Théorème des moments des quantités de mouvement
■^ Des deux premières équations (1) multipliées respectivement par — ?/ et -h x, on déduit :
/ d^y d^x\ Vdi^-^dF)
A chaque point du système correspond une équation sem-
blable; faisons là somme de toutes ces équations, et nous
aurons :
ou bien :
,fl='»H?-4:)=2<^v-,x,,
I d ^ / dx dz\ \} r ^ «.
Or, xY — yX représente le moment de la force X, Y, Z appliquée au point a?, y, z relativement à Taxe des z. Les forces intérieures étant égales deux à deux et opposées, il en est de môme de leurs moments relativement à une môme droite; ainsi les seconds membres des équations (10) ne contiennent que les forces extérieures au système. Si Ton
(dy dx\ - . , ,
a: -^ — y —1 est le moment de la
quantité de mouvement ^ point x, j/, z relativement à Taxe des Zj on voit que les équations (10) sont la traduction du théorème suivant :
Théorème. — La dérivée de la somme des moments, par rapport à un axe fixe quelconque, des quantités de mouvement des divers points du système, est égale à la somme des moments des forces extérieures, par rapport au même axe. Nous nous occuperons particulièrement du cas où les seconds membres des équations (10) sont nuls; cela aura lieu, d'abord si les forces extérieures sont nulles, ensuite si les forces extérieures se font constamment équilibre sur le système solidifié, ou bien si elles ont une résultante unique passant toujours par Torigine. On a alors, en désignant
120 COURS DE MÉGANIQUE.
par C, C'y C trois constantes arbitraires :
\ \ dt dij
Ce sont trois nouvelles intégrales du problème. Donc, dans ce cas :
La somme des moments des quantités de mouvement par rapport à un axe fixe quelconque est constante.
C'est en cela que consiste le principe de la conservation des moments; il subsiste, quelles que soient les actions mutuelles qui viendraient à naître entre les divers' points du système.
Ce principe peut être énoncé d'une manière différente en se servant de la considération des couples. Soient M Tun quelconque des points matériels du système,
MP la direction de sa ^tesse V, sur laquelle nous portons la quantité de mouvement M P = m ir; considérons MP comme une force; ses projections
sur les axes seront : w -7-^ »
at
dy dz • m •-' *w Y/* Transportons
* kl force M P parallèlement
à elle-même au point 0, ce qui introduira le couple MP, OQ; ce couple pourra être décomposé en trois autres, agissant dans les plans coordonnés, et dont les moments seront représentés, en grandeur et en signe, d'après les principes
dynamique:. 121
de la Statique, par :
I dz dy\ ( dx dz\ / dy dx\
VTt-'ty '«(-'dï-^rf?)' 'n-^rfi"'d^)'
Si l'on fait de même pour tous les points du système, on veri*a que tous les couples pourront se ramener à trois agissant dans les plans coordonnés, et ayant pour moments :
^ / dz dy\ ,, ^ / dx dz\
\ dt " dt)
Les équations (11) nous donneront donc :
En composant ces trois couples, on aura le couple résultant des quantités de mouvement, dont l'axe sera représenté par OG, et le moment par G, et Ton aura :
G = J^L»-hM*+ N»; cosGOj?=:Î^; cosGOi^=?; cosG02=-,-
On en conclut :
OrriV^C^-t-CH-C'»; cosGOar = -; cosGOy= --; cosGO:;=^-
Ainsi, l'axe du couple résultant des quantités de mouvement conserve pendant tout le mouvement une direction constante, et le moment de ce couple reste invariable.
Si on prenait d'autres axes passant par le point 0, on trouverait encore les équations (M); seulement les constantes C, C, G" n'auraient plus la même valeur; mais, quel que soit le système d'axes, l'origine restant au même point 0, la quantité
restera invariable.
Le moment G du couple résultant varie quand on prend une autre origine 0.
5. Principe de la conservation des aires. — Prenons une origine déterminée, et considérons l'équation :
'••==" ('ff-'^)='=--
Soient N la projection de M sur xOj/, r et 0 les coordonnées polaires de ce point, de manière que :
.T=rcos6, y=rsinO.
