Cas où aucune force extérieure n*agit sur le mobile

— La seule force dont il y aura à tenir compte sera la j'éaction normale de la surface; on sait (jue, pour un point libre, la résultante dos forces est située dans le plan osculateur; ainsi, la normalisa la surface est. une normale à la courbe décrûtes pîu* le mo])il(» situé dans le plan osculateur, dont*. c'(»st la normale [>rinci[)ale de la courbe, et le i)lan osculateur est normal à la surface en chacun des points de la trajectoire. Donc la ti'ajectoire est une ligne géodésique de la surface. On aura en outi'cî :

N = — » 0 = — • p at

iVinsi, la vitesse est constante, el la réaction de la surface est en raison inverse du ravon de courbure.

Remarque. — Les lignes géodésiques définies par la condition d'avoir leur plan osculateur normal à la surface en tous les points, jouissent donc des trois propriétés suivantes :

1° Propriété géométrique. — Elles sont les plus courtes entre deux de leurs points. . ,

2° Propriété statique. — C'est la figure d'équilibre d'un lil tendu sur la surface.

3** Propriété dynamique. — C'est le chemin que suit sur lu surface un mobile abandonné à sa propre vitesse.

Le moyen le plus commode de déterminer les lignes géodésiques d'une surface est souvent de les considérer comme les trajectoires décrites par un point matériel lancé sur la surface sans qu'aucune force extérieure n'agisse sur lui (*).

113. Mouvement d'un point matériel pesant sur un plan incliné. — Soit le plan FCD, faisant l'angle a avec le plan

horizontal HCD. On peut décomposer le poids MP = mfj du point matériel, en deux ibrc^s : l 'une M 1 5 = mg cos a normale au plan, rautreMA = mgfsin a dirigée suivant la ligne de plus grande pente; il y aura aussi à considéi'er la réaction nojmule N du plan; «n î^orte que le point matérie»! sera soumis à l'action des forces N et mg cos a, normales au

(1) Voir-: Jacobi. Vorlesungen uber Dynamih, pour la dOlcrminalion des ligues géodésiques de rdlipsoide.

plan, et à la force mg siii a située dans le plan, et ayant dans ce plan une direction constante. On aura :

fi = mg cos a,

et le mouvement sera produit exclusivement par la force m g sin a, de direction et d'intensité constantes. Donc, ce mouvement sera un mouvement parabolique, l'axe de la pai^abole étant parallèle à la ligne de plus gi'ande pente du plan. Si la vitesse initiale était nulle, le mouvement aurait lieu suivant la ligne de plus grande pente du plan ; on pourra appliquer les formules données pour le mouvement des coi^ps pesants dans le vide, en y remplaçant g par g sin a.