c*ô'.

Le coefficient de P étant positif, remplaçons P par sa limite inférieure. Nous aurons :

^ ^''^' 7 ""'^ >(a + V) («•» + >••) - b' (aV - ba'),

ou

L(aô' — ha')

> art* 4- ô' («'* 4- J'*) 4- ^J' a'.

Remplaçons encore a par sa limite inférieure, et nous aurons : 4^' h {ah' — ha*)

> (a'* 4- ha' 4- 2y V,

ce qui démontre que L est positif.

H* Passons au coefficient de — • On a, en le désignant par L,

L, = ^ [(a 4- ô')' 4- 2 (ah* — ha*)'\ — c" et, en remplaçant P par sa limite inférieure : L, {ah* - ha*y

> {aa' 4- hhy 4- 4aô' («'» 4- *'*) 4- (a'* 4- &'*) (*'* — J« — 2*a'),

Si Ton remplace dans le second terme a par sa limite inférieure, on trouve :

et, par conséquent, Lj est encore positif.

Ainsi, toutes les fois que Téquation A' = 0 aura sbs quatre racines

réelles et que K sera positif, les quatre valeurs de H seront négatives.

Alors, pour quatre valeurs de ç», la vitesse v pourra devenir nulle;

mais, quand elle le sera devenue, elle restera nulle jusqu'à la fin

du choc.

En résumé, il n*y a jamais d* indétermination dans le mouvement. Dans le cas où la vitesse v demeurera nulle, il faudra substituer

aux équations (29) les suivantes :

!0 = aO 4- 06, 4- cN, .Oizza'e-f-ô'e, -Hc'N, W= W\ -H ft'e 4- J'6, 4- C'N,

qui serviront jusqu'à la fin du choc; vo^ désigne la valeur qu'a w au moment où la vitesse v devient nulle.

J'indiquerai, en terminant, un exemple assez sin^ple qui met en évidence la plupart des cas de la discussion précédente; c'est celui d'un corps solide de révolution qui vient rencontrer obliquement un plan fixe.

SUR LES RAPPORTS DE LA THÉORIE DES MOMENTS D'INERTIE AVEC CELLE DES SURFACES HOMOFOCALES.

Od a vu, daus le texte, comment la détermination des axes et des moments principaux d^inertio relatifs à un point donné se rattache à la considération d'un système de surfaces homofocales du secoud degré. Les rapports entre la théorie des moments d'inertie et celle des surfaces homofocales du second degré sont nombreux et importants; depuis Dupin et Binet ils ont été Tobjet de travaux variés, parmi lesquels il faut citer ceux de 0. Hesse^ exposés dans les Vorlesunçen Uber analytische Oeomelrie des Raumes; nous nous proposons d'indiquer ici la méthode que nous avons suivie, il y a déjà longtemps, dans notre enseignement de la Sorbonne et de TÉcole normale.

Cette méthode repose tout entière sur Tattribution d'un coefficient spécial, non seulement à chaque droite, mais à chaque point et à chaque plan de Tespuce.

Nous appellerons moment d'inertie du corps par rapport à un point 0 la somme des produits des masses des molécules par le carré de leur distance au point 0. Pour abréger, nous donnerons à ce moment d'inertie le nom de paramètre du point.

Le moment d'inertie par rapport à un plan (P) sera de même la somme des produits des masses des molécules par le carré de leur

distance au plan (P). Ce moment dMnertie recevra également le nom

de paramètre du plan.

Enfin le moment dMnertie par rapport à une droite sera appelé

paramètre de la droite.

Nous considérerons simultanément ces trois systèmes de paramètres- Si le corps est rapporté à un système d^axes rectangulaires, le

paramètre de Torigine sera :

Zm {x* -f- y* 4- s«),

m désignant la masse d*un point matériel quelconque du corps etx, y, z ses coordonnéss. Le paramètre de Taxe des z sera, avec les mêmes notations :

Zm («• -f- y*).

Ceux des plans coordonnés des yz^ des xz et des xy sont respectivement :

Zmx^, Zmy^y Zmz^.

De ces expressions si simples, relatives à un système arbitraire d'axes rectangulaires, résultent les théorèmes suivants :

Le paramètre d'un point quelconque est égal à la somme des paramètres de trois plans rectangulaires quelconques se coupant en ce point. Par conséquent, si un trièdre trirectangle se meut de teUe manière que son sommet reste Jlxe, la somme des paramètres de ses trois faces demeure co stante.

Le paramètre d'une droite quelconque est égal à la somme des paramètres de deux plans rectangulaires quelconques se coupant suivant cette droite. Par conséquent si un dièdre droit tourne autour de son arête qui reste Jlxe, la somme des paramètes de ses deux faces demeurera constante.

Si on considère une droite et un plan perpendiculaires, le paramètre de leur point d'intersection est égal à la somme des paramètres de la droite et du plan. Par conséquent si un plan et une droite, assujettie à rester perpendiculaire au plan, tournent autour de leur point commun, la somme des paramètres de la droite et du plan reste constante.

Nous signalerons également les propositions suivantes dont la démonstration est très facile.

Le paramètre d'un point quelconque' est égal au paramètre du centre de

graûité, augmenté du produit de la masse totale par le carré de la disùanee des deux points, .

Le paramètre d'un plan eU égal au paramètre du plan parallèle mené par le centre de gravité, augmenté du produit de la masse par le carré de la distance des deux plans.

