III. — Du CHOC DBS CORPS

Le cboc des corps a été Tobjet de nombreuses recbercbes. Poisson, Despeyrous. — Mécanique. II. 3G

parties du choc. Cette remarque permet de déterminer lea composantes normales des vitesses des points des deux corps placés en A, à la fin de la première partie du choc ; car soit u la composante normale de la vitesse du point de choc de (M), on devra avoir :

Wf^ — u =zu — n?,

équation qui exprime que la composante normale de la vitesse varie de la même quantité dans les deux parties du choc. Donc :

Si u' désigne la quantité analogue à u pour le corps (M' \ on aura de même :

Si l'on tient compte de Téquation (19), on aura :

Ainsi, quand l'intégrale J Ni^ a acquis la moitié de sa valeur

définitive, les vitesses normales des deux points de choc sont égales. Si le choc cessait à cet instant, on serait dans le cas des corps mous. Donc, si^ dans le cas des corps parfaitement élastiques, on sépare le choc en deux parties par V instant oU les vitesses normales des deux points de choc sont égales, les percussions relatives à ces deux parties du choc sont égales. En d^autres termes, la percussion dans le cas des corps élastiques est double de celle qui se produit quand les corps sont mous. C^est le point que Ton admettait dans la théorie de Poisson.

Dans le cas des corps mous, le théorème VU trouve son application immédiate ; les points en contact ayant la même vitesse normale dans les deux corps après le choc, les travaux des deux percussions, tels qu'ils doivent être évalués dans cette proposition, sont égaux et de signes contraires. On voit donc que, dans ce cas, la force vive perdue est égale à la force vive due aux vitesses perdues. C'est le théorème bien connu de Carnot, théorème qui n'a d'ailleurs d'autre avantage

que de montrer qu'il y a perte de force vive, sans apprendre à en mesurer la grandeur.

Pour étudier le choc d'une manière plus complète et comprendre tous les cas, nous allons chercher les formules qui relient les vitesses fVf w' y h, un instant quelconque du choc, à la percussion qui s'est produite jusqu'à cet instant, et, en faisant ensuite les hypothèses particulières, nous retrouverons tous les cas.

Désignons par {x, [fJ les paramètres de la normale au point de choc

par rapport aux corps (M), (M') respectivement. La percussion \'^dù appliquée au corps (M) donnera au point de choc la vitesse normale :

= ^0 ■+• - /Nrf/,

résultante de la vitesse initiale to^ et de celle qu'imprimerait la percussion au corps partant du repos. De même la percussion — î ^dô

appliquée au corps (M') donnera au point de choc de ce corps la vitesse normale :

' = wi — i Ç^dt.

Les équations précédentes nous conduisent aux deux suivantes

(22) JXW + JX' «>' = |XWo + |x' tDo

et.

w> — «>' = Wo — ^0 + (- -H -7i iNi/.

Introduisons les vitesses relatives :

W = w — n>\ W<, = Wo — n>Q, L'équation précédente s'écrira :

Si nous substituons la valeur de jNe^/ dans la formule (18), nous

aurons :

(24) ^«ir» — :Lmvl = — p •

Quant à la variation de force vive pour chaque corps, elle sera donnée par les formules (17), qui deviennent :

Wr w

2m w (»* — vl) = {fv -h w^) -j ^,

2m';»(o* — t?;)=-K + ^Po)

Ces/brmuks ne difèrenl en rUn de celles qui seraient relaiioes au choc de deux sphères de masses {jl, {x' . Il est donc inutile de les discuter en détail. On obtiendra le choc des corps mous en faisant W = 0 et celui des corps élastiques en posant W =: — W^.

Cela nous conduit à dire un mpt d^une hypothèse bien connue de Newton, relative aux corps imparfaitement élastiques. Newton admet que pour ces corps le choc sera terminé quand on aura :

e étant une fraction positive qui dépend de la nature des deux corps. On voit que cette hypothèse comprend comme cas extrêmes celles qui répondent au choc des corps mous {e = 0) et au choc des corps parfaiteiaent élastiques (« == I). Il est aisé de reconnaître quelle sera la perte de force vive. Si nous nous reportons à la formule (24), nous trouvons pour Texprcssion de cette perte :

On peut donc caractériser l'hypothèse de Newton en disant quV//^ conduit à une perte de force vice qui est une fraction déterminée, (l — é^)^ et toujours la même, de celle qui se produit dans le choc des corps mous.