G (r 4- dr) cos (2', a?) — Ap
On aura la dérivée qui figure dans notre théorème, en prenant la limite de la différence (F) divisée par dt. Pour y arriver, il faut obtenii* les expressions des cosinus des angles (x' x), (y'x), (z'x) ...
Prenons sur Ox une longueur Oa = 1 ; au temps t + dtj le point a vient en a' sur Ox'; soient x^ y, z les coordonnées du point « par rapport à Oo;, Oy, Oz; a?„ j/,, z, les coonlonnées du point a' par rapport aux mêmes axes. On aura :
cos (x[ a?) = 0?, ; cos {x[ y) =y^; cos {x[ z) =z,.
I>es projections de la droite xx sur les axes OXj Oy, Oz sont égales respectivement à u dt^ v dt, wdt^ et en écrivant que la projection de Oa' sur Tun quelconque des axes Ox, Oy, O z est égale à la somme des projections de 0 a et de aa', il viendra :
a?| = 0? 4- M d^; Vt = y -^ t> dt; :?, = 5; 4- 1^? dt,
OFj on a :
et en remplaçant Xy y, z par ces valeurs dans les équations (5), on tix)uve :
il viendra donc
COS {x[x)=:Xi=: 1,
cos {xly) = y^ = rdt, COS {xl z) = Zi=^ — qdL
Par des permutations de lettres, on trouvera les cosinus des angles que font les axes Otj' et Oz' avec Oo;, Oy, Oz, et on formera le tableau suivant :
Ox
Oy
Oz
Oo;'
rdt
— qdt
Oy'
— rdt
pdt
Oz'
qdt
— pdt
On en déduira, pour Texpression (F) :
k (p -h dp) — B {q + dq) r dt ~h C {r -h dr) qdt — A/i,
ou, en négligeant les infiniment petits du second ordre :
Adp -h (C — B) qrdt.
Divisant par dt, on aura, pour la dérivée de la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à Taxe
iixe Ox :
A^V(C-B)îr.
Soient donc L, M, N les sommes des moments dçs forces extérieures (jui agissent sur les divers points du corps, par rapport aux axes Ox, Ot/, Oz, on aura les trois équations suivantes, dites équations d*Euler :
cg-t-(B-A).M = N.
En supposant les forces extérieures appliquées ii tous les points (lu coqis solide, désignons par X, dm, Y, </m, Z, dm les composantes suivant les axes Ox, 0?/, Oz de la force extérieure appliquée à TélénicMit de m-asse dm du corps; on aura :
L = fcz,- 2 Y,) dm,
(10) M=r(jX, — .rZJdm,
N=J(a?Y.-yX,)dm,
ou les intégrales s'étendent ii toute la niasse du corps; si Ton désigne du i*este par X, (im, Y, dm, Z, rfm, les composantes, suivant les axes fixes 0 X, 0 Y, OZ de la môme force, on aum :
(11) j Y, =/yX, -f-</'Y. -+-ft'Z.,
( Z, = cX. hr' Y, -i-c'Z,.
En se rappelant les formules (ii), on voit que L, M, N soi'ont des fonctions de »!/, 6, 9; on aura donc en résumé, pour résoudre le problème, les équations suivantes :
{ B~j4-(A-C)r/) = M, M z= F, 0^ e, <p), :' ( N = F, (^, 0, cp),
. (h}f . rfô
. w = sm e — ^ sm o — — cos ©,
(3) , = sme^^^cosç + ^-sin9,
\ fit at
SIfâ coulis DE MÉCANIQUl:.
Ainsi, on est ramené à intégrer un système de six équations différentielles simultanées du premier ordre; il y aura six constantes arl)itruires, les valeurs de •>, 6 et ç, à l'époque zéro, faisant connaître la i)Osition initiale du corps, et les valeurs initiales dep,g,r faisant connaître la rotation initiale.
On pourrait remplacer dans (9) p, q, r par leurs valeurs (3), et on serait ainsi ramené à un système de trois équations simultanées du second ordro^ contenant les trois quantités inconnues •>, 0, 9.
En général, il vaudra mieux garder les six équations (9) et (3) .
Nous ferons toutefois ce calcul, dans un cas particulier, celui de A = B; alors les équations d'Euler se réduisent à :
aJJ^ f-(G~A)gr = L,
(G — A) rp = M,
Soit NB = 90*»; nous introduirons, au lieu de L et M, les
•B moments P et Q relatifs aux
axes ON et OB; nous aurons :
P = L cos 9 — M sîn 9,
(j = L sin 9 + M cos 9,
Kq. 235
Nous aurons donc, au lieu des équations (9), les combinaisons suivantes (13) :
3) A ( sin 5
l'eus ? j — si" ? ^) "^ (^ ~ ^^ '■ ^1 cos ? + p sin ç) = P,