Ces deux propositions sont analo^^ues à celle qui a été donnée, relativement a la droite (p. 177) et qu'on peut énoncer comme il suit :

Le paramètre d'une droite est égal au paramètre de la droite parallèle vienée par le centre de gravité, augmenté du produit de la masse par le carré de la distance des deux droites.

Nous allons d'abord considérer tous les plans passant par une droite et nous étudierons comment varient leurs paramètres. Supposons que cette droite ait été prise pour axe des z. L'équation de Tun quelconque des plans qui la contiennent sera :

(1) ux 4- t?y = 0,

et le paramètre P de ce plan aura pour expression :

{ux -f- vyf aw' -h 2buf> -h et?'

en posant pour abrég-er,

(3) '^mx* = «, Imxy = J, Zmp^ = c.

Il résulte de la formule (2) qu'il y a en général deux plans correspondants îi une valeur donnée, ?„, du paramètre. Si Ton suppose que l'on ait pris les plans bissecteurs de ces deux plans pour plans des x: et des yz^ la constant'3 b sera nulle, et la formule (2) prendra la forme :

(4) P 1= — — = a cos- i -{- c sin' ê,

i désignant l'angle du plan avec le plan des yz dont le paramètre est a. La formule (4) nous permet de reconnaître comment varient les para< mètres des différents plans passant par la droite. Il est clair que P

passera par toutes les va'eurs intermédiaires entre a et c et qu'il obtiendra une même valeur p pour les deux plans correspondants aux valeurs de i définies par Téquation

p z=: a ces' i 4- c. sin' i ;

d'où Ton déduit :

tg^

Dans le cas exceptionnel ou a sera égal à c, les paramètres de tous les plans passant par la droite seront les mêmes. En réunissant ces résultats nous obtenons le théorème suivant :

Si nous considérons tous les plans passant par une droite, deux plans de même paramètre admettent toujours les mêmes plans bissecteurs (P„), (P,). Soient ;?„, p^ les paramètres de ces deux plans. Le paramètre d'un plan (P) faisant l* angle i avec-{y^ sera donné par lajbrmule

(5) p =p^ cos' i 4- p^ sin' i,

e£ par conséquent lorsque i variera de 0 ài:, p passera deux fois par toutes Us valeurs comprises entre p^ et p^.

Imaginons maintenant que l'on considère les plans ou les droites assujettis seulement a passer par un point fixe 0. Prenons pour axes coordonnés les axes principaux du point 0 et posons :

On a vu que l'on a : ' \

Zmyz = ^mxz =:= '^Lmxy = 0.

Le paramètre p d'un plan quelconque passant par 0 et représenté par réquation

ux -h vy + w^ = 0, sera donné par la formule :

(6 p = Zm^ z ^=z — ^ V-^

Si /, i\ i' désignent les angles du plan avoc les plans des y;, desa?J

et des zy^ la formule précédente peut encore s^écrire :

^7) /) = a cos' i -+- P cos" i' -f- Y cos* i'.

Il résulte de Téquation (6) que tous les plans de paramètre donné p devront satisfaire à Téquation :

(a — ;?) tt« + (3 — ;?) 1?» + (y — ?) «?* = 0, ' et par conséquent qu'ils envelopperont le cône :

OL — p P — p Y — p

Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Tous les plans de même paramètre passant par un paM donné O

enveloppent un cône du second degré. Les canes correspondants aux diverses

valeurs du paramètre sont homojbcaux»

Considérons maintenant les droites passant par le point O. Si les

équations

représentent une telle droite, son paramètre xs aura pour expression :

/ « (^^y — t?^)* -h {wx — uzf + ipx — uyY 1 jj —. \^jff^

et les droites de même paramètre vs engondreront un cône dont Téquation sera évidemment :

(10) 0 -h Y — ct) «' -^ (Jt 4- Y — ^) y' + (3t + P — cy) ^* = 0.

Les cônes correspondants aux différentes valeurs de rs seront homocycliques. Mais il e^t clair que Ton pourrait les obtenir d'une autre manière. Si l'on élève en effet des perpendiculaires en 0 à tous les plans de même p iramètre passant en ce point 0, il résulte de Tun des théorèmes énoncés à l'article I que toutes ces perpendiculaires auront le même paramètre. Par conséquent, tous les cônes représentés par réquation (9) seront supplémentaires des cônes liomofocaux repré-

sentes par Téquation (8). Les focales de ces derniers cônes seront, par suite, perpendiculaires aux plans cycliques des premiers. Ainsi :

Toutes les droites de même paramètre passant par un point engendrent un eâne du second degré. Les cônes correspondants aux diverses valeurs du paramètre sont homocycliques et sont les supplémentaires des cônes homo- /beaux, enveloppes des plans de même paramètre.

En rapprochant les uns des autres les résultats donnés dans cet article, on retrouverait les principales propositions relatives aux cônes du second degré. Nous nous dispenserons de les développer, car nous les obtiendrons plus loin sous une forme plus générale. Nous discuterons cependant une question relative aux paramètres des plans passant par une droite quelconque.