On aura :
dy dx
"dt Ut-
en représentant par c' l'aire du secteur
N^ON décrit par le rayon vecteur ON depuis < = 0 jusqu'à
l'époque t. On aura donc :
^ dz' C
et, en intégrant :
Im^: =
et
On aura de même, pour les autres plans coordonnés :
rm7' =
et
Zmz = — 2 •
On a donc le théorème suivant :
Théorème. — Si les forces extérieures au système sont nulles, ou si elles se font constamment équilibre^ sur le système solidifié, si Von considère un point quelconque 0, et les rayons vecteurs OM, OM'... menés de ce point aux divers points du système, la somme des aires décrites par les projections de ces rayons vecteurs, sur un plan quelconque, multipliées par les masses m, m'.,, des divers points du système, sera proportionnelle au temps, pourvu que Von considère comme positives les aires décrites d'im mouvement direct, et comme négatives celles qui sont décrites d'un mouvement rétrograde. (Cela résulte de ce que Ton a :
et que les parties de l'intégrale correspondantes aux valeurs négatives de -rz sont elles-mêmes négatives.)
Dans le cas où toutes les forces extérieures composées, comme si le système était solide, auraient une résultante passant par le point fixe, le théorème aurait encore lieu en prenant l'origine des rayons vecteurs à ce point fixe.
C'est en cela que consiste le principe de la conservation des aires.
6. Plan ,du maximum des aires. — Les constantes C, C, C représentent les doubles des aires décrites dans l'unité de temps sur les plans coordonnés (ces aires étant multipliées par les masses); pour comparer ces aires, qui croissent proportionnellement au temps, il suffit donc de comparer C, C, C , La quantité G qui repond à la somme des aires décrites sur le plan xOy di pour expression :
C = G cos (GO 2).
G est constant; si l'on prend un autre plan des xy^ C
variera proportionnellement à cos GOz; G" -sera donc le plus grand possible, quand on aura
cos (G0;:)=:1
ou quand Or se confondra avec OG; alors le plan rrOj/ se confondra avec le plan du couple résultant des quantités de mouvement; donc, ce plan jouit de la propriété que la somme des aires décrites dans l'unité de temps par les projections, sur ce plan, des rayons vecteurs, est la plus grande possible. C'est le plan du maximum des aires; il conserve, comme on voit, une direction invariable pendant toute la durée du mouvement; c'est le plan que Laplace a nommé le pla^i invariable.
Lorsque le plan des xy est perpendiculaire sur celui du couple résultant, on a
GO2=:90^ cos GOz = 0, C' = 0.
Donc, la somme des aires décrites pendant un temps quelconque sur un plan perpendiculaire au pla7i invariable est nulle.
Enfin, si Ton suppose que le plan xOy se déplace de manière à faire un angle constant avec le plan du couple résultant, on aura GOj3 = const. et C = const. Donc, la somme des aires décrites, pendant le même temps, par les projections des rayons vecteurs est la même pour tous les plans qui font un même angle avec le plan du couple résultant.
Remarque I. — Si l'on prend le plan invariable pour plan des xy, on a C = 0, C = 0, par conséquent :
y lit lit)
On a là des formules simples, qui peuvent être très utiles dans certaines recherches; Jacobi en a tiré un grand parti dans son beau Mémoire sur Vélimination des nœuds dans le problème des trois corps {Journal de Liouville, t. IX).
Remarque II. — Si la somme des moments des forces extérieures n'est nulle que par rapport à Taxe 0 z, on aura seulement :
^ / dy d,v\
De là ce théorème :
Théorème. — Si la somme des moments des forces extérieures, par rapport à un axe fixe, est conslamment égale à zéro, si Von fait la somme des aires décrites, dans un temps demie t, par les projections, sur un plan perpendiculaire à l'axe, des droites qui joignent un point de Vaxe fixe aux différents point matériels, ces aires étant multipliées par les masses de ces points, on obtient une somme proportionnelle au temps t employé à les décrire.
C'est la généralisation d'un théorème que nous avons démontré antérieurement dans le cas d'un seul point matériel.
7. Du principe des aires dans le mouvement relatif. -— Il arrive fréquemment que l'on décompose le mouvement d'un système matériel en deux mouvements composants, dont Tun est le mouvement du système par rapport à des axes de direction constante, menés par son centre de gravité, et l'autre est le mouvement de ces axes eux-mêmes; ce dernier mouvement est un mouvement de translation identique à celui du centre de gravité du système; en désignant par x^y j/„ z, les coordonnées du centre de gravité 0„ on
426 couns de mécanique.
aura, par le théorème du mouvement du centre de gravité :
— ïm = y\
Fig . 207
Menons par le point 0, des axes 0,x,, 0,2/,, O.c, parallèles aux axes jf, fixes Oa?, Oy, Oz; soient Ç, i»;, î les coordonnées d'un point quelconque, par rapport aux nouveaux axes; nous aurons :
(2) x = x^ + l; y=:y, + Ti; z = z,-h^.
