CENTRALE
74. Théorème. — Si un point matériel est sollicité à chaque instant par une force constamment dirigée vers un centre fixe, ce point décrit une courhe plane dont le plan passe par le centre fixe, et les aires décrites autour du centre fi^epar le rayon vecteur qui va du centre fixe au mobile, sont proportionnelles aux temps employés à les décrire.
Prenons le point fixe pour origine de trois axes rectangulaires; soient X, Y, Z les composantes suivant les axes de la force accélératrice, dirigée constamment suivant la droite MO, dans le sens MO si Ton a une attraction, dans le sens OM dans le cas d'une répulsion. On a constamment, en désignant par x, y, z les coordonnées du point M :
X y s Les équations du mouvement du point M sont :
^*^ dt'~^' if-^> d^-^-
On déduit de ces équations les combinaisons suivantes :
[^d^-'dt^-^^-'^-diYTt-'Jt)'
^ ^ ) dt* dt^ dl \ dt dtj
dfy d*x -- . d f dy dx\
dt^ ^ dC ^ dt\ dt ^ dt)
Despeyrovs. — Mécanique, 22
■i ' ir*
ce qui donne, en tenant compte de (4) :
■ 1[ i l dty d
' dtV
dt dx dt
"Tt)-
, Tt V dt ^ dt) - "'
d'où en intégrant et désignant par G, C, C trois constantes arbitraii'es :
' ds dy -, » t: - - :ï7 = C,
i " dt
dt
„ .p dz , (/^ dt '
rfy dx ^
On déduit des équations (5) la relation i
Cx + C'y + C2 — 0.
Donc la courbe est plane et son plan passe par le centre fixe 0. Ce résultat pouvait être prévu à priori; il est évident que le mobile ne doit pas sortir du plan qui contient le centre fixe et la vitesse initiale.
Si nous prenons le plan de la courbe décrite par le mobile pour plan des xij, nous aurons :
Fiq 157
dy dx
Tt-^Tt = '-
Soient r et 6 les coordonnées po* laires du point M, dont la position initiale est M., S Taire
du secteur M^OM, on aura :
a? = r cos 0, y = r sin 6, 6 = arc Ig - ?
ce
d^ = ^r-r4F; r*di = ^<iV - Vi^-
xdy — ydx Jo* 4- y
L'équation (6) s'écrira :
Or:
donc (7) devient
dl=:ir'd^.
dZ __c
d'où :
Donc Taire décrite par le rayon vecteur est proportionnelle au temps.
75. Réciproquement. — Si la trajectoire est plane, et si le raj/on vecteur mené du mobile à un point fixe du plan décrit des aires proportionnelles au temps^ la force motrice est constamment dirigée vers ce point fixe.
On a en effet :
On en déduit
rf'a; d?' ~
et
dt
r — dt
dt ~
dy dx
'"Tt-^Tt='^
340 COURS DE MÉGANIQUE.
et par conséquent :
dont la force est constamment dirigée vers le point 0.
La proposition que nous venons de démontrer et sa réciproque constituent le principe des aires.
76. Expression de la vitesse, dans le mouvement produit par une force centrale. ~ On a d'une manière générale :
dt^ dC
Dans le cas actuel on peut éliminer dt par l'équation (7); on trouve :
, rfr* + r*de*
ce qui peut s'écrire :
dr ' La vitesse se trouve ainsi exprimée à l'aide de r et ,— •
Lorsque l'équation de la trajectoire sera donnée, sous la forme :
on en conclura :
t?'=:c«ÎF«(Ô) H- F'*(6)î.
77. Expression de la constante c à l'aide des conditions initiales du mouvement. — Cherchons, d'une manière générale, les projections de v sur le rayon vecteur et une perpendiculaire au rayon vecteur. Soient :
.MA = r, AMB = t;;
on a :
dr . rd6
cos Ti = -j- ; sin t; =
d'où :
ds dr . ds rrfO
dt ds dt ds
r cos r, = t; • :r î ^ ^^^ ^< =
et par conséquent :
(10) ^cos.^ = d7; ^^s^M=d7-
Ces formules sont împortann^.lSS /a jgg^ On peut les écrire en rem-
B plaçant df par :
di
r t; cos r = — c -TT »
«. ' rfe
(11) f?sînr, = ^-
La formule (14) peut être écrite autrement; soit p la distance du centre fixe à la tangente à la trajectoire au point M ; on a :
(12) p = rsinY).
Donô, (H) pourra s'écrire sous cette forme très simple :
(13) vp = c.
Ainsi : Dans tout mouvement produit par une force centrale, la vitesse en un point quelconque est en raison inverse de la distance du centre fixe à la tangente.
78. Expression de la force accélératrice. — Supposons que la force qui agit sur le point M soit attractive, c'est à dire dirigée suivant MO; désignons son intensité par mR, m étant la masse du point matériel ; R sera la force accélé-
rati'ice. Appliquons le théorème du travail, nous aurons :
FhjISS
= trav. élém. demR.
