CHAPITRE PREMIER
PROPRIÉTÉ OfiNfiRALE DU MOUVEMEHT DES SYSTEMES.
1 . Tout corps est considéré comme un système de points matériels agissant les uns sur les.autres; l'action qui s'exerce entre deux points matériels M et M' de masses m et m' agissant à la distance r, consiste en deux foi^ces égales et opposées dirigées suivant MM' et M' M, appliquées la première au point M, la seconde au point M' ; la valeur de chacune d'elles peut être représentée par mm' ^(r), ^(r) étant une certaine l'onction de la tlistaiice des deux points. Quand cette double force tend à rapprocher les deux |)oints, on dit qu'il y a attraction; quand elle tend à les éloigner, il y a répulsion. Outre ces forces intérieures qui s'exercent entre les divers points matériels composant le système considéré, des forces extérieures peuvent encore être appliquées à divers points de ce système; ces forces extérieures proviennent des actions exercées sur les points
412 COURS DE MKCAMQLTE.
du premier système par les divers points d'un ou de plusieurs autres systèmes situés à de certaines distances du premier.
Soient 7a la masse d'un point matériel quelconque du système, x, v/, z les cooidonnées par rapport à trçis axes rectangulaires lixes. 11 est clair que le mouvement de chaque point matériel est pioduit par l'ensemble des forces, tant extérieures qu'intéiieuros qui aj^issont sur ce point. Si donc on désigne par F Tune quelconque de ces forces et par X, Y, Z ses composantes, on aura les trois équations :
dl
le signe S s'étendant à toutes les forces qui agissent sur Je point considéré. On aura trois équations semblables pour chacun des autres points du système; si n est le nombre des points, on auia donc 3>i équations simultanées à 3n inconnues; les seconds membres contiennent toutes les inconnues mêlées; la détermination des mouvements des divers points du système dépendi*a donc de Tintégi^ation de 3n équations ditîérentielles simultanées du second ordre, problème généralement très difficile, et qu'on ne parviendra à résoudre que dans un nombre de cas très restreint. On peut faire avec ces équations certniues combinaisons éliminant les forces intérieures, ce (jui donne des équations ou des lois générales du mouvement des systèmes.
2. Mouvement du centre de gravité. — Ajoutons membre à membre toutes les équations (l) relatives à Taxe des x\ faisons de même pour celles relatives à Taxe des y et à celui
des z et nous aurons les trois équations suivantes :
Im -r; = > X, i rft« ^ '
rf*2
Le signe S dans le premier membre s'étend à tous les points du système. Or, les actions mutuelles que les divers points du système exercent les uns sur les autres étant deux à deux égales et opposées, leurs projections sont aussi deux à deux égales et opposées, et par conséquent se détruisent dans les seconds membres des équations (2).
Ainsi, les équations (2) sont indépendantes des forces intérieures et ne dépendent que des forces extérieures. On peut donner à ces équations une forme un peu différente et les écrire :
^ ' I dt dt ^ ^
1 d ^ dz v^ «
dt dt ^^
Soit V la vitesse de l'un quelconque M des points du système, dont la masse est m; le produit mv se nomme la quantité de mouvement du point. 11 convient de considérer ce produit comme une grandeur géométrique portée sur la tangente à la trajectoire du point considéré dans le sens de
la vitesse de ce point; ses projections seront ^77» ^57'
dz
m ^ ; on met ainsi en évidence les quantités qui figurent
dans les premiers membres des équations (3), et la première
DeSP£VR0U8. — Mécanique, H. 8
de ces équations donne le théorème suivant (en remarquant que l'axe des x peut être une droite quelconque) :
Théorème. — La dérivée par rapport au temps de la somme des projections^ sur un axe fixe quelconque, des quantités de mouvement des divers points du système, est égale à la somme des projections des forces extérieures au système sur ce même axe.
Lorsque les points du système ne sont sollicités par aucune force extérieure, les seconds membres des équations (3) sont nuls, et les sommes des projections des quantités de mouvement ayant leurs dérivées nulles sont constantes. Ainsi :
Lorsque les divers points du système ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, la somme des projections des quantités de mouvement, sur un axe fixe quelconque, est constante.
Le théorème précédent ac^juiert une signification très simple, quand on l'ait intervenir le centre de gmvilé du système des points matériels donnés. Soient a:,, j/,, z^ les coordonnées de ce point. Elles seront définies par les équations :
(4) My, = Smy,
où
On en déduit, par différentiation :
/ „dJ?i ., dx
^^^ j " d7 - -"* rr
Ces équations font connaître à chaque instant la vitessQ du
centre de gravité en grandeur et en direction; en fonction des vitesses des divers points du système. En difféi'entiant de nouveau, nous aurons Taccélération du même point par les formules :
dt* dt
\ dt* dt*
En vertu de ces dernières équations, les équations (2) peuvent s'écrire :
drX,
Ces équations sont celles du mouvement d'un point matériel de masse M sollicité par une force dont les projections sur les axes sont égales respectivement aux sommes des projections de toutes les forces du système. On a donc ce théorème.
