dB
(P) jfsin^— /?cos9 = ~»
r do (là
v; = r H- cos 6 -~ =: r -H cotg 6 (p sin 9 -f- j cos 9).
Telles sont les relations cherchées entre ç, ^^ 0, p, ^, r.
41. Détermination des projections u, t;, k; de la vitesse d'un point quelconque du corps solide sur les axes Oxy Oj/, Oz (positions de ces axes à Tépoque t).
Les positions Ox, Oy, Oz de ces axes à l'époque t deviennent Ox', Oy', Oz' à Tépoque t' = t -i- dt.
Soient M la position d'un point quelconque du corps à répoque t, x, t/, z ses coordonnées relatives aux axes Ox, Oy, Oz; à l'époque t + dt, ce point est venu en M'; ses coordonnées relativement aux axes Oo?', Oj/', Oz' sont encore x, y, z; mais, relativement aux axes Oo?, Oy, Oz elles seront : x + ox, y + ^y, z + ^z, et l'on aura :
ix=:udt; ^y = vdt; ^z = wdt.
On peut obtenir ces accroissements sous la forme :
cy = 5iy -+• 5,y + s, y,
les G, désignant les accroissements infiniment petits des coordonn|5es x, y, z répondant à la rotation infiniment petite pdt autour de Ox\ de même 8, et 5, répondant aux rotations qdt elrdt autour de Oy et Oz. Calculons par exemple les c,; pour le point x, y, z, on a :
X=:: p COS 0), y ^=: p Sin O), 2 = S, DESPBsnovs,-^ Mécanique. II. 15
iî2U COURS DK MÉCANIQUE.
p désignant la distance du i)oint x, y, z à Taxe Oz. Dans la ' rotation 7^1 1 autour de Oz^ z et p res^tent les mêmes, o) augmente de lio =^ rdt; on a :
0,07 = — p sin (1) ow; 0,^ = 4- p cos o) Sw; d^z = 0,
ou bien :
o^x = —' y rdt; c^y = 'h x rdt; 3,^ = 0. '
On en déduit, par des permutations circulaires ;
l,y=i — zpdt\ CiZ =: -i- ypdt; c,a?=0, o^zzzz — xqdt; ZiX=-hZ(jdt; B^y = 0,
et pai' suite :
lx = (qz - ry)dt,
(E') ly = {rx-pz)dU
\ zz = (py — q.r)di.
Donc :
n — iiz--ry,
(5) i ^ "^ rx — pz,
f fr = py — (j,r.
42. Expression de la force vive du système solide à Tépoque /, ^Taide des variables p, q, r, — Soit V la vitesse du point M, on a :
et en l'oniplarant ii^ i', h», par leurs valeurs (5) :
V^ = p^- (f- + z') -h q' {z^- + an + /•' (.'z?- 4- y')
— "iqr yz — 2rp xz — 2pq xy.
D'où, comme à un instant donné, ;), </, r sont les mêmes pour tous les points du cor|)s.
v,w Y- =;;« Im {f + z^) -+- 7- Im (-' -f- ii;-) 4- r* 2:m (j?« -+- y«)
— ^qr Imyz — "ipr Ivixz — ipq Zmxy.
(lotie expression se simplifie beaucoup, si Ton prend pour
OXy Oy, Oz les axes principaux d'inertie du corps, qui répondent au point fixe 0, ce que nous ferons toujours désormais. On aura, en elTet :
(D) Zmyz = 0; Zmxz = 0; 2wa?y = 0,
et, en désignant par A, B, G les moments d'inertie principaux du corps solide, relatifs au point fixe 0 :
(E) 2w(y»-hs') = A; 2m(2« -f- a?*) = B; 2m (a?« + y«) == C. Il en résulte :
(6) 2m V* = Ap« -f- B^* -f- Cr\
43. Détermination, relativement aux positions Ox, Oi/, Oz, qu'occupent à l'époque t les axes principaux, de l'axe du couple résultant des quantités de mouvement des divers points du corps solide. — Soient A', B', G' les projections de Taxe de ce couple sur Ox^ 0?/, Or; on aura :
A',= 2m {yw — zv)y W =zlm{zu — xw), C = 2m {xv — y m),
ou bien, en remplaçant u^ i;, w par leurs valeurs (5) :
A' =: 2m I p iy^ --h z^) — qxy — rxz j, B' = 2m j 1/ (-' 4- x^) — ryz — pxy j, C = 2m j r {x^ -t- y*) — pzx — qzy |,
ce qui, en vertu des relations (D) et (E), se réduit à :
(7) A'=Ap; B'=:Bî; G'=Cr. .
Soient OG Taxe du couple résultant, à Tépoque i, et G le moment de ce couple, on aura :
^' / cos(fi^x)=.^; cos(G, y) = -^; co^(G,;0 = ■g• : On ivoîl donc «quel rôle important Jouent les quantités p.
5, r relativement à Texpression de la force vive et à celle de la direction de Taxe du couple résultant.
44, Équations d'Euler. — Nous nous appuyons sur le théorème suivant démontré antérieurement :
La dérivéCy par rapport au temps, de la somme des moments des quantités de mouvement des divei*s points du corps, autour d'un axe fixe, est égale à la somme des moments des forces extérieures par rapport à cet axe.
Soient :
Ox, Oj/, Oz les positions des axes principaux d'inertie à l'époque (;
0x\0y',0z' les positions des axes principaux d'inertie à Tépoque t + dl;
OG et OG' les axes correspondants des couples résultants.
Nous allons appliquer le théorùme, relativement aux trois axes fixes Oo?, 0//, Oz; les projections de OG sur ces axes ont pour expressions :
A/i, By, Cr.
Les projections de OG' sur les axes Ox\ Oy', Oz' sont égales à :
A (p -h dp), B (q 'h dq\ C (r -h dr% Mais, il nous fout, par exemple, la i)rojection de OG' sur Go:;
cette projection est égale à :
A ip -f- dp) cos {oo\x) 4- B (ç 4- dq) cos {y\x) 4- C(r+ dr) cos {z',x).
Donc, raccroissement, pendant le temps dt, de la somme (les quantités de mouvement, par rapport à Taxe fixe Ox^ sera :
(F) A (p 4- dp) cos (x\x) 4- B (^ 4- dq) cos (y', a?)
