ATTRACTION
;9. QuîukI on veut exi)Iiqner les phénomènes do noire
syslruH» phuH'lîiiro, on ]>îui;uil dos lois <1<» la {Jtravilatiun
univofselle. In proniièri» ([n(*sliori <|iio Ton j'onoontrc^ (*st
celle do rallraclion (Tun cori^s oélostc! loul (^ntior sur un
jMÛnt niatoriol, (mi tenant compte do l'attraction de toutes
|(»s inoirTules (pii composent co coriis. Le Soleil et les
]danolos étant à pon juvs splnMiï|nes, nous sommets conduits
à iicMis ocruper d'al)or«l do rallrnolinn d'nnc^ spliorc» sur un
]M>iiit matériel. Nous avons d'ailleurs lont lieu de penser
que si les corps célestes ne sont pas homof^enes, ils sont
Ibi'niés de couches concentriques homogènes; nous allons
Oespevrois. — Mécfxniqué. n. 1
considérer une de ces couches et résoudre le piHjhlêino suivant :
Calculer Valtraction iVanc couche sphérique hoinoyène très mince sur un point extérieur.
Soient r et r + dr les rayons des deux sphères <iui limitent la couche, p la densilé constante de celte cuiidio.
Soient A le point attiré, M un pohit ({uelconcpie d(î la couche, 0 Tangle MO A, 6 l'angle que fait le plan MO A avec un plan lixe mené [)ar OA. Si nous prenons i)uur élément de volume le .paralléhpipùde dont les côtés sont
dr, rdO, r sin 0 (/?};,
Félément de volume de la couche sera :
dv = r' rfrsin 0 dO dà
et l'atlraclion dirigée suivant MA sera :
IX fp dr siii 0 dh dà û^ '-'
FiG.174
^ [L désignant la masse du
point A, /' Talli'aiîtion d(î deux unih'^s de masse plarc'es à Tunité <l(^ dislance et u la distann; MA.
Nous décomposerons rattraclion en deux i'orces dirigées Tune suivant AO, Tauti^e suivant une perpendiculaire à AO; cette dernière comi)osante sera détruite par la composante iburnie par Vêlement symétricpie de M, et il restei'a pour lu composante totale dirigée suivant AO :
f[K^ r^ drj l ^-^ cosOAMdOdij^;
or :
coô 0 AM = tt: = >
en désignant la distance OA par a; donc Fattraction A sera donnée par la formule :
A = /-'xp r« dr rr^~^,^^'^ sin 6 dô rf*.
Comme u ne dépend que de 6, on peut intégrer d'abord par i-apport à ij;; on doit le faire entre les limites 0 et 2z; on trouve ainsi :
(1; A = 2:: [f.fp f- dr j , sm 0 rfe..
On a d'ailleurs la relation :
(2) w* = r' + a* — 2ar cose.
La deuxième expression de A doit être intégrée depuis 0 = 0 jusqu'à 0 == ^. Mais il est plus commode de prendre il pour variable indépendante (*).
De (2) on lii^e :
udu = ar siii 0 dO,
n^ + /•* — tt' rt' — r' -4- fi'
a — r cos 0 = rt ~ = >
et par conséquent :
A = 2z f[j.p r^ dr — - — '- X >
^ J 2a «*' ar
^ rdr r/, a^ — r^\ ^ A = T.fiJ.p - ,-J ^I + — ;^j ^w.
Si le point attiré est extérieur à la couche, u doit varier
(^) Eii faisant cos 0 = Ct on aura dans tous les ciu>, que le point soit à rintérieui* ou à l'extérieur:
- rfC;
pour intègre!, il faut po.sor :
aï 4- r*--2(ir ::==»**.
On retrouve donc forcément le cliangouiont de variable indiqué.
de a — r ù a 4- r. Or :
donc :
I M H 5 — I du = u i- consL;
et par conséquent :
m désignant la masse de la couche spliérique. Si le i)oint attiré est intérieur, u varie de r — a iir + a,
Donc : la couche sphcriqtie n'exerce aucune action sur les points intérieurs, et elle attire les points extérieures comme si toute sa masse était réunie à son centre.
90. On peut démontrer i^^éoniétri(iuenient qu'une coiiclm spliérique homogène n'exerce aucune action sur un point situé à son intérieur.
Lemme. — Soiott A un angle solide in/lnimentpelil, cl une
portion de cet amjle compris entre deux snrfacci^ W cl Q(V, on demande de ciilodcr /V//traction exercée par celle j^ar lie sur le sommet A.
Un angle solide est mesure , par Taire a) = BB' qu'il intercepte sur la sj)hèi'e de rayon :
AB = AJr = 1. Soient:
Fiq IV j
Awi — ;■, \ii:=:r-h(lr, Am'=Xm, An' = Aw.
L'attraction exercée par mm' un' sur A est :
or :
surf, mm! X dr x
surf, mm' r'
on a donc :
f'if-p __
(^r^dr X '^^t^fix.pdr;
l'intégrale est donc :
^fV'pJdr = iùfi^p X PQ.
Dans le cas de la couche sphérlque, décomposons la sur-'
Fi I7fi ^^^^ ^^ ^^ sphère extérieure ^ en éléments infiniment petits-
opposés deux à deux QS, Q'S', l'attraction exercée sur Apar PQRS sera :
co/[xpPQ;
rattraction exercée sur A par l'élément symétrique P'R' Q' S' sera:
w/'ixpP'Q'.
Or PQ = P'Q'; donc les deux actions sur le point A se détruisent.
91. Attraction exercée par une couche sphérique; d'épaisseur finie, ou composée de couches concentriques homogènes sur un point extérieur, — On aura :
(î COURS DE MÉCANIQUE.
M désignant la masse de la couche sphérique, que la couche sphériquo" soit homogène ou composée de couches concentriques homogènes.
Si le point A est situé à l'intérieur de la couche, la couche AC n'exerjcera aucune action et la couche AB agira
comme si sa masse était
concentrée en 0.
Dans le cas d'une sphère pleine, homogène, les résultats précédents subsistent; pour un point intérieur A, situé à la distance a du centre, on aura, en désig]iant par M' la masse de la sphère de rayon a :
Cette attraction est donc proi)ortionnelle à la distance du point attiré au centre.
Attraction d*aii ellipsoïde homogène.
