h ^ cos (0 — a

On peut toujours supposer c > 0, en augmentant au besoin « de 480^.

Ainsi, la trajectoire est une section conique ayant pour fover le centre du Soleil. •

81 . Détennination des trois constantes c, e et a, à Taide des données initiales Oo? ^^ ^o? ^e; ^o désigne l'angle que fait la vitesse initiale v^ avec le rayon vecteur initial i\. — L'équation (2) nous donne d'abord, pour l'instant initial :

1 = c cos (6, — a),

la formule :

r.cosr,, = -^e[^J,

en y remplaçant - par sa valeur (2), nous donnera :

(3) t?, ces Yî^ = - e sin (Oj — a).

Si dans (4) et (5) on remplace c par :

(6) c = r,»?, sin i).,

348 COURS DE MÉGANIQUE.

il viendra :

(7) e sin (6, — a) = — r^ sin yj^ cos tj,,

(8) e cos (Oo — rt) = ^ r. sin* t; — 1,

Les deux dernières formules déterminent sans ambiguilé e et a ; on en tire du reste :

e» - 1 = ^V.' sin»^. - ?^ r. 8ln« n.,

(9) ,e« = î^sia«,.(L^-4 ce qui montre que, si Ton a :

i?«* < — 1 la trajectoire sera une ellipse,

V = -r' — parabole,

V>-7-» — hyperbole.

Ainsi, la connaissance des orbites elliptiques des planètes nous a conduits à trouver l'expression de la force R = ~;

mais nous voyons qu'un point matériel soumis à l'action de cette force peut décrire autre chose qu'une ellipse, il peut décrire une hyperbole ou une parabole; cela dépend des conditions initiales. 11 est remarquable que la nature de la section conique qui sera décrite par le mobile, ne dépende que de sa distance initiale au centre fixe et de sa vitesse initiale, et nullement de la direction de cette vitesse; en sorte que divers points matériels partis d'un même point M^, avec des vitesses égales à t;,, mais dirigées d'une manière

DïSAMIQUE. 3i9

quelconque autour du point M„ décrivent tous ou des ellipses, ou des hyperboles, ou des paraboles.

Remarque. — Des formules (9) (n" 76) et (3) (n' 80), on tire aisément, en désignant par a le demi-grand axe de l'orbite les relations suivantes :

en appliquant la dernière équation à l'instant initial, on en conclut :

cette expression est indépendante de 15.; de soi-te que si divers points matériels partant d'une même position initiale M, avec la même vitesse v„ telle que l'on ait :

ces points décriront tous des ellipses ayant le même grand axe.

82. Orbites des comètes. — Kepler avait découvert les lois du mouvement des planètes, mais il ne savait absolument rien sur les orbites des comètes; c'est Newton qui trouva la nature de ces orbites. Voyant qu'en vertu de la loi d'attraction qu'il avait découverte, un coi'ps peut décrire, autour du Soleil comme foyer, une ellipse très allongée ou même une parabole. Newton fut amené à penser que les comètes décrivaient des ellipses très allongées et que, comme les planètes, elles n'étaient pas lumineuses par elles-mêmes, mais tii'aient leur lumière du Soleil. Il put ainsi expliquer les

riq.161

principales circonstances de leur mouvement, les phénomènes de leur apparition, de leur disparition, leur visibilité seulement dans le voisinage dapérihélie et lorsqu'elles étaient

suffisamment voisines de la Terre. Newton remarqua en outre que dans la région BC où la comète est visible, Tellipse différait très peu d'une parabole ayant le même foyer S et le même sommet A. Il fut ainsi conduit à penser que les comètes pouvaient aussi décrii^e des pamboîes, ayant le Soleil comme foyer; il trouva bientôt roccasiou d'appliquer ses idées sur la nature de }a trajectoire décrite par les comètes. Le 14 novembre 1080, on aperçut une comète qui alla en se l'approchant très rapidement du Soleil, et se plongea dans ses rayons le 5 décembre; ie 22 décembre suivant, o\\ vit sortir des rayons du Soleil une magnilique comète; Newton montra que les arcs observés MN, M'N' appartenaient à une même parabole ; les deux comètes n'en faisaient qu'une.

Depuis Newton, on a calculé les trajectoires paralioUques d'un très grand nombre de comètes, et on a toujours trouvé un accord suffisant entre le c>alcul et les ol>8ervations; dans un petit nombre de cas, on a trouvé des ellipses bien accusées; c'est le cas des comètes péiiodiques; pour ces comètes périodiques, on a pu vérifier la troisième loi de Kepler, c'est à dire que si a, T, (*', T', a\ V... représentent les grands axes et les durées des révolutions

autour du Soleil ile diverses comètes, on a

rjiri

II. ayant la même valeur que pour les planètes. On en conclut qu'une comète périodique quelconque de.

masse m, dans une quelconque de ses positions, est sollicitée par une force dirigée vers le centre du

Soleil et égale à -j- •

Fig.l62 Relativement aux comètes non périodiques, désignons par p, p\ p\,. les paramètres des orbites de plusieurs de ces comètes, par