Voyons ce que deviendront les équations des moments, quand nous remplacerons a;, j/, z, par leurs valeurs (2) :
nous aurons :
'^di*~^dF-^' dt*
de
— ïi
dt*
d'où l'on déduit, en remarquant qu'à un moment donné, ^i> !/i> ^1 sont les mêmes pour tous les points du corps :
dV
d'ailleurs :
a?Y - yX = x,Y y,X + ÇY - y; X,
Les équations (3) pourront s'écrire :
Or on a :
il en résulte donc :
d^ ûT d^ u d^ ^
Remplaçons maintenant jjî' -jx et jr^ pai' leurs valeurs, déduites de (2), et nous trouverons :
(6) rf?-"'î-rf?--'"''-^^"'i'rfï^"'rf^J"-^^' ' ^'
Nous n'avons encore rien supposé relativement à l'origine O, ; si nous admettons qu'elle coïncîide avec, le (;entro de gravité, nous aui'ons :
(7) :iw; = 0; ^mv; = 0: ^mX, = 0. Donc les équations (6) vont nous donner :
i28 COURS DE MÉCANIQUE.
De manière que ces équations (8) des moments ont la même forme, quand on rapporte le mouvement à des axes mobiles, mais de direction fixe, passant par le centre de gravité, que quand on les rapporte à des axes absolument fixes. Ce sont ces écpiations (8) que Ton emploie, pour déterminer les mouvements des corps célestes autour de leurs centres de gravité, tandis que les équations (4) font connaître les mouvements de ces centres de gravité.
On trouvemit encore que les équations (8) ont lieu, si le point 0, origine des axes mobiles parallèles aux axes fixes, au lieu d'être le centre de gravité, était simplement un point animé d'un mouvement rectiligno et uniforme. En effet, jusqu'à l'équation ((3), nous n'avons pas tenu compte précédemment de ce que le point G était le centre de gravité ; les équations (0) ont donc lieu quel que soit le point 0, ; or ici, dans notre nouvelle hypothèse :
(ir- ~"^ at' "' dr- "•
Les équations (G) coïncident donc bien avec (8). Il en serait encore de mémo si l'on avait constamment :
rf-j7, d'y, d-r, IF IF JF
Im^ lînr, Im"^
Or, en désignant les coordonnées du centre de gravité, relativement aux axes mobiles, par 5„ tj,, Ç„ on a :
Les équations (9) peuvent donc s'écrire :
f1^x^ (i}y^ (PZy^ TF ~dF JF
Çt ''îi ^1
et elles signifient que la force accélératrice qu'il faudrait
appliquer au point Oj pour lui donner le mouvement qu'il a réellement, doit être constamment dirigée vers le centre de gravité du système.
Ces deux dernières manières d'obtenir la même forme (8) pour les équations des moments ne sont guère employées ; tandis que la première y est constamment.
Si les forces extérieures sont nulles, ou si elles se font équilibre sur le système solidifié, les sommes de leurs moments par rapport aux axes mobiles seront égales à zéro ; on aura donc :
et on déduira encore des équations (8) :
en désignant par C, C, C trois constantes arbitraires.
Et Ton aura, relativement aux axes mobiles menés par le centre de gravité, toutes les conséquences données précédemment relativement aux axes fixes : somme des air3S: décrites en projection, sur un plan quelconque, proportionnelle au temps; plan du couple résultant des quantités de mouvement invariable; invariabilité du moment de ce couple, et enfin ce plan invariable sera encore le plan du maximum des aires.
Il faut remarquer que si les forces extérieures avaient une résultante unique passant par un point fixe 0, les équations (10) n'auraient pas lieu relativement aux axes mobiles menés par le centre de gravité, et par suite, non plus les
Despe YROUS . — Méca }%iqne,lL 9
équations (11). On ne peut appliquer le tliéorôme des aire» que pour les rayons vecteurs issus du centre fixe.
Dans le cas où les forces extérieures au système consisteraient cependant en des attractions dirigées vers un centi'e fixe, et propoilionnelles à la distance, on sait que lu résultante de toutes ces attnictions passerait toujours par le centre de gravité du système; donc, dans ce cas particulier, les équations (11) auraient encore lieu.
8. Application au système planétaire. — En négligeant les actions des étoiles, ce système n'est soumis qu'à des forces intérieures ; on aura donc, en désignant par a?, y, z les coordonnées d'une molécule quelconque m du système, rapportées à des axes de direction invariable, menés par le centre de gravité :
^ / dz rfv\
,-"•(» îï --• si) = '=■
Le plan du couple résultant des quantités de mouvement auni une direction invariable, et si Ton désigne par «, a', a' les anj^les que fait Taxe de ce plan avec les axes des cooi^ données, on aura :
(13) cos a = ; ces %' =
