C - - ( -I — ces 6 --- I dt \dt dt
Ce sont là des équations dont on fait un usage très fréquent dans les applications (mouvement d'un coi'ps pesant do
révolution autour d'un point de son axe, mouvement de là
toupie, gyroscope, etc.).
45. Mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe, lorsqu'il n'y a pas de forces extérieures. Solution analj^qne.
— On a dans ce cas :
Les trois équations d'Euler donnent :
(i) Bg4-(A^C)rp=:0,
Il convient de remarquer qu'on aurait encore ces trois mûmes équations si la résultante des forces extérieures passait constamment par le point fixe.
On en tire, en multipliant ces équations respectivement par p, q, r :
d'où, en intégrant et désignant par 2T une constante arbitraire :
(2) A/)' -hB//* 4- Cr»=2T.
D'après l'équation (G), le premier membre représente la force vive du corps.
Ainsi, l'intégrale (2) est celle qui répond au principe des forces vives; multiplions les équations (1) respectivement par Apj Bg, Gr, ajoutons, nous trouverons :
d'où, en intégrant et désignant la constante arbitraire par G* : (3) AV + B«î'4-CV»=G».
G est le moment du couple résultant des quantités de mouvement, comme il résulte de la théorie développée plus haut; rintégrale (3) exprime donc que le moment de ce couple est constant; nous savions déjà qu'il en était ainsi, et même que le plan de ce couple est invariable.
On peut rendre les formules plus symétriques par Tintroduction de la variable w* = p* + ?* + r*, qui représente le carré de la vitesse angulaire de la rotation instantanée. Nous aurons les équations (A) :
(A) j Ap*4-Bj» + Gr»=:2T,
En résolvant ces équations, par rapport à p*, g' et r', on trouve :
( p« (A — B) (A — C) = G' — 2T (B -H G) + BC w',
(B) ■ 7» (B — G) (B — A) = G' — 2T (G + A) + G A w', ( r'- (G — A) (G — B) = G» - 2T (A + B) + AB w».
Supposons que B soit le moment moyen et posons :
/ 2T(B + G) — G' = BGX»,
(C) j 2T (G + A) - G» = GAiA»,
( 2T(A + B)-G» = ABv',
nous aurons :
{ r* (A — C) (B — G) = AB (u» — v»).
Les différences A — H, A — C, 13 — C ont le môme signe, on en conclut :
w' > X», u>» > vS (I)' < 1*».
Je dis que X% jx*, v* sont positifs; on déduit en eflFet de Texpression (C) de X% en y remplaçant 2T et G* par leurs valeurs (A) :
BCX* := A (B 4- C — A) p' -H BC ï» -H BC r«;
le second membre de cette équation est positif puisque Ton a ;
B + C — A = aswa?' quantité positive.
On verrait de même (jue les quantités \t} et v* sont également positives.
On déduit encore de (C) les combinaisons suivantes :