Si Ton mène par cette droite deux plans de même paramètre, ils

seront tangents à Tun des cônes homofocaux représentés par Téquation (8). Nous avons vu, au début de cet article, que leurs plans bissecteurs sont fixes et correspondent à ces valeurs du paramètre pour lesquels les deux plans de même paramètre viennent se confondre. Nous sommes ainsi conduits au théorème suivant :

Si, par une droite fixe, on mène des plans tangents aux cônes homofocaux représentés par Véquation (8), les plans bissecteurs de ces couples de plans tangents demeurent Jlxes; par conséquent^ deux des cônes homo/ocaux passent par la droite, s*y coupent à angle droit; et de plus les paramètres de ces deux cônes donnent les limites extrêmes entre lesquelles varie le paramètre d'un plan passant par la droite.

Etudions maintenant la loi dç la variation des paramètres de tous les plans de Tespace. Si Ton rapporte le corps aux axes principaux du centre de gravité, on aura :

^mj/z = l7nxz =z Zmxy = 0, Zmx =Zntp 1= Xw^ =0.

Pour plus de simplicité, nous supposerons que les unités aient été choisies de tellç manière que lii masse toti^Ie du corps SQit égale à l

588 COURS DE MÉGANIQUE.

et nous poserons :

Soit:

(1 1) ux H- ry 4- ?r« 4- /? = 0,

réquation d'un plan quelconque. Le paramètre it de ce plan sera défini par réquation :

,,^. ^ ^, (ux -h tJy -+- 1P^ -\- p? au^ -h bv^ + cw* 4- />'

(12) k = Im ^-^— =z r — ^ •

Tous les plans de même paramètre k satisferont par suite à réquation

(13) {k — a) tt' + (i — b) v» + (>i — C) 7P^ = p\

et par conséquent ils envelopperont la surface dont réquation en coordonnées ponctuelles est :

(li) -^ 4- -y- 4--^— =1.

La forme de cette équation donne immédiatement le théorème suivant :

Tous les 2>^ans de môme paramètre envelappenC une sur/ace du second degré, admettant j^our centre unique le centre de gravité et pour axes les axes principaux du, corps. Toutes les sur/aces correspondantes aux diverses valeurs du paramètre sont homo/ocales,

A'i moyen de ce théorème on peut résoudre très simplement la question examinée dans le texte (p. 185) et, étant donné un point quelconque M de l'espace, déterminer les axes principaux et les moments principaux relatifs a ce point.

Considérons en effet exclusivement des plans passant par M. Ceux qui sont de paramètre k sont tangents à la surface homofocale de même paramètre. Le théorème démontré à l'article II nous conduit donc à cette proposition fondamentale et bien connue que les cônes de même sommet, circonscrits k une série de surfaces homofocales, sont homo!*0o'aux. L'équation (8) de ces cônes montre de plus que trois d'entre eux se réduisent k des plans qui sont les plans principaux du point M, et cela pour les valeurs a, 3, y ^6 k. Or le cône circonscrit

à une surface ne peut se réduire à un plan double que si la surface vient passer par son sommet. Nous voyons donc que trois des surfaces représentées par Téq^uation (14), correspondantes a des valeurs réelles de ky viendront passer parle point M, et que leurs trois plans tangents seront les plans principaux de ce point. Elles se couperont par conséquent à angle droit. On retrouve ainsi la propriété fondamentale des surfaces homo focales.

Soient x^, y^^ z^ les coordonnées du point M. Les racines de Téquation

seront les valeurs de a, 3, y. Si on les désigne par p, p,, p, le plan tangent à la surface (p,) aura p,- pour paramètre. Par conséquent les paramètres des trois axes principaux seront :

p, -h p, pour la normale à la surface (p ),

P -+- F. — (Pi)»

P -*- fi — . (?0-

Ces résultats concordent, on le reconnaîtra aisément, avec ceux qui ont été donnés à la page 189.

Le paramètre du point M sera :

ou, en calculant la somme des racines de Téquation (15) :

a -f- ô H- c 4- aï' -h y' 4- ;?*.

On voit que, conformément à une proposition de l'article I, le paramètre du point M est égal à celui du centre de gravité, augmenté du carré de la distance des deux points.

D'après l'expression que nous venons de donner du paramètre d'un point quelconque, nous voyons que le lieu des points de même paramètre sera une sphère ayant pour centre le centre de gravité du corps. D'après cela, considérons trois surfaces liomofocales de paramètres ^, Aj, k^. Si un trièdre tri-rectangle a ses faces respectivement tangentes à ces trois surfaces, le paramètre de son sommet qui, d'après une proposition de l'article I, est égal à la somme des

paramètres des troid faces, sera constant et égal à

Par conséquent le lieu de ce sommet sera une sphère concentrique aux trois surfaces. Ce théorème est dû à M. Chasles qui Ta donné dans V Aperçu historique. Si Ton suppose que les trois surfaces coïncident on retrouve le tliéorème de Monge, relatif au trièdre tri-rectangle circonscrit à une surface unique.

Considérons maintenant deux surfaces homofocales de paramètres kf^ et k^, et menons-leur deux plans tangents parallèles. Diaprés nne proposition donnée à Tarticle I, les paramètres de ces deux plans seront :

l désignant le paramètre du plan parallèle mené par le centre de gravité et d, d' les distances du centre de gravita à ces deux plans. Comme on a :

on peut énoncer le théorème suivant :

La difiretice des carrés des distances du centre à deux plans tangenU parallèles, menés à deux sur/aces àomo/fcales, est constante et école d la diférence des carrés des paramètres de ces sur/acei.

Nous allons obtenir d^autres conséquences, d*une démonstration moins facile, en étudiant les rapports d^une ligne droite avec les surfaces homofocales.

