AUTKE APPLICATION. R = V

On a :

et par conséquent, en appliquant le principe des forces vives :

— • — î^--'--=4?-te)]-

2lJL i[L 1 ,, i

Posons - = z, il viendra :

ci;;

dz

On peut effectuer complètement les intégrations lorsque n ^st égal à l'un des nombres : 2, 3, — 4 . Nous allons traiter d'une manière particulière le cas de n = — 1, autrement dit nous allons nous proposer de trouver le mouvement d'un point matériel attiré ou repoussé par un centre fixe proportionnellement à la distance.

En désignant par nV la force attractive rapportée à lunité de masse, on a les équations :

On peut intégrer séparément ces équations, ce qui donne, en désignant par A, B, C, D quatre constantes arbitraires :

a? = A cos n/ + B sin nt^ y = C cos nt -i- D sin nt.

Détermination des constantes. — Soient j?,, les coor* données initiales du mobile, v^ cos a^ et v, sin a^ les projections de la vitesse initiale sur les axes. On aura :

et par suite :

, ' t\ cos ao .

x = Xq cos /*/ + -2 2 sin w^

f\ sin ao .

y=^-^ sin nt.

sin nt :

n », — y cos a

ir« sin «a

et par cunséqueiit l'é<iuation de la trajectoire est ;

équation d'une ellipse dont le point fixe est le centre et dont les deux droites

jf = 0, y = a;tga,

constituent un système de diamètres conjugués. Ces droites sont le rayon vecteur initial et une parallèle à la vitesse initiale.

ÎT.

La durée T = — de la révolution du mobile sur l'ellipse

qu'il parcourt est entièrement indépendante de sa vitesse initiale.

2" Cas de la répulsion. R = »'r. On a alors :

(5) X — ke"-\-he—'; y = Ce- + De •'.

On déterminera les constantes A, lî, C, D à l'aide des conditions initiales, on tirera ensuite de (5), en y regai-danl e" et e~" comme inconnues, des expressions de la forme :

e"' = Lx + My, e-" = L'iF + M'y;

en multipliant ces deux expressions, on ti'ouvera i'équatior

de la trajectoire :

l=(La;H-My)(L'a? + M'y),

équation d'une hyperbole dont les asymptotes sont les droites :

Mouvement d'un point matériel attiré proportionnellement à la distance par un nombre quelconque de centres fixes.

K, Soient MB, la force

produite par le centre A„ dont les coordonnées sont a,, fe„ c„; MB, la force produite par le centre A„ >..; m,, m„... les masses — *^ de ces centres. Nous avons par hypothèse ;

. MB, = {i..)7i,.MÂ,, MB, =:;x.w«,.MA„

Nous aurons pour la projection de la force MB, sur Ox :

Fi^. 166

|xm, MA, X

"mIT

Donc :

^=£2,». («.-or)

- Sm.fl, — ^a? 2m,.

Soient A„ B„ C, les coordonnées du centre de gravité G des centres fixes, on aura :

Tout se passe comme si le point M était attiré propor nellement à la distance par le centre fixe G affecté ( masse M = Stn,. Donc le mobile décrira une ellipse a ce point pour centre.

Drai'EVnoi's. — Mécanique.