Soit M' un point de la trajectoire infiniment voisin de M, M' H pei^ pendiculaire sur OM; le travail dlémentaire de mR est :
— fflR X MH = — mRrfr.
rf.f'= — 2Rrfr.
Si la force, au lieu d'être attractive, était répulsive, on trouverait :
rf.t'' = + 2Rdr;
de manière qu'on pourra appliquer dans tous les cas l'équation' (14) en considérant R comme positif dans le cas de la force attractive, et n^tif dans le cas de la force répulsive. En différentiant l'expression (9) de v* on trouve :
rf.r*
dd
dO'
On a pris 6 pour variable indépendante; on peut encore écrire :
r' I r c En reportant cette valeur dans (li), il viendra :
r' \r lio" ,
Lorsque l'équation de la trajectoire sera donnée sous la forme :
on trouvera la force R immédiatement, par l'équation précédente.
Application de la théorie des forces centrales an monyement
des planètes.
79. Lois de Kepler. — Les lois du mouvement des planètes ont été déduites par Kepler des observations de Ïycho-Brahé. Elles sont au nombre de trois :
4° Les planètes se meuvent dans des courbes planes, et leurs rayons vecteurs décrivent autour du centre du Soleil des aires proportionnelles au temps.
2^ Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil occupe un des foyers.
3° Les carrés des durées des révolutions sidérales des planètes autour du Soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.
On peut déduire de ces lois la force qui produit le mouvement des planètes. En rapprochant le principe des aires de la première loi de Kepler, nous voyons que la force qui retient chaque planète dans son orbite est constamment dirigée vei's le centre du Soleil.
Comme la trajectoire elliptique tourne toujours sa concavité vers le Soleil, il faut conclure que cette force est attractive, puisqu'elle éloigne toujours la planète de la tangente à son orbite, en tendant à la rapprocher du Soleil.
La seconde loi de Kepler va nous permettre de déterminer la loi suivant laquelle varie l'intensité de cette force, avec les diverses positions de la planète sur son orbite.
Soient AMA' l'orbite de la planète, S le centre du Soleil
' IT-». «^'.■%. ■>■ -^<T* / , r,' ^^'
rig.160
qui est l'un des foyers de l'ellipse, AA' le grand axe, A le
point le plus rapproché de S, qu'on nomme le périhélie. A'
le point le plus éloigné appelé
aphélie, 2 a le grand axe, 2 c la
-i distance focale, e l'excentricité
égale au rapport - » S X l'axe
polaire, w l'angle ASX, r le rayon vecteur M S, v l'angle ASM, e l'angle XSM; on sait que l'on a :
i + e cosr'
or :
l'équation de l'orbite est donc :
i -t- <? CCS (8 —
i 1 ^ cos (8 —
On en
déduit
l ri
et la formule
donne :
Or, pour une môme planète, c etp sont des constantes: donc la force qui retient chaque planète dans son orbite, varie en raison inverse du carré de la distance de cette planète au centre du Soleil.
Soit T la durée de la révolution de la planète sur son orbite; c est le double de l'aire décrite pendant l'unité de
temps, r.ab est l'aire décrite pendant le temps T; on a donc à cause de la loi des aires :
ou, à cause de :
Si donc on met l'expression (46) de R sous la forme
ou :
on aura :
Pour une autre planète on aura de même :
or la troisième loi de Kepler donne :
donc :
Ainsi lA est le même pour toutes les planètes. Si nous nous rappelons que nous avons désigné par R la force qui agit sur la planète, divisée par la masse de cette planète, nous arrivons à ce résultat :
Une planète quelconque de masse m est sollicitée, dans
Vune quelconque de ses positions, vers le centre du Soleil,
par une force dont l'expression est —^^ i* étant le même
pour toutes les planètes.
Cette loi est démontrée pour une série de points compris entre des couronnes circulaires, ayant pour centre commun le Soleil, et pour rayons :
a{l—e), ail-he); a'{l—e'), a' (1 + e')...
La même chose a lieu pour une série de zones comprises entre Mars et Jupiter et correspondant aux astéroïdes. Nous sommes donc conduits à admettre que, partout où se trouvera une particule matérielle de masse m, elle sera soumise à l'action d'une force dirigée vers le centre du
Soleil, et dont l'intensité sem —r • Newton s'est proposé le problème inverse.
80. Un poi7it matériel de masse m est soumis constamment à l'action d'une force dirigée vers le centre du Soleil ^ et variant en raison inverse du carré de la distance; trouver sa trajectoire.
Pour résoudre ce problème, désignons par -— l'intensité
de la force; on aura pour la force R rapportée à l'unité de masse :
r- On a en général :
On aura donc l'équation :
OU : . '
rfO'
d'où, en intégrant et désignant par e et a deux constantes arbitraires :
- — ^ = f, e cos (0 — a),