Menons par cette droite deux plans tangents à Tune quelconque des surfaces homofocales. Ces plans auront le même paramètre et noua avons vu que leurs plans bissecteurs seront toujours les mêmes, quelle que soit la valeur du paramètre, c'est à dire quelle que soit la sarfitce homofocale k laquelle ils sont tangents. Lorsque ces deux plans se confondront, ils devront coïncider avec Tun ou Tautre de leurs deux plans bissecteurs. Ils ne peuvent d^ailleurs se confondre que si la surface homofocale a laquelle ils sont tangents devient elle-même tangente à la droite. Cette remarque nous donne la proposition suivante :

Étant donnée une droite quelconque, il y a deux sur/aces homofocales

réelles tangentes à la droite et les plans tangents à ces deux surfaces en leur point de contact avec la droite sont rectangulaires. Ces deux plans sont les plans bissecteurs du dièdre que Von peut former en menant par la droite des plans tangents à toute autre surface du système homq/ocal.

Il résulte des développements donnés à rarticle I que le théorème précédent ne peut se trouver en défaut que lorsque tous les plans passant par la droite ont le même paramètre. Alors tous ces plans sont tangents à une même surface homofocale, et par conséquent la droite est une génératrice rectiligne de cette surface.

Soit M un point de la droite. Rapportons-la aux trois axes principaux de ce point. Soient p, p,, p. les paramètres des surfaces passant en M. L^équation du cône de sommet M circonscrit a la surface (Ji) sera :

Soient i, i\ i* les angles que fait la droite avec les normales aux surfaces (p), (pj, (pj respectivement. L'équation en k :

cos* i cos' i' cos' i'

déterminera les deux cônes passant par la droite; c'est à dire elle fera connaître les paramètres des deux surfaces homofocales tangentes à la droite. Si on désigne par k^ et k^ ces paramètres, on aura :

cos' i cos' i' cos' i'

Q,^X 1 ^0 — P *• -" Pi *• Pi

cos' i cos' i' cos' i'

*i — P *i — Pi ^1 — Pi

Ces deux équations permettent de déterminer î, i\ i\ On en déduit :

'■ cosM = <P - *•) (P - *.)

(? — Pi) (? — p.) „i .•' (Pi — *.) (Pi — *i)

(18) cos' i' =,

f cos' i' = <P«-'^«)(P'-*') .

(pi — P) (?• — Pi)

On peut, en utilisant les formules précédentes, obtenir des résultats très importants, relativement aux droites pour lesquelles k^ et k^ ont la même valeur, c^est à dire qui sont tangentes à deux surfaces homofocales déterminées. Mais, pour cela, il est essentiel de rappeler quelques formules relatives au système de coordonnées elliptiques.

Reprenons Téquation :

^ ^ k — ak — bk — c

qui représente les surfaces enveloppes des plans de même paramètre. Nous avons vu qu'il en passe trois par un point quelconque de Tespace. C'est ce que montre d'ailleurs aisément la discussion de l'équation précédente ou l'on considère ^, ^, z comme données et k comme une inconnue à déterminer. Si l'on suppose a, ô, c rangés par ordre de grandeur décroissante, elle admet trois racines réelles; l'une que nous désignerons par p, supérieure îi a\ l'autre que nous appellerons p^, comprise entre a et ô; la troisième que nous désignerons par p„ comprise entre b et c. Ces trois racines correspondent respectivement à un ellipsoïde, a un liyperboloïde à une nappe et à un hyperboloîde à deux nappes. Par suite, si l'on décompose le système des surfaces homofocales en trois familles composées, la première des ellipsoïdes, la seconde des hyperboloïdes à une nappe et la troisième des hyperboloïdes à deux nappes, nous pourrons dire qu'il passe une surface de chacune des trois familles par tout point de l'espace. C'est ce que montrerait d'ailleurs aisément la discussion des formes successives que prend la surface appartenant à une famille donnée, quand le paramètre qui la détermine prend toutes les valeurs possibles. Par exemple les ellipsoïdes (p) commencent à être confondus avec la portion du plan des yz comprise à l'intérieur de la focale elliptique réelle; ils grandissent ensuite indéfiniment et leurs trois axes dépassent toute grandeur donnée. Il passe donc un ellipsoïde et un seul par chaque point de l'espace.

Lorsqu'on emploie le système de coordonnées elliptiques, on substitue

aux coordonnées x, y, c d^un point les paramètres p, p^, p. des trois surfaces homofocales qui passent par ce point. Il est vrai qu'à un système de valeurs do p, p^ p^ correspondent les huit points d^intersection des trois surfaces homofocales correspondantes; mais ces points sont placés symétriquement par rapport aux trois plans principaux et des considérations très simples de continuité permettent, dans chaque question, de reconnaître le point auquel se rapportent les valeurs trouvées des cooordonnées elliptiques.