TiiÉORKME. — Le mouvement dit centre de gravité d'un système est le même que si toute sa masse y était concentrée y et que si toutes les forces extérieures y étaient transportées parallèlement à elles-mêmes.
On voit que le mouvement du centre de gravité ne dépend
nullement des forces intérieures, et, par conséquent, qu'il
n'est influencé en rien par les changements qui peuvent se
produire dans la constitution physique du système, tels que
des chocs, des explosions, des ruptures de liens, ..., en tant
que ces phénomènes se passent exclusivement entre des
corps faisant partie du système considéré.
Cette proposition importante est connue sous le nom de principe de la conservation du mouvement du centre de gravité. En particulier, si le système n'est soumis à aucune force extérieure, le mouvement du centre de gravité est rectiligne et uniforme; si sa vitesse initiale est nulle, il reste forcément en repos.
3. Exemples de rapplication de ce principe. — l'' Notre système planétaire étant extrêmement éloigné des étoiles, on peut admettre (lue ses divers points n'en éprouvent aucune action sensible; ce système n'est donc soumis qu'à des actions intérieures, et dès lors le mouvement du centre de gravité du système solaire doit être rectiligne et uniforme ; les observations ont mis ce mouvement en évidence.
2^ Recul des bouches à feu. — Supposons un canon placé sur un plan de glace parfaitement poli; soient M la masse du canon et de son affût, m celle du boulet; le canon et le boulet forment un système dont le centre de gravité G est primitivement immobile. L'explosion de la poudre ne développant que des forces intérieures, le centre de gravité doit rester au repos; si donc, au bout d'un certain temps, la projection sur Phorizon, de l'espace parcouru par le boulet, est a:, le centre de gravité du canon et de son affût aura dû parcourir en sens contraire un espace x' tel que l'on ait :
Mo?' — mx = 0,
On aura aussi pour les vitesses :
La vitesse de recul du canon v' est très petite devant celle
du boulet V parce que m est très petit devant M. L'équation précédente n'est toutefois exacte qu'en négligeant la masse de la poudre devant m.
3** Ascension des fusées. — L'inflammation progressive de la poudre qui entre dans la composition d'une fusée, projette en dehors des quantités de matière de plus en plus grandes, par un orifice situé à la partie inférieure du corps de la fusée ; celui-ci doit donc reculer, c'est-à-dire prendre un mouvement ascensionnel ; il est vrai que la pesanteur est une force extérieure qui doit influer sur le phénomène ; mais elle ne fiiit que diminuer la vitesse de la fusée.
4^ Explosion des bombes. — Quand une hombe fait explosion avant d'avoir touché le sol, le centre de gravité des divers éclats continue à parcourir la parabole suivant laquelle se mouvait le centre de gravité de la bombe entière jusqu'à ce que l'un des éclats vienne toucher le sol. Alors une nouvelle force intervient, la réaction du sol sur le fragment, et cette force modifie nécessairement le mouvement du centre de gravité du système. Il faut toutefois remarquer que le centre de gravité d'une bombe ne décrit pas en réalité une parabole à cause de la résistance de l'air.
5"" Marche de l'homme et des animaux. — Le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité s'étend aux êtres vivants. La volonté fait naître des actions mutuelles entre les diverses parties de l'organisme; elle met en jeu des actions musculaires; mais ces forces, comme toutes celles de la nature, sont deux à deux égales et opposées, et par conséquent n'ont pas d'influence sur le mouvement du centre de gi'avité. Aussi n'est-ce qu'en réagissant sur les corps extérieurs qu'un être vivant peut modifier le mouvement de son centre de gmvité. Quand un homme veut
commencer à marcher, et qu'il porte une jambe on avant, l'autre jambe tend à reculer d'après le principe en question; elle le ferait, si rien ne s'y opposait, et le centre de gravité du corps n'avancerait pas. Mais la seconde jambe ne peut reculer qu'en glissant sur le sol, et c'est alors que se développe le frottement qui détermine le mouvement en avant du centre de gravité. Un homme placé sur un plan de glace parfaitement poli ne pomrait ni avancer ni reculer.
Remarque. — Lorsque les points du système ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, on a les équations :
I ^ dz
a, p, Y désignant trois constantes arbitraires ; ce sont là trois intégrales du problème.
On peut intégrer les équations (8), après les avoir multipliées par dt; en désignant par a', p', Y t^^is nouvelles constantes, on aura :
f Z mx=oLt -t- a', (9) \lmy = &t+^\
On a donc ainsi, dans (8) et (9), six intégrales du problème.
