MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL SUR UNE SURFACE FIXE DONNÉE

110. Avant de nous occuper du mouvement d'un point matériel sur une surface, nous allons donner une généralisation importante du piincipe des aires.

Considérons un point matériel libre, ou rendu tel par l'introduction de la résistance de la courbe ou de la suiface sur lescpielles il pourrait être assujetti à rester; soient X, Y, Z les projections sur trois axes rectangulaires de la résultante R des forces qui iigissent sur le point matériel, on aura :

(1) «»rf7F = X; m/^, = ^', m^ = Z.

On en déduit :

\ di" -^ dt) ''

xX — j/X est le moment de la force R par rapport à l'axe des z; si ce moment est nul, (m aura :

\ f dy d.r\ ^ / \ dl *' dt/

d'où :

(fff dx X -r —y 'T'= const. :

ili ^ dt '

c'est à dire que le principe des aires aurii lieu pour la projection du mouvement sur le plan des xy. Le moment de R par rapport à Oz sera nul, si R rencontre Or, ou lui est parallèle; on a donc ce théorème :

Quand la résultante des forces qui agissent sur un point matériel est toujours dans un même plan avec une droite fixe Oz, les aires décrites par le rayon vecteur de la projection du mobile sur un plan xOy perpendiculaire à Oz sont proportionnelles aux temps.

Réciproquement, si les aires sont proportionnelles aux temps, l'équation (3) a lieu et (2) donne :

xY — yX = 0,

c'est à dire que le moment de la force R par rapport à Oz est nul, ou que R est toujours dans un même plan avec Oz. On voit que dans ce cas on a une intégrale (3), c*est l'intégrale des aires,

111. Mouvement d'un point matériel sur une surface fixe donnée. — Soient x, ?/, z les coordonnées du point, qui se trouve constamment sur la surface.

Nous supposerons que le point ne puisse pas sortir,

dans son mouvement, de la surface (1), quelles que soient

les coml)inaisons mécaniques employées pour obtenir ce

résultat; par exemple, pour plus de simplicité, que la surface

constitue un obstacle matériel sur lequel le mobile se trouve

appuyé. Nous continuerons d'appeler réaction de la surface,

Ja force, dirigée suivant la normale, capable de tenir lieu de

la, présence de la surface. Soit N cette réaction inconnue;

en l'introduisant, nous pourrons considérer le point comme

libre ; soient X, Y, Z les composantes de la force qui agit directement sur le mobile, nous aurons :

d^x df

dr dx

à'y rr.^.rdf V=±

dr dz

En éliminant NV entre les trois équations (2), on aura deux équations qui, combinées avec (1), permettront dç déterminer a?, j/, z, en fonction de t ; Tune des équations (1) servira ensuite à déterminer N V, d'où la valeur de N et le signe de V.

Assez souvent, on profite de Téquation de la surface pour exprimer x^ y, z en fonction de deux variables indépendantes X et [X. Par exemple, si Téquation (1) est celle de

l'ellipsoïde :

on pourra poser :

x=^a cos X cos [a; y = & cos X sîn *^\ z = c sin X. Soit d'une manière générale :

(3) x = <^{X,ik); y=:^];(X, p.); ;: = x(X, ;x).

On tirera de ces équations :

en fonction de

dt*' dt^ dt^

rf/v f/ji. d'X rf';j!.

'"^'dt dt dt^ dt^

et on porlei^a dans (2); en éliminant N, on aura les deux équations du mouvement en fonction de u et v. Lagrange a fait connaître un procédé, sur lequel nous aurons à revenir

plus tard, qui permet d'écrire immédiatement ces deux équations différentielles d'où dépendent X et [x.

Il faut toujours avoir soin d'appliquer le principe des aires et celui des forces vives, quand les conditions supposées par ces principes sont remplies. Ainsi nous avons trois moyens : i^ emploi des équations (2), qui déterminent tout; 2** emploi des équations de Lagrange; 3"* emploi des théorèmes généraux. Dans les deux dernières méthodes, on ne fait pas intervenir la pression exercée par le mobile sur la surface et par suite la réaction de la surface.

Le mouvement du point une fois connu, on trouve très facilement la pression qui s'exerce sur la surface directrice, soit analytiquement au moyen des équations (2), soit géométriquement, en introduisant la considération de la force tangentielle et de la force centripète, comme nous allons le faire voir. *

Soient M la position du mobile sur sa tmjectoire; MN la

normale à la surface, sur laquelle nous portons une longueur représentant la réaction inconnue N, qu'on veut déterminer; MC la normale principale de la trajectoire en M; p le rayon de courbure MC; 0 l'angle de ce rayon de courbure avec la normale Mil; MP la force motrice P; R le ravon de courbure Mil de la section normale ayant la même tangente en M que la trajectoire. On aura par le tliéorème de Meunier:

ia) p = R cos 0.

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Gii COURS DE MÉCANIQUE.

Les forces N et P doivent cHre équivalentes à Tensenrible

des forces — dirif^é suivant MC, et m ,; dirij^é suivant la

p ^ ^ (il ^

tanycnle MT; en projetant sur MN, on aura, en désignant

par Q la projection de la force motrice :

N — Q = — cos 0,

ou, à cause de (a) :

mv*

La force Q sera regaidée connue positive, quand elle aui*a une dii'cclion opposée à celle du rayon de courbure M H de la section Jiormale, et néf^^ativo dans Ig cas contraire. La réaction N de la surface sera positive (piand elle sera dirigée suivant M H, et négative dans le cas contraire.