Si Ton se reporte à Téquation (19) en y regardant ^, p, z comme les coordonnées d'un point quelconque et k comme un paramètre variable, elle admettra pour racines les coordonnées elliptiques p, p^, p. du point considéré. On pourra donc écrire Tidentité :

,20N l J?! t '" ^U-P)(^-P«)(^-Pt)^

^ ^ h — a k — h k^c {k — a){k — by{k — c)'

qui devra avoir lieu pour toutes les valeurs de k. En décomposant le second membre en fractions simples, on obtiendra les valeurs de ^'> y'> **• Où trouve ainsi :

/ ^»^(^ — P)(^ — Pi)(^— P«) {a — b) {a — c)

\ , ^ (^-p) (^--p.) jb^p,)

Si Ton posait, pour abréger,

les valeurs de x^ y, z pourraient s'écrire :

- ~r (a) ^ " r ii) ^ r (g)

Proposons-nous maintenant de trouver Texpression de la distance de deux points infiniment voisins dans le système des coordonnées Despeyrous. — Mécanique, II. 38

elliptiques. Les formules (21) nous donnent :

2(p — «) ^ 2 (p, — flî) t^' 2 (p. — a) ^^ = 2(^) ''P -^ 2(^ ''P- -^ 21^ ''^•'

On en déduit par un calcul facile :

. 1 (P. - p) (p. - P.) . . . i (Pt - p) (p. — Pt) j,t

OU encore :

W 4 .. = £| ., . tM .,, , .^) .,,

La forme seule de cette expression montre immédiatement que les surfaces homofocales se coupent à angle droit. Les trois termes qui la composent sont les carrés des projections de Pélément ds sur les normales aux trois surfaces (p)> (pi), (p,) respectivement. Si donc on désigne, comme nous Tavons déjà fait, par », i' , i' les angles de rélément ds avec ces trois normales, on aura :

rf,. cos' i = ^ rfp« = (P-P.)(P-P.) '^P*

(25) ) ds* cos» i' = ^ rfpî = ÎP'-pyp'-P'^ ^P' . i /(p) ^' (p.-«)(p.-^)(pi— c)

Avant d^indiquer quelques applications de ces formules, examinons comment on déterminera la direction de la normale à une surface définie par une équation en coordonnées elliptiques.

Soit:

réquation de cette surface en coordonnées cartésiennes ; elle prendra

la forme :

si Ton introduit les coordonnées elliptiques. On aura en la différentiant :

ou, en se servant des formules (25) :

cos»

-H cos i

^9x\ ? (?i) ^pi r ? (p.)

Dans cette relation, f, i' , i' se rapportent à une tangente quelconque de la surface proposée. D'autre part cette équation exprime que la tangente est toujours perpendiculaire à la direction définie par les formules :

cos^

cos 7

cos;

^l/n?) 0^y/f{?S 0^y/f{9.) à? V 9'(?) àp,V ç'(p,) c?p.V ?'(P.)

Donc/, y',;" sont les angles que fait la normale à la surface (0) avec les normales aux trois surfaces liomofocales (p), (pj, (pj. Si Ton pose, pour abréger,

\à?/ ?'(?) \àpj 9 (pi;

àe,/np)

) Vp./ ?'(p.)

on aura :

cos^ =

P^Ae

cos; =

i^ie

coaj

ûÈi/Lkù.

KAe

On peut obtenir les mêmes résultats par une autre méthode que nous allons faire connaître. En difi'érentiant l'équation (26), on aura :

f)H ()p à^^lli ()^ dp, __<)£ ()p ôx àpi ()x ()p^ f)x àx-

et deux autres équations analogues en y, z. En remplaçant les dérivées de p, pj, p, par leurs valeurs, que Ton trouvera facilement, et en faisant la somme des carrés, on obtient Téquation suivante :

A ajant la signification donnée par la formule (26)". En posant de même :

"■ ' ^ ' '' dp c;p ç' (p) "^ dp, dp. ç' (p.) "^ dp. àp, '/ (p,)

on trouvera :

OS âx ây ôy ôz ôz ^ *^

L'angle des deux surfaces représentées par les équations :

0 = 0, e, =Cj, sera donc défini par la formule très simple :

(31) .osY = ^ll^^-

Ka (0) A (0.)

En supposant que Tune des surfaces, (B^) par exemple, coïneiilc successivement avec les trois surfaces homofocalcs, on retrouve les résultats fournis par les formules (27).

Nous voyons que la condition d'orthogonalité de deux surfaces s'exprime, en coordonnées elliptiques, pur la relation :

Enfin si l'équation

f{x, y, z) =z const.

représente une famille de surfaces parallèles et que la portion de l'une

des normales communes, comprise entre deux surfaces, soit égale à la diflerence des valeurs do la constante correspondantes à ces deux surfaces, on sait que Ton a :

La mcmc propriété s'exprimera en coordonnées elliptiques par la relation :

Après avoir rappelé ces formules générales, revenons à Tensemblo des droites qui sont tangentes à deux des surfaces liomofocales (>(J, {k^). Si Ton envisage une de ces droites, les cosinus des angles qu^elle fait, en un de ses points M, avec les normales aux surfaces liomofocales qui passent en ce point sont donnés par les formules (18). Désignons par dp, rfpp rfp, les dilTérenti elles des coordonnées elliptiques relatives à un déplacement sur la droite et remplaçons, dans les formules (18), i, i', L' par leurs valeurs déduites des équations (25); nous aurons :

i Is' (0 - p,)» (p - p,y

i ^«* (pl — ?)' (?1 — pi)'

(hl . /'(Pi)(pi — ^u)(pa — ^i)

\ ds' (p, p)= (p, - pj» • En extrayant les racines carrées et posant :

on obtient trois équations aux(|uelles on peut donner la forme suivante :

KfV) ^^l''(f.) J^i'cp.)

■ yv(p) Ki-'(?.) p/F(p,)

^- fl- ".' d- '-» d'^

i/F(7) yvij;) i/f7?7)

oh les trois radicaux peuvent prendre d'ailleurs un signe quelconque. Ce sont, en coordonnées elliptiques, les équations d^uno droite tangente aux deux surfaces (k^), {k^). La troisième, qu*on pourrait laisser de côté, donne le chemin parcouru sur cette droite.

Ces équations où les variables sont séparées peuvent évidemment être remplacées par les suivantes :

J i^F (p) J VV (p.) J VV (p.) " J KF (p) j J/F (p.) j V^F (p.)

ou Cq, Cp C, désignent trois constantes arbitraires.

D^autre part nous savons qu'elles peuvent s'intégrer algébriquement, et nous pouvons même obtenir leur intégrale de la manière suivante. Considérons une droite tangente aux surfaces (>t^), (Jt^), Les coordonnées a?, y, z d'un quelconque de ses points s'exprimeront en fonction de $ par des relations de la forme :

IX '=. s cos a + «0, y = 5 cos p 4- è^, z = S cos Y 4- Co >

a,, &Q, c^, a, 0, Y désignant des constantes qui satisferont à Téquation :

cos' a + cos' 3 -h cos' y = l

et à deux autres relations, que l'on obtiendrait en exprimant que la droite est tangente à chacune des surfaces (^„), (A,). On voit donc que les relations transcendantes (36) ou (37) peuvent être remplacées par des équations algébriques. Ce beau résultat généralise celui qui a été mis en pleine lumière par Euler et qui est relatif à l'addition des fonctions elliptiques; il est dû à Jacobi qui l'a déduit, en même temps que d'autres plus généraux, d'un tliéorème fondamental d*Abel.

M. Liouville a donné des propositions précédentes une démonstration très simple que nous allons développer; car elle nous fera

connaître plusieurs propositions qui ne résultent nullement de la méthode que nous avons suivie.

Considérons les surfaces représentées en coordonnées elliptiques par réquation :

On reconnaîtra aisément que 6 satisfait à Téquation : (39) Ae = 1.

Par conséquent les surfaces 6 = const. sont parallèles et la distance de deux quelconques de ces surfaces, comptée sur Tune des normales communes, est égale à la différence des valeurs de 6 relatives à ces deux surfaces.

D'autre part, en différentiant Téquation (39) par rapport à A^ et à Ap on trouvera deux relations que Ton pourra écrire sous la forme abrégée :

On établira également, sans difficulté, Téquation :

/âe oe

qui, jointe aux deux précédentes, nous montre que les trois équations

définissent un système orthogonal. Or la première famille de ce s^rstème est composée de surfaces parallèles; par suite, les deux autres familles seront formées des surfaces développables qui coupent les surfaces de la première famille suivant leurs lignes de courbure. Par consé-

quent les deux équations :

représentent une droite normale aux surfaces (6).

Si nous les différentions et si nous les combinons linéairement, nous retrouverons les deux premières équations (3C), et il est aisé de reconnaître, sur ces seules équations, que la droite sera tangente aux surfaces (AJ, {i^). Supposons par exemple que la surface {k„) soit un ellipsoïde. Quand on fera p = ^^ dans la première équation (36},

on aura :

dp = 0.

La méthode de M. Liouville montre donc de la manière la plus élégante que les équations (41) représentent une droite tangente aux surfaces (A,), (k^). Mais elle établit de plus ce résultat très précieux que toutes les droites tangentes aux deux surfaces homofocales sont normales à une famille de surfaces parallèles, dont elle donne même réquation en coordonnées elliptiques :

(42) e = const.

et elle fait connaître les surfaces développables formées par ces droites. Pour établir avec précision les conséquences des calculs précédents, nous allons présenter quelques remarques géométriques très simples, relatives aux droites qui sont tangentes à deux surfaces quelconques (-i)> (-i)« Ces droites forment un ensemble auquel on a donné le nom de congruence (*). Il en passe un nombre limité en général par chaque point de l'espace; ce nombre est appelé Vordre de la congruence. Il y en a de même un nombre limité dans un plan quelconque; ce nombre a reçu le nom de classe. Dans le cas particulier, que nous avons en

(<) Il csl bon «le remarquer qu'une cougruenco no se rompose p.is nécessairemont do toutes les tangentes communes à deux surfuces. Do môme (|ue la courbe d'in(crse<*tiou de deux surfaces peut se décomposer en plusieurs aulres, qu'il y a inlcrôl à étudier successive m ont, l'eusemblo des tangentes communes à deux surfiices peut former plusieurs congruenccs dislinctes, jouissant do propriclOd dilforenles, qui pourront ù\tv définies dune manière indépendante. Si l'on (vmsidère, par exemple, les normales d'une surface (S), elles seront tangentes aux deux nappes de la surface des centres du courbure ; mais ces deux nappes admettront en général d'autres langenti>s commuues qui formeront une ou plusieurs conç^ruences, distinctes Je la congruence des normales

vue, des droites tangentes à deux surfaces du second degré,, Pordre et la classe sont égaux à 4.

Une surface réglée formée exclusivement de droites de la congruence est en général tangente aux surfaces (ZJ, (^s). Soit en effet (d) une droite de cette surface et soient m^, m^ les points de contact de cette droite avec les deux surfaces. Ces points m^, m, décrivent respectivement deux courbes (Cj), (C,), tracées sur les surfaces (1^), (S,). Supposons qu^aucune de ces courbes ne soit tangente aux positions successives de (d), La surface réglée engendrée par la droite (d) sera évidemment tangente à la surface (ZJ en tous les points de (C^) et à la surface (ZJ en tous les points de (G,). Elle ne sera d'ailleurs dcveloppable que si les plans tangents à (Z J et à (ZJ en m^ et en m, coïncident. Dans ce cas la droite (d) engendrera la développable circonscrite aux deux surfaces. Il suit de là qu'en laissant do côté cette développable particulière, il faut, pour que la droite {d) engendre une développable, qu'elle soit constamment tangente à une courbe tracée sur Tune ou l'autre des surfaces (Zj), (Z,).

Considérons par exemple la surface (ZJ. En chaque point m^ de cette surface passent un nombre limité de droites de la congruence, tangentes en ce point à (ZJ et en un autre point à (ZJ. Si nous considérons les courbes de (Z|) qui sont tangentes en chacun de leurs points a une de ces droites, courbes dont la détermination dépend de l'intégration d'une équation différentielle, elles seront les arêtes de rebroussement d'une développable dont toutes les génératrices feront partie de la congruence. Ainsi :

On peut assembler les droites de la congruence suivant deux systèmes de développables : les unes ont leurs arêtes de rebroussement sur (Z,) et sont tangentes d (Z,); les autres sont tangentes â (Zj) et ont leurs arêtes de rebroussement sur (Z,). Chaqi^ droite de la congruence appartient à une développable du premier système et à une développable du second.

Dans le cas ou les droites de la congruence sont les normales d'une surface (S), les surfaces (ZJ, (Z,) sont les deux nappes de la surface des centres et les développables des deux systèmes se coupent à angle droit. Si donc on regardait les deux nappes (Zj), (Z,) dans la direction d'une normale à la surface (S), elles paraîtraient se couper à angle droit. La réciproque de cette proposition a été établie par M. Bertrand : Toutes les /bis qw. les deux systèmes de développables dans lesquels on peut

distribuer les droites cTune conçruence se coupent â angle droit, les droites sont normales à une famille de sur/aces parallèles.

Appliquons ici cette remarque et soit {d) une droite de la congruence, tangente en m^^ m^ respectivement aux surfaces (Z^), (2,). Les deux développables de la congruence qui contiendront la droite {d\ auront pour plans tangents; Tune, celle qui a son arête de rebrousaement sur (I,), le plan tangent en m^ à (Z^); Pautre, le plan tangent en m, à (X,). Pour qu^elles se coupent à angle droit, il sera nécessaire et suffisant que les plans tangents en m^ et en m, soient rectangulaires.

Nous avons vu que cette condition est satisfaite dans le cas de deux surfaces homofocales du second degré. Nous retrouvons ainsi la proposition de M. Liouville :

Les droites tangentes à deux sur/aces homofocales sont Us normales d*une famille de surfaces parallèles; en d'^autres termes, deux surfaces homofocales peuvent toujours être considérées comme formant les deux nappes de la surface des centres de courbure d'une troisième surface.

Revenons au cas général et considérons Tune des développables dont fait partie la droite {d)y par exemple celle qui est tangente en m, et dont Tarcte de rebroussement (Cj) est sur (Z J. Le plaQ osculateur eu mi à cette arête de rebroussement est le plan tangent de la développable, c'est à dire le plan tangent en m^ à (Z,) ; il est donc perpendiculaire au plan tangent en m^ à (2)J. Par suite la courbe (C J, ayant en chaque point son plan osculateur normal au plan tangent, sera une ligne géodésique de (Zj). La même conclusion s'appliquerait à (Z,). On voit donc que les arêtes de rebroussement des développables sont lignes géodésiques de celle des surfaces (Sj), (ï,), sur lesquelles elles sont tracées.

Ce résultat applique à deux surfaces homofocales montre immédiatement que Ton aurait pu obtenir par la géométrie Tintégrale première de l'équation des lignes géodésiques. Proposons-nous en effet, étant donnée une surface du second degré (S), de trouver la ligne géodésique parfaitement déterminée qui, passant en un point m do la surface, y admet une tangente donnée m\}.. Construisons la surface (S') homofocale à (S), tangente à mix et considérons la congruence formée par les tangentes communes à (S) et à (S'). Nous savons que les développables de cette congruence auront pour arêtes de rebroussement des lignes géodésiques tracées soit sur (S), soit sur (S'). Donc les courbes de (S) dont les tangentes seront également

tangentes à (S'), seront des lignes géodésique?, et parmi elles doit se trouver évidemment colle que nous cherchons. Ainsi :

Les tangentes en tous les points d'une ligne g'ol^siqiie tracée sur une surface du second degré (S) sont tangentes à une autre surface àomo/ocale (S').

Cette proposition conduirait à Tintégrale première que nous avons donnée dans le tome I. Mais pour obtenir Tintégrale finie, il faut employer les coordonnées elliptiques. On peut suivre d*ai Heurs deux méthodes différentes.

Prenons les équations (36) d'une ligne droite et écrivons-les comme il suit :

l/F (p) l/F (pO Kf (p,)

(p — k,) df ^ (?, — K) d?i (p« — K) ^?t Q

ynjy v^Fj^) j/Fl^

La droite étant tangente aux surfaces (^J, {k^), déterminons sa direction au point où elle touche la surface [k^), que nous supposerons être un ellipsoïde. Si nous faisons p == Â^ dans les deux équations précédentes, elles deviennent :

rfp = 0,

(pi — ^o) ^Pl ^ (P« — ^o) ^h Q

La première exprime que la droite est tangente à la surface; la seconde est l'équation différentielle des courbes de l'ellipsoïde (ij, tangentes u la droite dans ses diverses positions, c'est à dire des lignes géodésiques de cet ellipsoïde. Comme les variables y sont séparées, on aura en intégrant :

C'est l'équation en termes finis de la ligne géodésique avec les deux constantes k^ et C.

On obtiendrait le même résultat en donnant à p la valeur constante k^^

dans réquation de M. Liouville :

En effet cette équation représente une développable formée par les tangentes communes aux surfaces (i^), (AJ. On s'assure aisément qu'elle est tangente à la surface {k^), Donc son arêto de rebroussement est sur la surface (AJ et elle est, comme on Ta vu, une des lignes géodésiques de cette surface dont toutes les tangentes sont tangentes à la surface (^j).

A la vérité, La propriété de l'arête de rebroussement d*être géodésique résulte exclusivement des considérations géométriques que nous venons de développer. Mais la méthode de M. Liouville permettrait d'obtenir une démonstration directe» Posons en effet :

Les valeurs de 0, 0^, 0^ données plus haut nous permettent d'exprimer rfp, (/p^ rfp, et par conséquent ds en fonction de âf0, rf0o> ^0|« On trouve ainsi :

(43) ds* = dQ* + (*» - p) (*' - p^H^° - P') dei

■" ôr=Â) ''^•-

Si l'on fait p = k^, on a l'élément linéaire de la surface {k^) sous

la forme :

ds^ = e/B' -h (Aj — pO {k^ — p.) de\.

Un théorème bien connu de Gauss montre immédiatement que le^

lignes

0j = const.

sont des géodésiques de cette surface.

En partant des relations établies entre la théorie des moments d'inertie et celle des surfaces homofocales, on peut démontrer les

relations métriques los plus importantes relatives aux surfaces homofocales et en particulier celles qui servent de base aux beaux Mémoires (le M. Cliaslcs sur les ligues géodésiques et sur l'attraction des ellipsoïdes. Nous nous contenterons ici de donner quelques indications sur rassemhlîigc ou complexe des droites pour lesquelles le paramètre a une valeur donnée.

Nous allons d'abord indiquer une définition géométrique de ce complexe. Soit (d) une droite de paramètre k et soient Â^, i, les paramètres dos deux surfaces homofocales tangentes k la droite. Los plans tangents (/^J, {p^) aux points de contact m^, m^ de ces deux surfaces seront rectangulaires et par conséquent le paramètre do la droite sera égal à la somme de leurs paramètres. On aura donc :

D'autre part les plans bissecteurs des plans {j>^ et {p^ étant é|>alement inclinés sur ces deux plans, auront le même paramètre, et comme ils sont d'ailleurs rectangulaires, la somme de leurs paramètres devra être encore égale à ^. Le paramètre de ces deux plans

sera donc égal à - • Nous obtenons ainsi le théorème suivant :

Le complexe des droites de même paramètre k est formé par les intersections de deux plans tangents rectangulaires quelconques à la surface de

paramètre-'

Remarquons d'ailleurs qu'on peut généraliser cette définition g-éométrique.

Si ton mène à deux surfaces homofocales fixes quelconques de jiaramètres k^^, k^ deux plans tangents rectangulaires, les intersections de ces plans engendrent le complexe formé par les droites de paramètre A<, 4- k^.

Nous allons indiquer les propriétés les plus simples du complexe précédent.

D'abord, toutes celles de ses droites qui passent par un point M de l'espace y engendrent un cône, ayant ses plans cycliques perpendiculaires aux deux génératrices reciilignes de t hyperboloïde homo/ocal qui passe en M.

Nous avons en effet obtenu, à l'article II, l'équation de ce cône. Si l'on désigne par p, p^ p^ les paramètres des surfaces passant en M et si on les rapporte aux normales à ces trois surfaces, cette équation

prendra la forme :

l'itudions de mémo les droites du complexe qui se trouvent dans un plan (P). Soit à le paramètre de ce plan. Si par une des droites da complexe située dans le plan, on mène un plan (P') perpendiculaire à (P), le paramètre de (P') sera évidemment k — A et sera par conséquent constant. Par suite les plans (P') seront tous tang^cnts à la surface homofocalc de paramètre l — à et les droites du complexe situées dans le plan (P) envelopperont une conique, qui sera h trace sw le plan (P) du cylindre perpendiculaire à ce plan, circonscrit à la surface de paramètre k — h.

Il resterait à étudier la surface des sin^^ularitcs du complexe, c*est a dire le lieu des points pour lesquels le cône du complexe se décompose en deux plans et Tenveloppe des plans pour lesquels la conique du complexe se décompose en deux points. Cette surface des singularités est une surface des ondes. Cette propriété, que j'avais communiquée îi Painvin, est devenue, pour cet excellent et regretté géomètre, le point de départ de belles études qu'on pourra lire dans le Bulletin des Sciences )na thématiques (F" série, t. II) et dans les Nouvelles Annales de Matfiématiqnes (2*^ série, t. XI).